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X ENS Mathématiques A MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2, C)
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Le sujet étudie les matrices antihermitiennes de trace nulle de taille 2 et le groupe SU(2, C). Il établit d'abord des propriétés de l'exponentielle de matrices, puis montre que l'exponentielle envoie cet espace sur SU(2, C) et qu'un sous-groupe de SU(2, C) stable par conjugaison et contenant un élément autre que I2 et -I2 est SU(2, C) tout entier. La dernière partie construit, à partir de trois endomorphismes vérifiant des relations de crochet, une base adaptée de vecteurs propres.

  1. 1Première partieEspace des matrices L, calcul de crochets, convergence de l'exponentielle de matrices, conjugaison, matrices triangulaires et lien entre déterminant et trace.
  2. 2Deuxième partieGroupes U(2, C) et SU(2, C), diagonalisation dans SU(2, C), surjectivité de l'exponentielle sur SU(2, C) et sous-groupes stables par conjugaison.
  3. 3Troisième partieEndomorphismes e, f, g liés par des relations de commutation, vecteurs propres et construction d'une famille libre v0, ..., vn.

Difficulté moyenne. Selon le jury, aucune question n'était particulièrement difficile, mais beaucoup étaient délicates à traiter correctement, et la moyenne est de 8,96 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,96 / 20 · écart-type 3,15 · 1 588 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,96/ 20
Écart-type
3,15
Copies
1 588
moyenne 8,9605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Dimension réelle non justifiée · Convergence de l'exponentielle mal justifiée · Récurrence au lieu d'un passage à la limite
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Le jury relève une rédaction souvent désinvolte : quantificateurs manquants, fins de démonstration négligées, passages de calcul non justifiés. Il met en garde contre l'usage de résultats hors programme. Des candidats ayant traité beaucoup de questions obtiennent ainsi des notes moyennes, faute de preuves complètes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Dimension réelle non justifiée1a

    Une part importante des candidats se trompe sur la dimension de M2(C) comme espace vectoriel réel ; il fallait aussi prouver que L est un sous-espace vectoriel réel, par exemple comme intersection de noyaux.

  2. 2
    Convergence de l'exponentielle mal justifiée2a

    Beaucoup confondent convergence normale et convergence absolue, invoquent le critère de d'Alembert hors de propos ou oublient que l'espace des matrices est complet.

    « Beaucoup de candidats confondent la convergence normale et la convergence absolue. »
  3. 3
    Récurrence au lieu d'un passage à la limite2b, 2c, 7a

    Pour les propriétés de l'exponentielle, une récurrence ne suffit pas : il faut examiner la limite et invoquer la continuité de la conjugaison ou du produit matriciel.

  4. 4
    Diagonalisation dans SU(2, C) incomplète6a

    La diagonalisabilité des matrices unitaires n'étant pas au programme, une démonstration complète était attendue, y compris le fait que la matrice de passage appartient à SU(2, C).

  5. 5
    Calculs formels sans justification7b

    Très peu de candidats expliquent pourquoi l'exponentielle commute avec la transposition et la conjugaison ; le résultat est souvent obtenu par des manipulations non justifiées.

  6. 6
    Argument de dimension hors de propos7d

    Pour l'injectivité de l'exponentielle, un nombre significatif de candidats raisonne comme s'il s'agissait d'un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Ce qui a été bien réussi

  • La quasi-totalité des candidats a réussi le calcul des crochets (1b).
  • Les questions 2d, 5b, 7c et 8a ont été relativement bien traitées, et les calculs simples de 8b correctement menés.
  • De nombreux candidats ont répondu correctement à la question 7d.
  • La question 11 a été assez bien traitée, en général par récurrence.

