L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces vectoriels de dimension infinie.
Préambule
Une racine -ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des racines -ième de l'unité.
Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes . Si est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de est notée et le groupe des automorphismes de est noté . On note l'application identité de . Si , on note la sous-algèbre de des polynômes en .
On note l'espace vectoriel des fonctions de dans . Si est une fonction de dans , on note l'ensemble des tels que . On appelle cet ensemble le support de . Dans tout le problème, désigne l'ensemble des fonctions de dans dont le support est un ensemble fini.
I - Opérateurs sur les fonctions à support fini
1a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Étant donné , on définit par .
1b. Montrer que et que est stable par .
Dans la suite, désignera uniquement l'endomorphisme de induit.
2. Montrer que .
3. Pour , on définit dans par
3a. Montrer que la famille est une base de .
3b. Calculer .
Soient . On définit les applications linéaires respectivement par
Montrer que si et seulement si pour tout .
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.
5. Montrer que si et seulement si pour tout ,
6a. Montrer que pour , l'espace vectoriel engendré par les , est de dimension finie.
6b. En déduire qu'un sous-espace non réduit à de , stable par , contient au moins un des .
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que .
7a. Montrer que .
7b. Montrer que et ne sont pas d'ordre fini dans le groupe .
7c. Calculer le noyau de et montrer que pour .
8. On note l'algèbre des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée .
8a. Montrer que est isomorphe (en tant qu'algèbre) à .
8b. Montrer que est isomorphe (en tant qu'algèbre) à .
8c. Montrer que est isomorphe (en tant qu'algèbre) à .
II - Intermède
Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair et une racine primitive -ième de l'unité.
9. Montrer que est une racine primitive -ième de l'unité.
Soient et .
10. On considère l'élément de dont la matrice dans la base est :
10a. Calculer . Montrer que est diagonalisable.
10b. Soit une racine -ième de . Calculer les vecteurs propres de et les valeurs propres associées en fonction de et des .
On définit une application linéaire par où pour , on définit et respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne par ; autrement dit, où et .
11. Montrer que est un projecteur d'image .
III - Opérateurs quantiques
Montrer que si et seulement si pour tout .
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que .
13. Montrer que .
14. Montrer que si et seulement si pour tout ,
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.
15a. Montrer que et sont périodiques sur , de périodes divisant .
15b. Montrer que la période de est égale à .
15c. Montrer que la période de est aussi égale à .
16. Soit avec l'inverse de .
16a. Montrer que .
16b. Pour , montrer que est un vecteur propre de .
16c. En déduire que est une homothétie de dont on calculera le rapport en fonction de et .
16d. On fixe et . Montrer que l'application est une bijection de sur .
16e. On fixe et . Montrer que l'application est une surjection de sur mais pas une bijection.
IV - Opérateurs quantiques modulaires
Soient comme dans la partie II. On dit qu'un élément de est compatible si .
17a. Montrer que si commute avec , alors est compatible avec .
17b. Montrer que et sont compatibles avec .
Soit l'ensemble des endomorphismes qui sont compatibles avec .
18. Montrer que est une sous-algèbre de .
19. Montrer que et .
20a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbre tel que
20b. Montrer que est contenue dans le noyau de si et seulement si l'image de est dans le sous-espace de engendré par les vecteurs , où est la division euclidienne de par .
21. On étudie dans cette question .
21a. Déterminer .
21b. En déduire .
21c. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel .
21d. Calculer les vecteurs propres de .
22. Soit un sous-espace non nul de stable par .
22a. Montrer que contient au moins un des vecteurs .
22b. Que dire si est de plus stable par ?
23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que l'opérateur soit nilpotent.
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