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Centrale Mathématiques 2 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Suites récurentes linéaires et matrices de Hankel

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Suites récurrentes linéaires et matrices de Hankel
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Le problème porte sur les suites récurrentes linéaires à coefficients constants et sur les matrices de Hankel associées. Il détermine la structure de l'espace des suites récurrentes linéaires vérifiant une relation donnée, relie leur polynôme minimal aux rangs des matrices de Hankel, puis entame l'étude de la théorie spectrale inverse des matrices de Hankel réelles.

  1. 1I. Suites récurrentes linéairesStructure de l'espace des suites récurrentes linéaires, à l'aide du lemme de décomposition des noyaux et de cas particuliers explicites.
  2. 2II. Matrices de Hankel associées à une suite récurrente linéaireLien entre le polynôme minimal d'une suite récurrente linéaire et les rangs des matrices de Hankel associées, illustré par un exemple.
  3. 3III. Valeurs propres des matrices de Hankel réellesRecherche de conditions suffisantes pour qu'un n-uple de réels soit la liste des valeurs propres d'une matrice de Hankel réelle de taille n.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un texte d'une longueur raisonnable ayant permis un bon étalement des notes, les meilleurs candidats ayant bien traité la quasi-totalité du problème.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusions de typage entre scalaires, suites et polynômes · Oubli de vérifier l'hypothèse du lemme de décomposition des noyaux · Résultats énoncés sans être prouvés
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Le sujet, de nature entièrement algébrique, demandait une bonne compréhension de la notion d'idéal et du lemme de décomposition des noyaux, ainsi que la maîtrise du théorème spectral. Les correcteurs ont été surpris par des confusions de typage entre scalaires, suites et polynômes, et regrettent une qualité de rédaction trop souvent médiocre malgré une compréhension globalement honorable de l'algèbre linéaire.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusions de typage entre scalaires, suites et polynômes

    Les correcteurs ont été surpris par des confusions fréquentes entre scalaires et suites, ou entre suites finies et polynômes, dans les questions de nature théorique.

    « les correcteurs ont par exemple été surpris par les confusions entre scalaires et suites, suites finies et polynômes »
  2. 2
    Oubli de vérifier l'hypothèse du lemme de décomposition des noyauxI.D

    En I.D, beaucoup de candidats ont oublié de vérifier l'hypothèse du lemme de décomposition des noyaux avant de l'appliquer.

  3. 3
    Résultats énoncés sans être prouvésI.C

    Dans la sous-partie I.C, les résultats sur la dimension de l'espace des solutions ont été beaucoup plus souvent énoncés que réellement justifiés.

  4. 4
    Tentatives d'escroquerie sur le calcul de normeIII.B.4

    Les correcteurs ont noté d'assez nombreuses tentatives d'escroquerie en III.B.4, la copie devant faire apparaître explicitement le calcul de la norme de w.

    « la copie se devait de faire apparaitre le calcul de la norme de w »
  5. 5
    Conclusions imprécises

    Les correcteurs ont noté une certaine incapacité à conclure une réponse de manière claire et synthétique, ainsi que l'oubli fréquent des réciproques.

    « une certaine incapacité à conclure une réponse de manière claire et synthétique »

Ce qui a été bien réussi

  • Les meilleurs candidats ont bien traité la quasi-totalité du problème.
  • La question I.C.3.b, plus délicate, a été traitée par un certain nombre de très bons candidats.
  • La question III.A.1, très simple, a été généralement bien traitée.
  • L'inégalité de Cauchy-Schwarz est souvent utilisée à bon escient en partie III.B.

Conseils du jury

  • Bien typer les objets manipulés : distinguer clairement scalaires, suites et polynômes.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème, comme celles du lemme de décomposition des noyaux, avant de l'appliquer.
  • Justifier réellement les résultats énoncés plutôt que de se contenter de les affirmer.
  • Soigner la présentation et la lisibilité de la copie, un critère systématiquement sanctionné s'il fait défaut.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Ce sujet est divisé en trois parties. La partie III est indépendante des deux premières (même si les parties II et III ont en commun de s'intéresser à des matrices dites de Hankel).
Il est attendu des candidat(e)s qu'ils fassent preuve de qualités de rédaction, de clarté et de présentation.