Conseils du jury

  • Justifier chaque passage d'une ligne de calcul à la suivante et citer la question ou l'hypothèse utilisée.
  • Écrire les quantificateurs et mener les démonstrations jusqu'au bout.
  • Éviter les résultats hors programme et démontrer ceux qui n'y figurent pas, comme la diagonalisation des matrices unitaires.
  • Utiliser la caractérisation matricielle des éléments de SU(2, C) plutôt que des calculs fastidieux (5a).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2, ℂ)

Notations

Lorsque n est un entier positif non nul, on note M_n(ℂ) l'algèbre des matrices à n lignes et n colonnes dont les coefficients sont des éléments de ℂ. On note I_n la matrice identité de M_n(ℂ).
On munit cet espace de la norme subordonnée
‖A‖‖ = sup_(X ∈ ℂ^n∖{0})(‖AX‖_2)/(‖X‖_2),
où ‖X‖_2 est la norme hermitienne de X dans ℂ^n, identifié à l'espace des vecteurs colonnes : si X = (x_1; ⋮; x_n), alors ‖X‖_2 = √(|x_1|^2 + ⋯ + |x_n|^2).
Pour A ∈ M_n(ℂ), on note ^t A la matrice transposée de A, et A¯ la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans ℂ des coefficients de A. On note Tr(A) la trace de A et det(A) le déterminant de A. On rappelle que les matrices M ∈ M_n(ℂ) de déterminant non nul forment un groupe multiplicatif, que l'on note GL_n(ℂ). Pour A, B ∈ M_n(ℂ), on note [A, B] = AB − BA.
On note L l'ensemble des matrices A de M_2(ℂ) vérifiant ^t A + A¯ = 0 et Tr(A) = 0.
On note U(2, ℂ) l'ensemble des matrices A de M_2(ℂ) vérifiant ^t AA¯ = I_2, et SU(2, ℂ) le sous-ensemble de U(2, ℂ) formé des matrices dont le déterminant est égal à 1 .

Première partie

1a. Dans cette question, M_2(ℂ) est vu comme espace vectoriel sur ℝ. Quelle est sa dimension? Montrer que L est un sous-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est formée par ( E, F, G ) avec
E = (i, 0; 0, − i), F = (0, − 1; 1, 0), G = (0, i; i, 0)
1b. Calculer [E, F], [F, G] et [G, E] en fonction de E, F et G.
2. Pour A ∈ M_n(ℂ), on rappelle que l'exponentielle de A est la matrice à coefficients complexes donnée par la formule
exp(A) = ∑_(k = 0)^∞(A^k)/(k!)
2a. Justifier la convergence de cette série.
2b. Montrer que pour A ∈ M_n(ℂ) et P matrice inversible de M_n(ℂ),
exp(P^(− 1)AP) = P^(− 1)exp(A)P
2c. Montrer que si A est une matrice triangulaire supérieure de M_n(ℂ), de coefficients diagonaux λ_1, ⋯, λ_n, alors exp(A) est une matrice triangulaire supérieure de M_n(ℂ) de coefficients diagonaux e^(λ_1), ⋯, e^(λ_n).
2d. Montrer que si A ∈ M_n(ℂ), alors det(exp(A)) = exp(Tr(A)).

