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Mines Mathématiques 1 MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Applications bilinéaires symétriques plates

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Applications bilinéaires symétriques plates à valeurs vectorielles et leur diagonalisation
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Le sujet établit, sous certaines hypothèses, qu'une application bilinéaire symétrique plate de R^n × R^n dans R^p est diagonalisable. Il traite d'abord le cas des formes bilinéaires (p = 1), puis la diagonalisation simultanée d'endomorphismes autoadjoints qui commutent, les vecteurs réguliers (ouverts, parties denses) et enfin le cas p = n de noyau nul.

  1. 1Partie A : formes bilinéaires symétriques platesEndomorphisme symétrique associé à une forme, produit tensoriel de deux formes linéaires et lien entre platitude et rang 1 (questions 1 à 5).
  2. 2Partie B : diagonalisation simultanéePreuve par récurrence qu'une famille d'endomorphismes autoadjoints commutant deux à deux se diagonalise dans une même base orthonormée (questions 6 et 7).
  3. 3Partie C : vecteurs réguliersInversibilité de A + tB et liberté de familles perturbées sauf pour un nombre fini de t, puis ouverture et densité de l'ensemble des vecteurs réguliers (questions 8 à 13).
  4. 4Partie D : le cas p = n de noyau nulConstruction d'endomorphismes autoadjoints qui commutent et d'une base diagonalisant l'application plate (questions 14 à 17).

Difficulté moyenne. Le jury juge que le sujet contenait assez de questions accessibles aux candidats faibles et moyens, tout en permettant aux bons candidats de creuser un écart.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confondre linéarité et bilinéarité · Oublier la proportionnalité des formes linéaires · Rédaction imprécise d'un résultat classique
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Le problème mobilisait une part importante du programme d'algèbre et de topologie. Le jury estime qu'il a bien classé les candidats : les questions abordables ont départagé les copies faibles et moyennes, et certains excellents candidats ont traité presque tout le sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confondre linéarité et bilinéaritéQuestion 1

    Dès la première question, certains candidats mélangent les deux notions, ce qui compromet la suite.

    « Certains candidats confondent linéarité et bilinéarité »
  2. 2
    Oublier la proportionnalité des formes linéairesQuestion 2

    La question 2 a été sélective : des candidats pensent à l'égalité des formes, au signe près, sans penser à la proportionnalité.

  3. 3
    Rédaction imprécise d'un résultat classiqueQuestion 6

    Le résultat sur les sous-espaces propres est connu, mais beaucoup de copies le rédigent de façon approximative.

    « A priori ce résultat est très classique, mais la rédaction est imprécise dans beaucoup de copies »
  4. 4
    Ne pas suivre la récurrence demandéeQuestion 7

    Certains candidats tiennent à une récurrence faible alors que l'énoncé impose une récurrence forte.

  5. 5
    Déterminant traité comme une application linéaireQuestion 8

    Des candidats écrivent que le déterminant d'une somme est la somme des déterminants, ou que det(A + tB) = 0 entraîne A + tB = 0.

    « Il est surprenant de trouver de telles erreurs dans un concours de ce niveau »
  6. 6
    Lecture trop rapide de l'énoncéQuestions 9 et 11

    Beaucoup supposent à tort que r = n à la question 9 ; à la question 11, certains déclarent l'égalité impossible sans avoir lu la question.

Ce qui a été bien réussi

  • Les bons candidats parviennent à marquer des points aux questions 12 et 13, pourtant souvent maltraitées.
  • Certains excellents candidats ont presque tout fait.

