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Centrale Mathématiques 2 MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Décomposition polaire et applications

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Décomposition polaire des matrices réelles et applications
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Le problème établit l'existence et l'unicité de la décomposition polaire d'une matrice inversible, puis son existence pour toute matrice réelle par des arguments topologiques. Il l'applique à la similitude orthogonale de matrices unitairement semblables et à la résolution d'un système matriciel. Il étudie ensuite les éléments propres d'une matrice tridiagonale, puis le maximum de M ↦ Tr(AM) sur le groupe orthogonal, avec un équivalent final.

  1. 1Partie I : décomposition polaireRacine carrée d'un endomorphisme autoadjoint défini positif, décomposition polaire dans GLn(R), compacité de O(n), densité de GLn(R) et continuité de la réciproque.
  2. 2Partie II : deux applicationsDeux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables, puis condition d'existence d'une solution inversible d'un système matriciel.
  3. 3Partie III : valeurs propres d'une matrice tridiagonaleRécurrence linéaire d'ordre 2 sur les polynômes caractéristiques, valeurs propres et base de vecteurs propres.
  4. 4Partie IV : maximum de la trace sur le groupe orthogonalReprésentation des formes linéaires par la trace, calcul du maximum à l'aide des valeurs propres de tAA et équivalent asymptotique.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un texte de longueur raisonnable dont la première partie est assez facile et classique, avec des questions plus délicates rarement résolues, comme II.B.2.c ou la fin de IV.C.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Questions de cours expédiées · Diagonalisabilité de l'endomorphisme induit oubliée · Caractérisations fausses par le déterminant
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Le sujet couvre largement le programme d'algèbre linéaire, de réduction et de topologie des espaces de matrices. Il a permis un bon étalement des notes et valorisé la maîtrise du cours. La première partie étant classique, la qualité de rédaction y a été particulièrement examinée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Questions de cours expédiéesI.A

    La question I.A reformule le cours et appelait des démonstrations complètes, pas de simples indications.

    « Beaucoup de candidats se sont contentés d’indications succinctes, ce qui n’était pas raisonnable à ce stade du sujet. »
  2. 2
    Diagonalisabilité de l'endomorphisme induit oubliéeI.B.1

    Le fait que l'endomorphisme induit soit diagonalisable parce qu'autoadjoint est souvent passé sous silence.

    « le caractère diagonalisable car autoadjoint de l’induit est souvent omis. »
  3. 3
    Caractérisations fausses par le déterminantI.D, I.E

    Les matrices symétriques positives et les matrices orthogonales ont souvent été caractérisées uniquement par leur déterminant, ce qui est faux.

    « beaucoup d’arguments sommaires voire faux »
  4. 4
    Continuité de la réciproqueI.E

    La continuité de l'application réciproque de la décomposition polaire a rarement été correctement établie.

    « La continuité de la réciproque, dans I.E, n’est correctement traitée que par quelques candidats. »
  5. 5
    Justification incomplète et questions délicatesII.A.2, II.B.2.c, III.B à III.D

    En II.A.2, le caractère non nul du polynôme est souvent oublié. La question II.B.2.c est rarement résolue, et le terme général de la suite récurrente ainsi que les vecteurs propres en partie III sont très discriminants.

    « la question II.B.2.c, délicate, n’est que rarement résolue. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.C a été en général bien traitée.
  • La question II.A.1 est le plus souvent bien traitée, l'argument d'inversibilité par le déterminant étant souvent vu.
  • La relation de récurrence de III.A est établie dans une grande majorité de copies.
  • Les questions IV.B, IV.C.1 et IV.C.2 sont bien traitées quand elles sont abordées.

