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Sujet X ENS Mathématiques A MP 2013

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Algèbres d'endomorphismes sur l'espace des suites à support fini : opérateurs de décalage, opérateurs quantiques et réduction modulaire
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Le problème étudie des endomorphismes remarquables de l'espace des fonctions de Z dans C à support fini, un espace de dimension infinie. Il examine d'abord un opérateur de décalage et des opérateurs diagonaux ou pondérés vérifiant des relations de commutation, puis, après un intermède sur une matrice compagnon, des versions quantiques de ces relations faisant intervenir une racine primitive de l'unité. La dernière partie construit un morphisme d'algèbres vers les endomorphismes d'un espace de dimension finie.

  1. 1Partie I : opérateurs sur les fonctions à support finiBase canonique de l'espace, opérateurs E, F, H et leurs relations de commutation, sous-espaces stables, ordre dans le groupe linéaire et algèbres de polynômes engendrées (questions 1 à 8).
  2. 2Partie II : intermèdeRacines primitives de l'unité, diagonalisation d'une matrice compagnon et projecteur sur un sous-espace de dimension finie (questions 9 à 11).
  3. 3Partie III : opérateurs quantiquesRelations de commutation faisant intervenir q, périodicité des suites de coefficients et étude d'un opérateur C qui s'avère être une homothétie (questions 12 à 16).
  4. 4Partie IV : opérateurs quantiques modulairesEndomorphismes compatibles avec le projecteur, sous-algèbre associée, morphisme d'algèbres vers un espace de dimension finie, vecteurs propres et condition de nilpotence (questions 17 à 23).

Difficulté moyenne. Selon le jury, peu de questions étaient difficiles en soi, mais beaucoup exigeaient une rédaction soignée et des arguments précis, et les dernières questions n'ont été atteintes que par peu de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,91 / 20 · écart-type 3,64 · 1 658 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,91/ 20
Écart-type
3,64
Copies
1 658
moyenne 8,9105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Argument de dimension en dimension infinie · Réciproque négligée · Morphismes d'algèbres mal connus
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Le jury constate, comme les années précédentes, un manque de rigueur dans la rédaction : quantificateurs mal utilisés, argument clé souvent éludé, imprécisions sur le cours de deuxième année. Des candidats ayant traité beaucoup de questions obtiennent ainsi des notes moyennes, faute de démonstrations complètes, notamment sur les questions faciles. Une poignée d'excellents candidats a toutefois abordé avec succès les dernières questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Argument de dimension en dimension infinie3a, 7a

    Beaucoup de copies ne vérifient que la liberté ou le caractère générateur de la famille, puis invoquent un argument de dimension qui ne vaut pas ici. De même, l'inversibilité doit être vérifiée à droite et à gauche.

    « invoquent un argument de dimension qui n’est pas correct »
  2. 2
    Réciproque négligée4

    Le sens direct est en général traité, mais la réciproque est souvent rédigée sans rigueur ou oubliée, et le cas des indices négatifs mérite d'être traité.

  3. 3
    Morphismes d'algèbres mal connus8a, 8b, 8c

    Les propriétés d'un morphisme d'algèbres et l'injectivité du morphisme canonique sont peu connues. Écrire même démonstration que la question précédente sans autre explication ne constitue pas une réponse.

    « Trop peu de candidats connaissent les propriétés »
  4. 4
    Ordre d'un élément dans un groupe7b

    Un nombre significatif de candidats ignore le sens de l'ordre d'un élément dans un groupe.

  5. 5
    Périodicité affirmée sans preuve15a, 15b, 15c

    La relation de récurrence vérifiée par μ est souvent mal utilisée et beaucoup affirment sans justification que les périodes valent ℓ.

  6. 6
    Sous-algèbre et diagonalisation16c, 18

    Certains candidats ne savent pas ce qu'il faut démontrer pour une sous-algèbre. Le jury rappelle aussi qu'une matrice diagonalisable n'a pas forcément toutes ses valeurs propres égales.

    « La notion de sous-algèbre n’a pas toujours été maitrisée »

Ce qui a été bien réussi

  • Les premières questions (1a, 1b, 2, 3b) n'ont pas posé de difficulté particulière.
  • La question 9, très proche du cours, a été bien traitée dans l'ensemble.
  • Les arguments de diagonalisabilité en 10a semblent assez bien maîtrisés.
  • Les questions 12, 13, 14 et 17a ont été assez bien, voire très bien, traitées.