Notations

Dans tout le problème, 𝕂 désigne indifféremment ℝ ou ℂ.
On note 𝕂^ℕ l'espace vectoriel des suites à valeurs dans 𝕂.
Pour tout espace vectoriel E sur 𝕂, on note L(E) l'algèbre des endomorphismes de E.
On note σ l'élément de L(𝕂^ℕ) qui à tout x = (x_n)_(n ∈ ℕ) de 𝕂^ℕ associe y = (y_n)_(n ∈ ℕ) dans 𝕂^ℕ de terme général y_n = x_(n + 1).
On note 𝕂[X] l'algèbre des polynômes à coefficients dans 𝕂, et 𝕂_m[X] le sous-espace vectoriel de 𝕂[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à m.
On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire si le coefficient de son monôme de plus haut degré vaut 1 .
On note M_n(𝕂) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans 𝕂.
Si M est une matrice carrée, on note ^t M sa transposée et tr(M) sa trace.
On note S_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées symétriques d'ordre n à coefficients réels.

Rappels sur les polynômes d'endomorphisme

On effectue ici quelques rappels utiles sur les polynômes d'endomorphisme d'un espace vectoriel.
Soit E un espace vectoriel sur 𝕂. On note Id l'endomorphisme identité de E.
Pour tout f de L(E), et tout A = ∑_(k = 0)^p a_k X^k de 𝕂[X], on note A(f) = ∑_(k = 0)^p a_k f^k (avec la convention f^0 = Id ).
Pour tout f de L(E), l'application A ↦ A(f) est alors un morphisme d'algèbres de 𝕂[X] dans L(E).
Rappelons que cela signifie que, pour tous A, B de 𝕂[X] et pour tous scalaires α, β de 𝕂, on a :
− (αA + βB)(f) = αA(f) + βB(f);
  • si A = 1, alors A(f) = Id;
    − (AB)(f) = A(f) ∘ B(f) = B(f) ∘ A(f).
    Cas particulier (utile dans la suite du problème) :
  • Si E = 𝕂^ℕ, f = σ et A = ∑_(k = 0)^p a_k X^k, alors A(σ) = ∑_(k = 0)^p a_k σ^k.
  • Pour tout x de 𝕂^ℕ, y = A(σ)(x) est donc la suite de terme général y_n = ∑_(k = 0)^p a_k x_(n + k).

I Suites récurrentes linéaires

Soit p un entier naturel.
On dit qu'un élément x de 𝕂^ℕ est une suite récurrente linéaire (en abrégé une SRL) d'ordre p ⩾ 0 s'il existe un polynôme A = ∑_(k = 0)^p a_k X^k dans 𝕂[X] de degré p, tel que A(σ)(x) soit la suite nulle, c'est-à-dire si :
∀n ∈ ℕ ∑_(k = 0)^p a_k x_(n + k) = a_p x_(n + p) + a_(p − 1)x_(n + p − 1) + ⋯ + a_1 x_(n + 1) + a_0 x_n = 0
On dit que la relation I. 1 (dans laquelle, rappelons-le, a_p est non nul) est une relation de récurrence linéaire d'ordre p, dont A est un polynôme caractéristique.
L'ensemble des suites x de 𝕂^ℕ qui obéissent à I. 1 est noté R_A(𝕂).
On note R(𝕂) l'ensemble de toutes les suites récurrentes linéaires, quel que soit leur ordre (autrement dit, R(𝕂) est la réunion des R_A(𝕂) pour tous les polynômes A non nuls dans 𝕂[X] ).

I.A - Ordre (et polynôme) minimal d'une suite récurrente linéaire

Soit x une suite récurrente linéaire.
Montrer que l'ensemble J_x des polynômes A tels que A(σ)(x) = 0 est un idéal de 𝕂[X], non réduit à {0}.
On rappelle qu'il en résulte deux choses :
  • d'une part, il existe dans J_x un unique polynôme unitaire B de degré minimal ;
  • d'autre part, les éléments de J_x sont les multiples de B.
Par définition, on dit que B est le polynôme minimal de la suite x, que le degré de B est l'ordre minimal de x, et que la relation B(σ)(x) = 0 est la relation de récurrence minimale de x.