Conseils du jury

  • Maîtriser les définitions, les démonstrations et les méthodes du cours.
  • Rédiger complètement les questions de cours, même en début de sujet.
  • Justifier chaque étape d'un argument d'inversibilité, y compris le caractère non nul d'un polynôme.
  • Soigner la lisibilité et la présentation : les copies mal présentées ont été systématiquement sanctionnées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.
On note:
  • M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels ;
  • GL_n(ℝ) le groupe des matrices inversibles de M_n(ℝ);
  • O(n) le groupe orthogonal d'ordre n;
  • S_n^+(ℝ), respectivement S_n^(+ +)(ℝ), l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ) dont les valeurs propres sont positives ou nulles, respectivement strictement positives;
  • I_n la matrice identité de M_n(ℝ);
  • 0_n la matrice nulle de M_n(ℝ).
Pour toute matrice M de M_n(ℝ), on note ^t M sa matrice transposée, Tr(M) sa trace, et, pour (i, j) ∈ {1, …, n}^2, m_(ij) le coefficient qui se trouve à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne. On munit M_n(ℝ) de la norme définie, pour tout M ∈ M_n(ℝ), par ‖M‖ = sup(|m_(ij)|, (i, j) ∈ {1, …, n}^2).

I Décomposition polaire d'un endomorphisme de ℝ^n

I.A - On munit ℝ^n de sa structure euclidienne canonique.
I.A.1) Soit u un endomorphisme de ℝ^n. Montrer que u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à S_n^(+ +)(ℝ).
I.A.2) Montrer que si S ∈ S_n^(+ +)(ℝ), alors S est inversible et S^(− 1) ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
I.B - Dans cette question, u désigne un endomorphisme de ℝ^n autoadjoint défini positif. On se propose de démontrer qu'il existe un unique endomorphisme v de ℝ^n autoadjoint, défini positif, tel que v^2 = u.
I.B.1) Soit v un endomorphisme de ℝ^n, autoadjoint défini positif et vérifiant v^2 = u, et soit λ une valeur propre de u. Montrer que v induit un endomorphisme de Ker(u − λId) que l'on déterminera.
I.B.2) En déduire v, puis conclure.
I.B.3) Montrer qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que v = Q(u).
I.C - Soit A ∈ GL_n(ℝ).
I.C.1) Montrer que ^t AA ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
I.C.2) En déduire qu'il existe un unique couple (O, S) ∈ O(n) × S_n^(+ +)(ℝ) tel que A = OS.
I.C.3) Déterminer les matrices O et S lorsque A = (3, 0, − 1; √2/2, 3√2, − 3√2/2; − √2/2, 3√2, 3√2/2).

I.D -

I.D.1) Montrer que O(n) est une partie compacte de M_n(ℝ).
I.D.2) Montrer que S_n^+(ℝ) est un fermé de M_n(ℝ).
I.D.3) Montrer que GL_n(ℝ) est une partie dense de M_n(ℝ).
I.D.4) Soit A ∈ M_n(ℝ). Montrer qu'il existe un couple (O, S) ∈ O(n) × S_n^+(ℝ) tel que A = OS. Un tel couple est-il unique ?
I.E - Soit φ l'application de O(n) × S_n^(+ +)(ℝ) dans GL_n(ℝ) définie par φ(O, S) = OS pour tout couple (O, S) de O(n) × S_n^(+ +)(ℝ).
Montrer que φ est bijective, continue et que sa réciproque est continue.

II Deux applications

II.A - Première application

Dans cette partie, A et B désignent deux matrices de M_n(ℝ). On suppose qu'il existe une matrice U carrée de taille n, inversible, à coefficients complexes, telle que U^t U¯ = I_n et A = UBU^(− 1), où U¯ désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de U.
II.A.1) Justifier que ^t A = U(^t B)U^(− 1).
II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice P ∈ GL_n(ℝ) telle que A = PBP^(− 1) et ^t A = P^t BP^(− 1). Pour cela, on note X et Y les matrices de M_n(ℝ) telles que U = X + iY.
a) Montrer qu'il existe μ ∈ ℝ tel que X + μY ∈ GL_n(ℝ).
b) Montrer que AX = XB et AY = YB.
c) Conclure.
II.A.3) On écrit P sous la forme P = OS, avec O ∈ O(n) et S ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
a) Montrer que BS^2 = S^2 B, puis que BS = SB.
b) En déduire qu'il existe O ∈ O(n) tel que A = OB^t O.