Conseils du jury

  • Utiliser correctement les quantificateurs et expliciter l'argument clé de chaque question.
  • Soigner la rédaction des questions faciles, qui pèse sur la note même quand beaucoup de questions sont traitées.
  • Se méfier des réflexes de dimension finie dans un espace de dimension infinie.
  • Rédiger les questions semblables à une précédente en détaillant ce qui change.
  • Viser la précision plutôt que la longueur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces vectoriels de dimension infinie.

Préambule

Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des racines n-ième de l'unité.
Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps des nombres complexes C. Si E est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de E est notée L(E) et le groupe des automorphismes de E est noté GL(E). On note Id_E l'application identité de E. Si u ∈ L(E), on note C[u] la sous-algèbre {P(u)|P ∈ C[X]} de L(E) des polynômes en u.
On note C^Z l'espace vectoriel des fonctions de Z dans C. Si f est une fonction de Z dans C, on note Supp(f) l'ensemble des k ∈ Z tels que f(k) ≠ 0. On appelle cet ensemble le support de f. Dans tout le problème, V désigne l'ensemble des fonctions de Z dans C dont le support est un ensemble fini.

I - Opérateurs sur les fonctions à support fini

1a. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C^Z. Étant donné f ∈ C^Z, on définit E(f) ∈ C^Z par E(f)(k) = f(k + 1), k ∈ Z.
1b. Montrer que E ∈ L(C^Z) et que V est stable par E.
Dans la suite, E désignera uniquement l'endomorphisme de V induit.
2. Montrer que E ∈ GL(V).
3. Pour i ∈ Z, on définit v_i dans C^Z par
v_i(k) = {1 si k = i; 0 si k ≠ i
3a. Montrer que la famille {v_i}_(i ∈ Z) est une base de V.
3b. Calculer E(v_i).
Soient λ, μ ∈ C^Z. On définit les applications linéaires F, H ∈ L(V) respectivement par
H(v_i) = λ(i)v_i et F(v_i) = μ(i)v_(i + 1), i ∈ Z.
  1. Montrer que H ∘ E = E ∘ H + 2E si et seulement si pour tout i ∈ Z, λ(i) = λ(0) − 2i.
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 4 sont vérifiées.
5. Montrer que E ∘ F = F ∘ E + H si et seulement si pour tout i ∈ Z,
μ(i) = μ(0) + i(λ(0) − 1) − i^2
6a. Montrer que pour f ∈ V, l'espace vectoriel engendré par les H^n(f), n ∈ N, est de dimension finie.
6b. En déduire qu'un sous-espace non réduit à {0} de V, stable par H, contient au moins un des v_i.
Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on suppose que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que λ(0) = 0, μ(0) = 1.
7a. Montrer que F ∈ GL(V).
7b. Montrer que E et F ne sont pas d'ordre fini dans le groupe GL(V).
7c. Calculer le noyau de H et montrer que H^r ≠ Id_V pour r ≥ 1.
8. On note C[X] l'algèbre des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée X.
8a. Montrer que C[E] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à C[X].
8b. Montrer que C[F] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à C[X].
8c. Montrer que C[H] est isomorphe (en tant qu'algèbre) à C[X].

II - Intermède

Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair ℓ ≥ 3 et q une racine primitive ℓ-ième de l'unité.
9. Montrer que q^2 est une racine primitive ℓ-ième de l'unité.
Soient W_ℓ = ⨁_(0 ≤ i < ℓ)Cv_i et a ∈ C^∗.
10. On considère l'élément G_a de L(W_ℓ) dont la matrice dans la base {v_i}_(0 ≤ i < ℓ) est :
(0, 0, 0, ⋯, 0, a; 1, 0, 0, ⋯, 0, 0; 0, 1, 0, ⋯, 0, 0; ⋮, 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; 0, ⋮, ⋱, ⋱, 0, 0; 0, 0, …, 0, 1, 0)
10a. Calculer G_a^ℓ. Montrer que G_a est diagonalisable.
10b. Soit b une racine ℓ-ième de a. Calculer les vecteurs propres de G_a et les valeurs propres associées en fonction de b, q et des v_i.
On définit une application linéaire P_a : V → V par P_a(v_i) = a^p v_r où pour i ∈ Z, on définit r et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne i par ℓ; autrement dit, i = pℓ + r où 0 ≤ r < ℓ et p ∈ Z.
11. Montrer que P_a est un projecteur d'image W_ℓ.