I.B - Quelques exemples

I.B.1) Dans 𝕂^ℕ, quelles sont les suites récurrentes linéaires d'ordre 0 ? d'ordre 1 ?
Quelles sont les suites de 𝕂^ℕ dont le polynôme minimal est (X − 1)^2 ?
I.B.2) On considère la suite x définie par x_0 = 0, x_1 = − 1, x_2 = 2 et par la relation de récurrence linéaire d'ordre 3 : ∀n ∈ ℕ, x_(n + 3) = − 3x_(n + 2) − 3x_(n + 1) − x_n.
Déterminer le polynôme minimal (et donc l'ordre minimal) de la suite x.

I.C - L'espace vectoriel R_A(𝕂) et deux cas particuliers

Soit A = ∑_(k = 0)^p a_k X^k un élément de 𝕂[X], de degré p ⩾ 0, que sans perdre de généralité on suppose unitaire.
I.C.1) Prouver que R_A(𝕂) est un sous-espace vectoriel de dimension p de 𝕂^ℕ et qu'il est stable par σ (on ne demande pas ici de déterminer une base de R_A(𝕂), car c'est l'objet des questions suivantes).
I.C.2) Déterminer R_A(𝕂) quand A = X^p (avec p ⩾ 1 ) et en donner une base.
I.C.3) Dans cette question, on suppose p ⩾ 1 et A = (X − λ)^p, avec λ dans 𝕂^∗.
On note E_A(𝕂) l'ensemble des x de 𝕂^ℕ de terme général x_n = Q(n)λ^n, où Q est dans 𝕂_(p − 1)[X].
a) Montrer que E_A(𝕂) est un sous-espace vectoriel de 𝕂^ℕ dont on précisera la dimension.
b) Montrer l'égalité R_A(𝕂) = E_A(𝕂).

I.D - Étude de R_A(𝕂) quand A est scindé sur 𝕂

Dans cette question, on suppose que le polynôme A est scindé sur 𝕂.
Plus précisément, on note A = X^(m_0)∏_(k = 1)^d(X − λ_k)^(m_k), où :
  • les scalaires λ_1, λ_2, …, λ_d sont les racines non nulles distinctes éventuelles de A dans 𝕂, et m_1, m_2, …, m_d sont leurs multiplicités respectives (supérieures ou égales à 1). Si A n'a pas de racine non nulle, on convient que d = 0 et que ∏_(k = 1)^d(X − λ_k)^(m_k) = 1;
  • l'entier m_0 est la multiplicité de 0 comme racine éventuelle de A. Si 0 n'est pas racine de A, on adopte la convention m_0 = 0.
    Avec ces notations, on a ∑_(k = 0)^d m_k = degA = p.
    En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, montrer que R_A(𝕂) est l'ensemble des suites x = (x_n)_(n ⩾ 0) de 𝕂^ℕ telles que:
∀n ⩾ m_0, x_n = ∑_(k = 1)^d Q_k(n)λ_k^n
où, pour tout k de {1, …, d}, Q_k est dans 𝕂[X] avec degQ_k < m_k.
Remarque : si d = 0, la somme ∑_(k = 1)^d Q_k(n)λ_k^n est par convention égale à 0 .

II Matrices de Hankel associées à une suite récurrente linéaire

Soit x dans 𝕂^ℕ. Pour tout entier n de ℕ^∗, on note H_n(x) la matrice de M_n(𝕂) définie par
∀(i, j) ∈ {1, …, n}^2, [H_n(x)]_(i, j) = x_(i + j − 2)
On a par exemple H_2(x) = (x_0, x_1; x_1, x_2), H_3(x) = (x_0, x_1, x_2; x_1, x_2, x_3; x_2, x_3, x_4) et H_4(x) = (x_0, x_1, x_2, x_3; x_1, x_2, x_3, x_4; x_2, x_3, x_4, x_5; x_3, x_4, x_5, x_6).
On identifie toute matrice de M_n(𝕂) avec l'endomorphisme de 𝕂^n qui lui est associé dans la base canonique. On identifie de même tout élément de 𝕂^n avec la matrice-colonne qui lui correspond.

