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Centrale Mathématiques 2 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Propriétés de la matrice de Hilbert
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Le problème étudie certaines propriétés de la matrice de Hilbert Hn. Les deux premières parties, préliminaires, établissent le critère de Sylvester-Jacobi puis introduisent les polynômes de Legendre orthogonaux sur [0,1]. Les parties suivantes calculent le déterminant de Hn, relient son inverse à une projection orthogonale, puis démontrent que les coefficients de cet inverse sont des entiers.

  1. 1Partie I : caractérisation des matrices symétriques définies positivesÉtablir le critère de Sylvester-Jacobi, qui caractérise les matrices symétriques définies positives par la stricte positivité des mineurs principaux.
  2. 2Partie II : étude d'une suite de polynômesIntroduire les polynômes de Legendre relatifs au segment [0,1] pour obtenir une base orthogonale échelonnée en degré.
  3. 3Partie III : matrices de HilbertCalculer le déterminant de la matrice de Hilbert et relier son inverse à un problème de projection orthogonale.
  4. 4Partie IV : propriétés des coefficients de l'inverse de HnÉtudier la somme des coefficients de l'inverse de Hn et démontrer que ces coefficients sont des entiers.

Difficile. Le rapport décrit un sujet assez long, avec un résultat final contrasté : beaucoup de copies sont faibles et une part importante souffre d'une argumentation approximative ou de lacunes techniques, malgré un lot raisonnable de bons candidats.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Spectre d'une sous-matrice supposé inclus dans le spectre global · Changement de base non pris en compte · Confusion entre polynômes et fonctions polynomiales
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Le sujet, de facture classique, demandait une bonne maîtrise du calcul matriciel, des déterminants, des espaces préhilbertiens et des matrices symétriques. L'organisation en parties largement indépendantes a permis à un nombre significatif de candidats d'aborder chaque partie, avec plus ou moins de bonheur.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Spectre d'une sous-matrice supposé inclus dans le spectre globalI.B.1

    Beaucoup de candidats affirment que le spectre d'une sous-matrice extraite est contenu dans celui de la matrice complète, ce qui est manifestement faux en général.

  2. 2
    Changement de base non pris en compteI.B.3.a, I.C

    Certains candidats remplacent une matrice par une matrice diagonale qui lui est orthogonalement semblable, sans se rendre compte qu'ils changent ainsi de base.

  3. 3
    Confusion entre polynômes et fonctions polynomialesII.A

    La vérification de la bilinéarité et du caractère défini du produit scalaire est incomplète, avec une confusion entre polynômes et fonctions polynomiales.

  4. 4
    Unicité mal compriseII.E

    En II.E, l'unicité est mal comprise, ce qui témoigne d'un certain manque de vision géométrique.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie II, plus concrète et proche du cours, a été abordée par beaucoup de candidats avec un fond souvent à peu près compris.
  • Les premières questions des parties IV.A et IV.B, simples, ont été assez fréquemment abordées.
  • Le lien avec le théorème de Weierstrass est assez souvent mentionné en partie III.B.

Conseils du jury

  • Utiliser la calculatrice pour faciliter les calculs d'inverses de matrices, tout en présentant les résultats sous une forme simplifiée.
  • Expliciter complètement l'énoncé et les hypothèses d'un résultat de cours avant de l'appliquer.
  • Étudier le cours en profondeur pour être capable de reconstituer un raisonnement classique comme celui de la formule de Parseval.
  • Rédiger avec clarté et concision, en mettant en évidence les résultats obtenus.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Rappels et notations

Pour tout entier naturel non nuln, on note:
  • [ [1; n] ] l'ensemble des entiers naturels k tels que 1 ⩽ k ⩽ n;
  • M_n(ℝ) (respectivement M_(n, 1)(ℝ) ) l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans ℝ;
  • S_n(ℝ) le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) constitué des matrices symétriques.
Soit n ∈ ℕ^∗ et A ∈ S_n(ℝ); on dit que A est positive (respectivement définie positive) si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XAX ⩾ 0 (respectivement ^t XAX > 0 si X ≠ 0).
L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté ℝ[X], et, pour tout entier naturel p, le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté ℝ_p[X].

Objectifs

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices réelles définies positives, à l'aide des déterminants de certaines matrices extraites.
La deuxième partie aborde l'étude d'une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l'aide d'une intégrale.
La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont certaines propriétés sont étudiées dans la partie IV.

I Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I.A − Soit n ∈ ℕ^∗ et A ∈ S_n(ℝ).
I.A.1) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
I.B - Pour n ∈ ℕ^∗, A ∈ S_n(ℝ) et i ∈ [ [1; n] ], on note A^((i)) la matrice carrée d'ordre i extraite de A, constituée par les i premières lignes et les i premières colonnes de A.
Le but de cette question est de démontrer l'équivalence suivante :
A est définie positive ⟺ ∀i ∈ [ [1; n] ], det(A^((i))) > 0.
I.B.1) Soit A ∈ S_n(ℝ). On suppose que A est définie positive.
Pour tout i ∈ [ [1; n] ], montrer que la matrice A^((i)) est définie positive et en déduire que det(A^((i))) > 0.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on dira qu'une matrice A de S_n(ℝ) vérifie la propriété P_n si det(A^((i))) > 0 pour tout i ∈ [ [1; n] ].
I.B.2) Dans les cas particuliers n = 1 et n = 2, montrer directement que toute matrice A ∈ S_n(ℝ) vérifiant la propriété P_n est définie positive.
I.B.3) Soit n ∈ ℕ^∗. On suppose que toute matrice de S_n(ℝ) vérifiant la propriété P_n est définie positive. On considère une matrice A de S_(n + 1)(ℝ) vérifiant la propriété P_(n + 1) et on suppose par l'absurde que A n'est pas définie positive.
a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives.
b) En déduire qu'il existe X ∈ M_(n + 1, 1)(ℝ) dont la dernière composante est nulle et tel que ^t XAX < 0.
c) Conclure.
I.C - Soit A une matrice de S_n(ℝ). A-t-on l'équivalence suivante :
A est positive ⟺ ∀i ∈ [ [1; n] ], det(A^((i))) ⩾ 0?
I.D - Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en entrée une matrice M ∈ S_n(ℝ) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie «true» si la matrice M est définie positive, et «false» dans le cas contraire.

II Étude d'une suite de polynômes

On définit la suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ) par :
{P_0 = 1; ∀n ∈ ℕ^∗, P_n = [X(X − 1)]^n
De plus, on pose :
∀(P, Q) ∈ (ℝ[X])^2, ⟨P, Q⟩ = ∫_0^1 P(t)Q(t)dt
II.A - Montrer que l'application (P, Q) ↦ ⟨P, Q⟩ est un produit scalaire sur ℝ[X].
II. B - On note P_n^((n)) le polynôme dérivé n fois de P_n.
Déterminer le degré de P_n^((n)) et calculer P_n^((n))(1).
On définit la suite de polynômes (L_n)_(n ∈ ℕ) par :
{L_0 = 1; ∀n ∈ ℕ^∗, L_n = 1/(P_n^((n))(1))P_n^((n))
II. C - Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que, pour tout Q ∈ ℝ_(n − 1)[X], ⟨Q, L_n⟩ = 0.
Indication : on pourra intégrer par parties.

II.D -

II.D.1) Pour tout n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^1 P_n(u)du.
Calculer, pour tout n ∈ ℕ, la valeur de I_n.
II.D.2) En déduire pour tout n ∈ ℕ la relation : ⟨L_n, L_n⟩ = 1/(2n + 1).
II.E - Déterminer une famille de polynômes (K_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant les deux conditions suivantes :
i. pour tout n ∈ ℕ, le degré de K_n vaut n et son coefficient dominant est strictement positif;
ii. pour tout N ∈ ℕ, (K_n)_(0 ⩽ n ⩽ N) est une base orthonormale de ℝ_N[X] pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩. Justifier l'unicité d'une telle famille.
II.F - Calculer K_0, K_1 et K_2.

III Matrices de Hilbert

Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit la matrice H_n par :
∀(i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, (H_n)_(i, j) = 1/(i + j − 1)
où (H_n)_(i, j) désigne le coefficient de place (i, j) de la matrice H_n.
On note de plus Δ_n = det(H_n).

III.A - Étude de quelques propriétés de H_n

III.A.1) Calculer H_2 et H_3. Montrer que ce sont des matrices inversibles et déterminer leur inverse. Dans les questions suivantes de III.A, on désigne par n un entier naturel non nul.
III.A.2) Montrer la relation :
Δ_(n + 1) = ((n!)^4)/((2n)!(2n + 1)!)Δ_n
Indication : on pourra commencer par soustraire la dernière colonne de Δ_(n + 1) à toutes les autres.
III.A.3) En déduire l'expression de Δ_n en fonction de n (on fera intervenir les quantités c_m = ∏_(i = 1)^(m − 1)i ! pour des entiers m adéquats).
III.A.4) Prouver que H_n est inversible, puis que det(H_n^(− 1)) est un entier.
III.A.5) Démontrer que H_n admet n valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) strictement positives.

III.B - Approximation au sens des moindres carrés

On note C^0([0; 1], ℝ) l'espace vectoriel des fonctions continues de [0; 1] dans ℝ. On convient d'identifier l'espace ℝ[X] au sous-espace vectoriel de C^0([0; 1], ℝ) constitué des fonctions polynomiales de [0, 1] dans ℝ; ainsi, pour tout entier naturel i, le polynôme X^i est confondu avec la fonction polynomiale définie par X^i(t) = t^i pour tout t ∈ [0, 1].
On étend à C^0([0; 1], ℝ) le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ de la partie II en posant
∀f, g ∈ C^0([0; 1], ℝ), ⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt
(On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire sur C^0([0; 1], ℝ).)
On note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction f ∈ C^0([0; 1], ℝ), on a donc
‖f‖ = √(⟨f, f⟩)
III.B.1) Soit n ∈ ℕ. Montrer qu'il existe un unique polynôme Π_n ∈ ℝ_n[X] tel que
‖Π_n − f‖ = min_(Q ∈ ℝ_n[X])‖Q − f‖
III.B.2) Montrer que la suite (‖Π_n − f‖)_(n ∈ ℕ) est décroissante et converge vers 0 .
III.B.3) Montrer que H_n est la matrice du produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩, restreint à ℝ_(n − 1)[X], dans la base canonique de ℝ_(n − 1)[X].
III.B.4) Calculer les coefficients de Π_n à l'aide de la matrice H_(n + 1)^(− 1) et des réels ⟨f, X^i⟩.
III.B.5) Déterminer explicitement Π_2 lorsque f est la fonction définie pour tout t ∈ [0, 1] par f(t) = 1/(1 + t^2).