Conseils du jury

  • Lire calmement tout le sujet avant de commencer pour assimiler les notations.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
  • Quand le résultat est donné, fournir une démonstration claire et concise qui cite les théorèmes du cours et les numéros des questions utilisées.
  • Ne sauter aucune étape : le correcteur n'accorde les points que s'il est certain que la réponse est correcte.
  • Chercher au brouillon et ne recopier une démonstration qu'une fois devenue claire.
  • Indiquer nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée ; toute tentative de dissimulation est pénalisée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Applications bilinéaires symétriques plates

Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2 et p est un entier supérieur ou égal à 1 . Les espaces vectoriels ℝ^n et ℝ^p sont munis de leurs produits scalaires canoniques, notés ⟨ ⋅, ⋅ ⟩; en particulier pour p = 1, c'est le produit usuel dans ℝ.
On rappelle qu'une application φ de ℝ^n × ℝ^n dans ℝ^p est bilinéaire lorsque pour tous x, y dans ℝ^n, les deux applications partielles z ↦ φ(z, y) et z ↦ φ(x, z) de ℝ^n dans ℝ^p sont linéaires. L'application bilinéaire φ est dite symétrique si φ(x, y) = φ(y, x) pour tous x, y dans ℝ^n. En particulier, lorsque p = 1, on dit que φ est une forme bilinéaire symétrique.
Soit φ une application bilinéaire symétrique. On appelle noyau de φ et on note Kerφ l'ensemble des vecteurs x ∈ ℝ^n tels que pour tout y ∈ ℝ^n, φ(x, y) = 0. On dit que φ est diagonalisable s'il existe une base (e_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) de ℝ^n telle que pour tous i ≠ j, φ(e_i, e_j) = 0. Enfin, on dit que φ est plate (relativement au produit scalaire de ℝ^p ) si pour tous les vecteurs x, y, z, w de ℝ^n, on a:
⟨φ(x, y), φ(z, w)⟩ = ⟨φ(x, w), φ(z, y)⟩
Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.

A. Formes bilinéaires symétriques plates

Dans toute cette partie on pose p = 1. Soit φ : ℝ^n × ℝ^n → ℝ une forme bilinéaire symétrique.
  1. Justifier qu'il existe un unique endomorphisme u de ℝ^n tel que pour tous x, y dans ℝ^n, φ(x, y) = ⟨u(x), y⟩. Vérifier que u est symétrique et en déduire que φ est diagonalisable.
    On note ℝ^(n∗) l'espace dual de ℝ^n constitué des formes linéaires sur ℝ^n. Si a et b sont dans ℝ^(n∗), on définit l'application a ⊗ b de ℝ^n × ℝ^n à valeurs dans ℝ, en posant (a ⊗ b)(x, y) = a(x)b(y) pour tous x, y dans ℝ^n.
  2. Montrer que pour tous a, b ∈ ℝ^(n∗), a ⊗ b est une forme bilinéaire sur ℝ^n. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symétrique.
On rappelle que le rang d'une forme bilinéaire symétrique φ : ℝ^n × ℝ^n → ℝ est égal au rang de la matrice (φ(e_i, e_j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) où (e_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) est une base quelconque de ℝ^n.
3) On suppose dans cette question que φ est de rang 1 . Montrer qu'il existe une forme linéaire f ∈ ℝ^(n∗) telle que φ = ± f ⊗ f. (On pourra considérer la base duale d'une base qui diagonalise φ.)
4) En déduire qu'une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.
5) Réciproquement, soit φ une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de φ ?

B. Diagonalisation simultanée

Soit (u_i)_(i ∈ I) une famille quelconque d'endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien E de dimension n, qui commutent deux à deux : u_i ∘ u_j = u_j ∘ u_i pour tous i, j dans I. On se propose de démontrer par récurrence sur n qu'il existe une base orthonormée de E qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat étant évident pour n = 1, on suppose que n > 1 et que le résultat est vrai pour toute dimension strictement inférieure à n.
6) Soit i_0 ∈ I. Montrer que si u_(i_0) n'est pas une homothétie, les sous-espaces propres de u_(i_0) sont de dimension strictement inférieure à n. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes u_i.
7) Conclure.