II.A - Calcul du rang de H_n(x) quand x est une suite récurrente linéaire

Dans cette section, x est une suite récurrente linéaire d'ordre minimal p ⩾ 1 et de polynôme minimal B.
II.A.1) Montrer que la famille (σ^k(x))_(0 ⩽ k ⩽ p − 1) est une base de R_B(𝕂).
En déduire, pour tout n de ℕ^∗, le rang de la famille (σ^k(x))_(0 ⩽ k ⩽ n − 1).
II.A.2) Montrer que si n ⩾ p, l'application φ_n : {R_B(𝕂) → 𝕂^n; v ↦ (v_0, …, v_(n − 1)) est injective.
En déduire que si n ⩾ p, alors rang(H_n(x)) = p.
Remarque : il est clair que ce résultat reste vrai si p = 0 (car la suite x et les matrices H_n(x) sont nulles).

II.B - Détermination de la récurrence minimale d'une suite récurrente linéaire

Soit x une suite récurrente linéaire non nulle, d'ordre m ⩾ 1. Soit p = rang(H_m(x)).
II.B.1) Montrer que x est d'ordre minimal p et que le noyau de H_(p + 1)(x) est une droite vectorielle dont un vecteur directeur peut s'écrire (b_0, …, b_(p − 1), 1), où b_0, …, b_(p − 1) sont dans 𝕂.
II.B.2) Avec ces notations, montrer que le polynôme minimal de x est B = X^p + b_(p − 1)X^(p − 1) + ⋯ + b_1 X + b_0.

II.C - Étude d'un exemple

Dans cette question, on considère la suite x = (x_n)_(n ⩾ 0) définie par
x_0 = 1, x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 0, et ∀n ∈ ℕ, x_(n + 4) = x_(n + 3) − 2x_(n + 1)
II.C.1) Dans le langage informatique de votre choix (que vous préciserez), écrire une procédure (ou fonction) de paramètre un entier naturel n et renvoyant la liste (ou la séquence, ou le vecteur) des x_k pour 0 ⩽ k ⩽ n.
II.C.2) Préciser le rang de H_n(x) pour tout entier n de ℕ^∗ et indiquer l'ordre minimal de la suite x.
II.C.3) Déterminer la relation de récurrence minimale de la suite x.
II.C.4) Donner une formule permettant pour tout n ⩾ 1 de calculer directement x_n.
II.C.5) On décide de modifier uniquement la valeur de x_0, en posant cette fois x_0 = 1/2.
Avec cette modification, reprendre rapidement l'étude des questions II.C. 2 et II.C.3.

III Valeurs propres des matrices de Hankel réelles

Dans toute cette partie, n désigne un entier supérieur ou égal à 3 .
On note p = [(n + 1)/2] la partie entière de (n + 1)/2.
On a donc n = 2p si n est pair, et n = 2p − 1 si n est impair.
ℝ^n est muni de sa structure euclidienne canonique dont le produit scalaire est noté ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et la norme associée est notée ‖ ⋅ ‖.
Un élément de x = (x_1, …, x_n) de ℝ^n est dit ordonné s'il vérifie si x_1 ⩾ x_2 ⩾ … ⩾ x_n.
On dit qu'une matrice M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℝ) est une matrice de Hankel s'il existe a = (a_0, …, a_(2n − 2)) ∈ ℝ^(2n − 1) tel que pour tous i et j de {1, …, n}, m_(i, j) = a_(i + j − 2). Une telle matrice est notée M = H(a).

III.A - Préliminaires

III.A.1) Montrer que si M est une matrice de Hankel de taille n alors elle admet n valeurs propres réelles λ_1, …, λ_n (chacune étant répétée autant de fois que sa multiplicité) que l'on peut classer dans l'ordre décroissant λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ … ⩾ λ_n.
On note alors Spo(M) = (λ_1, …, λ_n) le spectre ordonné de la matrice M, c'est-à-dire le n-uplet ordonné des valeurs propres de M.
On s'intéresse au problème suivant : à quelles conditions un n-uplet ordonné de réels peut-il être le n-uplet ordonné des valeurs propres d'une matrice de Hankel de taille n ?
III.A.2) Montrer que si λ ∈ ℝ^∗ alors le n-uplet ( λ, …, λ ) n'est pas le n-uplet ordonné des valeurs propres d'une matrice de Hankel de taille n.