IV Propriétés des coefficients de H_n^(− 1)

IV.A - Somme des coefficients de H_n^(− 1)

Pour n ∈ ℕ^∗ et (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, on note h_(i, j)^((− 1, n)) le coefficient de place ( i, j ) de la matrice H_n^(− 1) et on désigne par s_n la somme des coefficients de la matrice H_n^(− 1), c'est-à-dire :
s_n = ∑_(1 ⩽ i, j ⩽ n)h_(i, j)^((− 1, n))
IV.A.1) Calculer s_1, s_2 et s_3. Conjecturer de manière générale la valeur de s_n en fonction de n.
IV.A.2) Soit n ∈ ℕ^∗.
a) Montrer qu'il existe un unique n-uplet de nombres réels (a_p^((n)))_(0 ⩽ p ⩽ n − 1) vérifiant le système de n équations linéaires à n inconnues suivant :
{a_0^((n)), +, (a_1^((n)))/2, +, ⋯, +, (a_(n − 1)^((n)))/n =; +, 1; (a_0^((n)))/2, +, (a_1^((n)))/3, +, ⋯, +, (a_(n − 1)^((n)))/(n + 1) =; ⋮, ⋮, 1; ⋮, ⋮; (a_0^((n)))/n, +, (a_1^((n)))/(n + 1), +, ⋯, +, (a_(n − 1)^((n)))/(2n − 1) =
b) Montrer que s_n = ∑_(p = 0)^(n − 1)a_p^((n)).
On définit, pour tout n ∈ ℕ^∗, le polynôme S_n par : S_n = a_0^((n)) + a_1^((n))X + ⋯ + a_(n − 1)^((n))X^(n − 1). Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par n un entier naturel non nul.
IV.A.3) Montrer que
∀Q = α_0 + α_1 X + ⋯ + α_(n − 1)X^(n − 1) ∈ ℝ_(n − 1)[X], ⟨S_n, Q⟩ = ∑_(p = 0)^(n − 1)α_p
IV.A.4) Exprimer s_n à l'aide de la suite de polynômes (K_p)_(p ∈ ℕ) définie à la question II.E.
IV.A.5) Pour tout p ∈ [ [0; n − 1] ], calculer K_p(1).
IV.A.6) Déterminer la valeur de s_n.

IV.B - Les coefficients de H_n^(− 1) sont des entiers

Pour n ∈ ℕ et k ∈ [ [0; n] ], on note (n/k) le coefficient binomial (n/k) = (n!)/(k!(n − k)!).
IV.B.1) Soit p ∈ ℕ^∗. Montrer que ((2p)/p) est un entier pair.
En déduire que, si n ∈ ℕ^∗ et p ∈ [ [1; n] ], alors ((n + p)/p)(n/p) est un entier pair.
IV.B.2) Pour tout n ∈ ℕ, montrer qu'on peut écrire :
K_n = √(2n + 1)Λ_n
où Λ_n est un polynôme à coefficients entiers que l'on explicitera.
Parmi les coefficients de Λ_n, lesquels sont pairs?

IV.B.3)

Soit n ∈ ℕ^∗.
a) Calculer h_(i, i)^((− 1, n)) pour tout i ∈ [ [1; n] ]; on donnera en particulier une expression très simple de h_(1, 1)^((− 1, n)) et h_(n, n)^((− 1, n)) en fonction de n.
b) Calculer h_(i, j)^((− 1, n)) pour tout couple (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2; en déduire que les coefficients de H_n^(− 1) sont des entiers.
c) Montrer que h_(i, j)^((− 1, n)) est divisible par 4 pour tout couple (i, j) ∈ [ [2; n] ]^2.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale MP 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale MP 2011 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques, les formes quadratiques, les espaces préhilbertiens et les polynômes orthogonaux, à travers l'étude de la matrice de Hilbert.

Le sujet de maths 2 Centrale MP 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme assez long et de facture classique, avec un résultat contrasté : beaucoup de copies sont faibles malgré un lot raisonnable de bons candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale MP 2011 ?

Le jury signale une confusion sur le spectre d'une sous-matrice, un changement de base non pris en compte, et une confusion entre polynômes et fonctions polynomiales.

Faut-il bien connaître les matrices de Hilbert pour ce sujet de maths 2 Centrale MP 2011 ?

Non, le sujet les introduit progressivement ; il demande surtout une bonne maîtrise du calcul matriciel, des déterminants et des espaces préhilbertiens du programme.

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