C. Vecteurs réguliers

Soit φ une application bilinéaire symétrique non nulle de ℝ^n × ℝ^n dans ℝ^p. Si x ∈ ℝ^n, on note φ~(x) l'application linéaire qui à tout y ∈ ℝ^n associe φ(x, y) ∈ ℝ^p. On a donc φ~(x)(y) = φ(x, y) pour tous x, y ∈ ℝ^n. Le noyau et l'image de φ~(x) sont notés respectivement Kerφ~(x) et Imφ~(x).
On note q la dimension maximale deImφ~(x) lorsque x parcourt ℝ^n, et on choisit un vecteur v de ℝ^n tel que la dimension de Imφ~(v) soit égale à q. Un tel vecteur v est qualifié de régulier pour φ.
8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées A, B d'ordre n à coefficients réels. Montrer que si A ou B est inversible, alors A + tB l'est aussi pour tout t ∈ ℝ sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de t.
9) Soit r un entier naturel non nul et ( a_1, a_2, …, a_r ), ( b_1, b_2, …, b_r ) deux familles de vecteurs de ℝ^p. Montrer que si ( a_1, a_2, …, a_r ) est libre, alors (a_1 + tb_1, a_2 + tb_2, …, a_r + tb_r) est également libre pour tout réel t sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de t.
En particulier ( a_1 + tb_1, a_2 + tb_2, …, a_r + tb_r ) sera libre pour tout t dans un voisinage de 0 .
10) Montrer que pour tout x ∈ ℝ^n et tout y ∈ Kerφ~(v), on a φ(x, y) ∈ Imφ~(v). On pourra raisonner par l'absurde en montrant l'existence de vecteurs e_1, …, e_q de ℝ^n tels que la famille (φ(ν, e_1), …, φ(ν, e_q), φ(x, y)) soit libre.
11) Dans cette question, on suppose que φ est plate. Montrer que Kerφ = Kerφ~(ν). Si de plus, Kerφ = {0}, en déduire que p ⩾ n.
On revient au cas général où φ est une application bilinéaire symétrique non nulle.
12) Montrer que l'ensemble V des vecteurs réguliers pour φ est un ouvert de ℝ^n.
13) Montrer que V est dense dans ℝ^n.

D. Le cas p = n de noyau nul

Dans cette partie, φ désigne une application bilinéaire symétrique plate de ℝ^n × ℝ^n dans ℝ^n, dont le noyau est réduit à Kerφ = {0}. On fixe un vecteur régulier v pour φ.
14) Montrer que φ~(v) est un automorphisme.
Pour tout x ∈ ℝ^n, on définit l'endomorphisme ψ(x) = φ~(x) ∘ φ~(v)^(− 1).
15) En utilisant la définition d'une application bilinéaire plate, montrer que ψ(x) est auto-adjoint.
16) Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ^n, ψ(x) ∘ ψ(y) = ψ(y) ∘ ψ(x). En déduire qu'il existe une base orthonormée (e_1, e_2, …, e_n) de ℝ^n diagonalisant simultanément tous les endomorphismes ψ(x).
17) Construire à l'aide de (e_1, e_2, …, e_n) une base qui diagonalise φ. On pourra utiliser la symétrie de φ.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2013 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines Maths 1 MP 2013 ?

Sur les applications bilinéaires symétriques plates à valeurs dans R^p. Il mobilise algèbre linéaire, rang, espaces propres, matrices symétriques réelles, déterminants, polynôme caractéristique, ouverts et parties denses.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 1 Mines MP 2013 ?

Confusion entre linéarité et bilinéarité, rédaction imprécise de la question 6, récurrence faible au lieu de forte en question 7, et erreurs graves sur le déterminant en question 8.

Le sujet Mines Maths 1 MP 2013 est-il difficile ?

Le jury le juge sélectif mais équilibré : il contient assez de questions accessibles pour les candidats moyens, et les questions 12 et 13 ont surtout rapporté des points aux bons candidats.

Comment rédiger une question dont la réponse est donnée aux Mines MP ?

Le jury attend une preuve claire et concise, citant précisément les théorèmes du cours et les résultats antérieurs avec leurs numéros de questions, sans sauter d'étape.

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