III.B - Une première condition nécessaire

Soit a = (a_0, …, a_(2n − 2)) un élément de ℝ^(2n − 1) et M = H(a). On note Spo(M) = (λ_1, …, λ_n).
On définit deux vecteurs v = (v_1, …, v_n) et w = (w_1, …, w_n) de ℝ^n par
{v_i = √(2i − 1)a_(2(i − 1)) et w_i = 1/(√(2i − 1)), si i ∈ {1, …, p}; v_i = √(2n − 2i + 1)a_(2(i − 1)) et w_i = 1/(√(2n − 2i + 1)), si i ∈ {p + 1, …, n}
On pose enfin K_n = n − ‖w‖^2.
III.B.1) Montrer que
∑_(i = 1)^n λ_i = ∑_(k = 0)^(n − 1)a_(2k) et ∑_(i = 1)^n λ_i^2 = ∑_(k = 0)^(n − 1)(k + 1)a_k^2 + ∑_(k = n)^(2n − 2)(2n − k − 1)a_k^2
III.B.2) Montrer que ⟨v, w⟩ = ∑_(i = 1)^n λ_i et ‖v‖^2 ⩽ ∑_(i = 1)^n λ_i^2.
III.B.3) Montrer que ∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(λ_i − λ_j)^2 = n∑_(i = 1)^n λ_i^2 − ⟨v, w⟩^2 et en déduire l'inégalité :
∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(λ_i − λ_j)^2 ⩾ K_n∑_(i = 1)^n λ_i^2
III.B.4) Vérifier que si n = 3, la condition III. 1 équivaut à : 2(λ_1^2 + λ_2^2 + λ_3^2) ⩾ 3(λ_1 λ_2 + λ_1 λ_3 + λ_2 λ_3).

III.C - D'autres conditions nécessaires

Dans cette partie, on admet le résultat suivant : si A et B sont deux matrices de S_n(ℝ) dont les valeurs propres respectives (avec répétitions éventuelles) sont α_1 ⩾ … ⩾ α_n et β_1 ⩾ … ⩾ β_n alors
∑_(i = 1)^n α_i β_(n + 1 − i) ⩽ tr(AB) ⩽ ∑_(i = 1)^n α_i β_i
Soit B = (b_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) la matrice de M_n(ℝ) définie par
b_(1, 2p − 1) = 1 b_(2p − 1, 1) = 1 b_(p, p) = − 2
tous les autres coefficients de B étant nuls (on rappelle que p désigne la partie entière de (n + 1)/2 ).
III.C.1) Déterminer le spectre ordonné de la matrice B.
III.C.2) Soit a = (a_0, …, a_(2n − 2)) un élément de ℝ^(2n − 1) et M = H(a).
On note Spo(M) = (λ_1, …, λ_n).
Établir que
λ_1 − λ_(n − 1) − 2λ_n ⩾ 0 et 2λ_1 + λ_2 − λ_n ⩾ 0

III.D - Cas n = 3

Soient λ_1, λ_2, λ_3 trois réels vérifiant
λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ λ_3 λ_1 − λ_2 − 2λ_3 ⩾ 0 2λ_1 + λ_2 − λ_3 ⩾ 0
On définit la matrice de Hankel M = H(a, b, c, b, a) = (a, b, c; b, c, b; c, b, a), où a, b, c sont réels.
III.D.1) Calculer les valeurs propres de M (sans chercher à les ordonner).
III.D.2) Expliciter a, b, c (avec b ⩾ 0 ) en fonction de λ_1, λ_2, λ_3, de telle sorte que Spo(M) = (λ_1, λ_2, λ_3).
III.D.3) Que peut-on déduire du résultat précédent, quant à la condition III. 3 dans le cas n = 3 ?
En utilisant un triplet ordonné ( λ, 1, 1 ), montrer que pour n = 3, la condition III. 1 n'est pas suffisante.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2012 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2012 ?

Le sujet porte sur les suites récurrentes linéaires, le lemme de décomposition des noyaux, la réduction des endomorphismes et le théorème spectral, appliqués aux matrices de Hankel.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Des confusions de typage entre scalaires, suites et polynômes, l'oubli de vérifier les hypothèses du lemme de décomposition des noyaux, et des résultats énoncés sans être prouvés.

Ce sujet de maths 2 Centrale MP 2012 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme d'une longueur raisonnable ayant permis un bon étalement des notes, les meilleurs candidats traitant la quasi-totalité du problème.

La calculatrice est-elle utile pour le sujet maths 2 Centrale MP 2012 ?

Oui, le sujet comporte des applications numériques facilitées par la calculatrice, mais le rapport note que beaucoup de candidats utilisent mal cette possibilité alors que son impact sur le barème est clair.

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