Deuxième partie

  1. Montrer que U(2, ℂ) est un sous-groupe de GL_2(ℂ), et que SU(2, ℂ) est un sous-groupe de U(2, ℂ).
  2. Montrer que les éléments de SU(2, ℂ) sont les matrices de la forme (a, b; − b¯, a¯), avec a, b ∈ ℂ et |a|^2 + |b|^2 = 1.
  3. Soient M ∈ SU(2, ℂ), X ∈ ℂ^2∖{0} et λ ∈ ℂ tels que MX = λX.
5a. Montrer que |λ| = 1.
5b. Soit Y ∈ ℂ^2. Montrer que si ^t XY¯ = 0, alors ^t XM¯Y¯ = 0.
6a. Montrer que toute matrice de SU(2, ℂ) s'écrit sous la forme
P^(− 1)(e^(iθ), 0; 0, e^(− iθ))P
avec P ∈ SU(2, ℂ) et θ ∈ ℝ.
6b. Montrer que si R, S ∈ SU(2, ℂ), il y a équivalence entre les deux propriétés suivantes :
i) Tr(R) = Tr(S);
ii) il existe P ∈ SU(2, ℂ) tel que R = P^(− 1)SP.
7a. Soit A, B ∈ M_2(ℂ); on suppose que [A, B] = 0. Montrer que
‖∑_(ℓ = 0)^n 1/(ℓ!)(A + B)^ℓ − (∑_(j = 0)^n 1/(j!)A^j)(∑_(k = 0)^n 1/(k!)B^k)‖
tend vers zéro quand n → + ∞. En déduire que exp(A + B) = exp(A)exp(B).
7b. Montrer que l'image de L, par l'application exp : A ↦ exp(A), est contenue dans SU(2, ℂ).
7c. Montrer que l'application exp : L → SU(2, ℂ) est surjective.
7d. L'application exp : L → SU(2, ℂ) est-elle injective?
8. Soit G un sous-groupe de SU(2, ℂ) tel que pour tout P ∈ SU(2, ℂ) et tout g ∈ G, on ait P^(− 1)gP ∈ G. On suppose de plus que G contient au moins un élément différent de I_2 et de − I_2.
8a. Montrer que G contient au moins un élément de la forme (e^(iθ), 0; 0, e^(− iθ)) avec θ ∈ ℝ∖{kπ|k ∈ ℤ}.
8b. Lorsque A ∈ SU(2, ℂ) est donnée sous la forme indiquée à la question 4., calculer les coefficients diagonaux de A(e^(iθ), 0; 0, e^(− iθ))A^(− 1)(e^(− iθ), 0; 0, e^(iθ)) en fonction de θ et de |a|.
8c. Montrer que ⋃_(g ∈ G){Tr(g)} contient un intervalle de la forme [2 − δ, 2] avec δ > 0.
9. Montrer que G = SU(2, ℂ). On dit que le groupe SU(2, ℂ)/{ ± I_2} est simple.

Troisième partie

On se donne un espace vectoriel E sur ℂ de dimension finie, et des endomorphismes non nuls e, f, g de E tels que
e ∘ f − f ∘ e = − 2g; f ∘ g − g ∘ f = − 2e; g ∘ e − e ∘ g = − 2f
On note w = f − ig et z = f + ig.
10. Calculer
e ∘ z − z ∘ e, e ∘ w − w ∘ e, z ∘ w − w ∘ z
  1. Soit v un vecteur propre de e, associé à une valeur propre λ ∈ ℂ. Si k ∈ ℕ, montrer qu'il existe μ_k ∈ ℂ tel que
e(z^k(v)) = μ_k z^k(v)
  1. Montrer qu'il existe un vecteur propre v_0 de e, associé à une valeur propre λ_0 ∈ ℂ, et tel que z(v_0) = 0.
  2. Pour k ∈ ℕ^∗, on note v_k = w^k(v_0). Calculer e(v_k) en fonction de k, λ_0 et v_k. Calculer z(v_k) en fonction de k, λ_0 et v_(k − 1).
14a. Montrer qu'il existe n ∈ ℕ tel que v_(n + 1) soit nul et v_0, …, v_n soient linéairement indépendants.
14b. On suppose que n ≥ 1. Montrer que pour k = 1, …, n − 1, on a
e(v_k) = i(n − 2k)v_k, z(v_k) = − 4k(n − k + 1)v_(k − 1), w(v_k) = v_(k + 1)
et d'autre part
e(v_0) = inv_0, z(v_0) = 0, w(v_0) = v_1; e(v_n) = − inv_n, z(v_n) = − 4nv_(n − 1), w(v_n) = 0

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS maths A MP 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS maths A MP 2012 ?

Il porte sur l'exponentielle de matrices, les groupes U(2, C) et SU(2, C), la réduction des endomorphismes et l'étude d'endomorphismes liés par des relations de commutation.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS maths A MP 2012 ?

Selon le rapport, la moyenne est de 8,96 avec un écart-type de 3,15 sur 1588 copies. Une dizaine de candidats a obtenu 20.

Quelles erreurs le jury de X-ENS maths A MP 2012 a-t-il le plus relevées ?

Des justifications absentes ou incomplètes, la confusion entre convergence normale et absolue, des récurrences à la place de passages à la limite et une diagonalisation dans SU(2, C) démontrée partiellement.

Le sujet X-ENS maths A MP 2012 est-il difficile ?

Le jury indique qu'aucune question n'était particulièrement difficile, mais que beaucoup étaient délicates à rédiger correctement. La fin de la troisième partie a été atteinte par une poignée de candidats.

Pas de description pour le moment