III - Opérateurs quantiques

  1. Montrer que H ∘ E = q^2 E ∘ H si et seulement si pour tout i ∈ Z, λ(i) = λ(0)q^(− 2i).
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont vérifiées et que λ(0) ≠ 0.
13. Montrer que H ∈ GL(V).
14. Montrer que E ∘ F = F ∘ E + H − H^(− 1) si et seulement si pour tout i ∈ Z,
μ(i) = μ(i − 1) + λ(0)q^(− 2i) − λ(0)^(− 1)q^(2i).
Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont vérifiées.
15a. Montrer que λ et μ sont périodiques sur Z, de périodes divisant ℓ.
15b. Montrer que la période de λ est égale à ℓ.
15c. Montrer que la période de μ est aussi égale à ℓ.
16. Soit C = (q − q^(− 1))E ∘ F + q^(− 1)H + qH^(− 1) avec H^(− 1) l'inverse de H.
16a. Montrer que C = (q − q^(− 1))F ∘ E + qH + q^(− 1)H^(− 1).
16b. Pour i ∈ Z, montrer que v_i est un vecteur propre de C.
16c. En déduire que C est une homothétie de V dont on calculera le rapport R(λ(0), μ(0), q) en fonction de λ(0), μ(0) et q.
16d. On fixe q et λ(0). Montrer que l'application μ(0) ↦ R(λ(0), μ(0), q) est une bijection de C sur C.
16e. On fixe q et μ(0). Montrer que l'application λ(0) ↦ R(λ(0), μ(0), q) est une surjection de C^∗ sur C mais pas une bijection.

IV - Opérateurs quantiques modulaires

Soient ℓ, W_ℓ, a, P_a comme dans la partie II. On dit qu'un élément φ de L(V) est compatible avecP_a si P_a ∘ φ ∘ P_a = P_a ∘ φ.
17a. Montrer que si φ ∈ L(V) commute avec P_a, alors φ est compatible avec P_a.
17b. Montrer que H et H^(− 1) sont compatibles avec P_a.
Soit U_q l'ensemble des endomorphismes φ ∈ L(V) qui sont compatibles avec P_a.
18. Montrer que U_q est une sous-algèbre de L(V).
19. Montrer que E ∈ U_q et F ∈ U_q.
20a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbre Ψ_a : U_q → L(W_ℓ) tel que
∀φ ∈ U_q, Ψ_a(φ) ∘ P_a = P_a ∘ φ
20b. Montrer que φ ∈ U_q est contenue dans le noyau de Ψ_a si et seulement si l'image de φ est dans le sous-espace de V engendré par les vecteurs v_i − a^p v_r, i ∈ Z, où i = pℓ + r est la division euclidienne de i par ℓ.
21. On étudie dans cette question Ψ_a(E).
21a. Déterminer Ψ_a(E)(v_0).
21b. En déduire Ψ_a(E^ℓ).
21c. Calculer la dimension du sous-espace vectoriel C[Ψ_a(E)].
21d. Calculer les vecteurs propres de Ψ_a(E).
22. Soit W un sous-espace non nul de W_ℓ stable par Ψ_a(H).
22a. Montrer que W contient au moins un des vecteurs v_i.
22b. Que dire si W est de plus stable par Ψ_a(E) ?
23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur R(λ(0), μ(0), q) pour que l'opérateur Ψ_a(F) soit nilpotent.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP 2013 ?
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Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP 2013 ?

Sur des endomorphismes de l'espace des suites indexées par Z à support fini : opérateur de décalage, relations de commutation, versions quantiques liées à une racine primitive de l'unité et morphisme d'algèbres vers un espace de dimension finie.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths A MP 2013 ?

La moyenne est de 8,91 sur 1658 copies, avec un écart-type de 3,64. Une dizaine de candidats ont obtenu 20.

Quelles erreurs le jury de X-ENS Maths A MP 2013 a-t-il relevées ?

Des arguments de dimension utilisés en dimension infinie, des réciproques oubliées, une méconnaissance des morphismes d'algèbres et de l'ordre d'un élément, et des périodicités affirmées sans preuve.

Le sujet X-ENS Maths A MP 2013 était-il difficile ?

Le jury estime que peu de questions étaient difficiles en soi, mais que beaucoup demandaient une rédaction soignée et des arguments précis.

Pas de description pour le moment