II.B - Seconde application

Soit A ∈ M_n(ℝ). On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une solution X ∈ GL_n(ℝ) au système
(∗) : {^t AA + ^t XX = I_n; ^t AX − ^t XA = 0_n
II.B.1) Montrer que si le système () admet une solution dans GL_n(ℝ), alors les valeurs propres de ^t AA appartiennent à l'intervalle [0, 1[.
II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de ^t AA appartiennent à l'intervalle [0, 1[.
a) Justifier que l'on peut chercher les solutions X de () sous la forme X = UH, avec U ∈ O(n) et H ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
b) Déterminer H.
c) Montrer l'existence d'une solution X ∈ GL_n(ℝ) de (*) appartenant à GL_n(ℝ).

III Valeurs propres d'une matrice

Pour p ∈ ℕ^∗, on pose
A_p = (2, − 1, 0, ⋯, 0; − 1, 2, − 1, ⋱, ⋮; 0, − 1, 2, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, − 1; 0, ⋯, 0, − 1, 2) ∈ M_p(ℝ)
On note P_p le polynôme tel que, pour tout réel x, P_p(x) = det(xI_p − A_p).
III. A - Montrer qu'à x ∈ ℝ fixé, la suite (P_p(x))_(p ∈ ℕ^∗) vérifie une relation linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.
III. B - Soit x ∈ ℝ tel que |2 − x| < 2. Après avoir justifié l'existence d'un unique θ ∈ ]0, π[ tel que 2 − x = 2cosθ, déterminer P_p(x) en fonction de sin((p + 1)θ) et de sin(θ).
III. C - Déterminer les valeurs propres de A_p.
III. D - Montrer que A_p est diagonalisable, et en déterminer une base de vecteurs propres, en précisant pour chacun la valeur propre associée.

IV

Soit f une forme linéaire sur M_n(ℝ).
IV.A - Montrer qu'il existe une unique matrice A ∈ M_n(ℝ) telle que ∀M ∈ M_n(ℝ), f(M) = Tr(AM). Dans la suite, A désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B -

IV.B.1) Justifier l'existence de M_n = sup({f(O), O ∈ O(n)}).
IV.B.2) Justifier que ^t AA admet n valeurs propres positives μ_1, …, μ_n, comptées avec multiplicités.
IV.B.3) Montrer que M_n = sup({Tr(DΩ), Ω ∈ O(n)}), où D est la matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont √(μ_1), …, √(μ_n).
IV.B.4) En déduire que M_n = ∑_(k = 1)^n√(μ_k).
IV.C - Dans cette question, f désigne la forme linéaire définie par ∀M ∈ M_n(ℝ), f(M) = ∑_(j = 1)^n∑_(i = j)^n m_(i, j).
IV.C.1) Déterminer la matrice A telle que ∀M ∈ M_n(ℝ), f(M) = Tr(AM).
IV.C.2) Montrer que
A^(− 1) = (1, − 1, 0, ⋯, 0; 0, 1, − 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, 1, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, − 1; 0, ⋯, ⋯, 0, 1)
IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de A^(− 1)^t A^(− 1).
IV.C.4) Montrer que M_n = ∑_(k = 1)^n 1/(2cos(kπ)/(2n + 1)).
IV.C.5) Donner un équivalent de M_n lorsque n tend vers + ∞.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP 2013 ?

Sur les matrices symétriques réelles et le théorème spectral, la réduction, le groupe orthogonal, la topologie des espaces de matrices et un peu d'analyse asymptotique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP 2013 ?

Des démonstrations de cours réduites à des indications, l'oubli de la diagonalisabilité de l'endomorphisme induit, des caractérisations fausses par le déterminant et une continuité de la réciproque rarement établie.

Le sujet Centrale Maths 2 MP 2013 est-il difficile ?

Le jury le juge de longueur raisonnable, avec une première partie assez facile et classique. La fin de certaines parties, comme II.B.2.c et IV.C, n'a été menée à terme que par peu de candidats.

Pas de description pour le moment