Mines Mathématiques 1 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Critère de diagonalisation de Klarès

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Décomposition de Dunford et critère de diagonalisation de Klarès

Le problème établit la décomposition de Dunford d'une matrice complexe à partir des sous-espaces caractéristiques. Il étudie ensuite l'endomorphisme X ↦ AX − XA et les formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur un espace complexe. Il conclut par le critère de Klarès : A est diagonalisable si et seulement si le noyau de cet endomorphisme et celui de son carré coïncident.

1Partie A : décomposition de Dunfordseconde annéeLemme des noyaux, polynôme caractéristique des restrictions, réduction par blocs et calcul explicite sur une matrice 3 × 3.
2Partie B : commutation et conjugaisonseconde annéeDiagonalisabilité et nilpotence de l'endomorphisme comm_A, puis décomposition de Dunford de comm_A.
3Partie C : formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexeseconde annéeOrthogonal relativement à une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, base antéduale et formule de dimension.
4Partie D : critère de Klarèsseconde annéeForme bilinéaire (X, Y) ↦ tr(XY), orthogonal du noyau de comm_A et conclusion sur la diagonalisabilité.

Accessible. Le jury décrit un problème très progressif et sans difficulté majeure, où les candidats qui connaissaient bien le cours ont trouvé de nombreuses questions à leur portée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,4 / 20 · écart-type 4,46 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,4/ 20
Écart-type: 4,46

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Sous-espace propre et espace caractéristique confondus · Polynômes minimal, annulateur et caractéristique mélangés · Calculs inachevés ou incomplets

Le problème couvre une grande partie de l'algèbre linéaire de seconde année et a bien classé les candidats. Les très bons candidats en ont traité la majeure partie. Le jury relève surtout des confusions de cours et de nombreuses tentatives de tromper le correcteur sur les résultats donnés par l'énoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Sous-espace propre et espace caractéristique confondusQ1
Un endomorphisme n'est pas diagonalisable en général. Les hypothèses du théorème de décomposition des noyaux ne sont pas toujours vérifiées.
« Confusion fréquente entre sous-espace propre et espace caractéristique. »
2
Polynômes minimal, annulateur et caractéristique mélangésQ2, Q3
Ces trois notions sont souvent confondues. Un polynôme caractéristique scindé n'entraîne pas la diagonalisabilité, et une base de trigonalisation quelconque ne donne pas la forme par blocs demandée.
« Une base quelconque de trigonalisation ne permet pas en général d'obtenir le résultat demandé. »
3
Calculs inachevés ou incompletsQ5, Q7
Le calcul de la décomposition de Dunford de la matrice 3 × 3 est rarement mené au bout. En Q7, il faut aussi justifier que toutes les valeurs propres ont été trouvées.
« Le calcul est rarement mené jusqu'à son terme. »
4
Résultats de l'énoncé forcésQ8, Q14
Le jury relève de nombreuses tentatives de tromper le correcteur pour atteindre le résultat annoncé. Ces pratiques indisposent et peuvent être très pénalisantes.
« De nombreuses tentatives d'escroquerie. »
5
Réflexes du cas réel appliqués au cas complexeQ13, Q15
La forme b n'est pas un produit scalaire hermitien. Une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas forcément diagonalisable.
« Une matrice carrée symétrique à coefficients complexes n'est pas forcément diagonalisable. »
6
Résultat admis sans preuveQ10
Le fait qu'un endomorphisme qui commute avec tous les autres est une homothétie doit être démontré.

Ce qui a été bien réussi

Les très bons candidats ont traité la majeure partie du problème.

Conseils du jury

Lire tout le sujet au calme pour assimiler les notations avant de commencer.
Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
Quand le résultat est donné, rédiger une démonstration claire et concise en citant les théorèmes et les numéros des questions utilisées.
Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
Indiquer nettement qu'un résultat est admis quand on ne sait pas traiter une question.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2011

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit

n

un entier naturel non nul et

M_n(ℂ)

l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients complexes. On note

O_n

la matrice nulle et

I_n

la matrice identité de

M_n(ℂ)

. La trace d'une matrice

U

M_n(ℂ)

est notée

tr(U)

. On dit que deux matrices

U

V

M_n(ℂ)

commutent si

UV = VU

. Une matrice

N

M_n(ℂ)

est dite nilpotente s'il existe un entier

k > 0

pour lequel

N^k = O_n

Dans tout le problème, on considère une matrice

A

M_n(ℂ)

et on note

f

l'endomorphisme de

ℂ^n

canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de

ℂ^n

est

A

. Le polynôme caractéristique de

A

est noté

P

et les valeurs propres complexes distinctes de

A

sont notées

λ_1, λ_2, \dots, λ_r

. Pour tout

i \in {1, \dots, r}

on note:

$α_i$ l'ordre de multiplicité de la valeur propre $λ_i$ , c'est-à-dire l'ordre de multiplicité de la racine $λ_i$ du polynôme $P$ ;
$P_i$ le polynôme défini par $P_i(X) = (λ_i - X)^(α_i)$ ;
$F_i$ le sous-espace vectoriel de $ℂ^n$ défini par $F_i = Ker((f - λ_i Id_(ℂ^n))^(α_i))$ ;
$f_i$ l'endomorphisme de $F_i$ obtenu par restriction de $f$ à $F_i$ .

La partie B, à l'exception de la question 11), est indépendante de la partie A. La partie C est indépendante des parties précédentes.

A. Décomposition de Dunford

Justifier que l'espace vectoriel $ℂ^n$ est somme directe des espaces $F_i$ :

ℂ^n = ⨁_(i = 1)^r F_i

En considérant une base de $ℂ^n$ adaptée à la somme directe précédente, montrer que pour tout $i \in {1, \dots, r}$ , le polynôme caractéristique de $f_i$ est $P_i$ . (On pourra d'abord établir que $P_i$ est un polynôme annulateur de $f_i$ .)
Montrer qu'il existe une matrice inversible $P$ de $M_n(ℂ)$ telle que $A^' = P^(- 1)AP$ soit une matrice définie par blocs de la forme suivante :

A^' = (λ_1 I_(α_1) + N_1, 0, \dots\dots, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱; 0, \dots\dots, 0, λ_r I_(α_r) + N_r)

où

N_i \in M_(α_i)(ℂ)

est nilpotente pour tout

i \in {1, \dots, r}

.
4) En déduire que la matrice

A

s'écrit sous la forme

A = D + N

, où

D

est une matrice diagonalisable et

N

une matrice nilpotente de

M_n(ℂ)

qui commutent.
Les matrices

D

N

vérifiant ces conditions constituent la décomposition de Dunford de la matrice

A

. Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité de cette décomposition, c'est-à-dire que

D

N

sont déterminées de façon unique par

A

Un exemple pour

n = 3

:
5) Calculer la décomposition de Dunford de

A = (3, - 1, 1; 2, 0, 1; 1, - 1, 2)

B. Commutation et conjugaison

Pour toute matrice

B

et toute matrice inversible

P

M_n(ℂ)

, on note

comm_B

conj_P

les endomorphismes de

M_n(ℂ)

définis par:

∀X ∈ M_n(ℂ), {comm_B(X) = BX − XB; conj_P(X) = PXP^(− 1)

Le but de cette partie est de démontrer que

A

est diagonalisable si et seulement si comm

_A

est diagonalisable.
6) Soit

P

une matrice inversible de

M_n(ℂ)

. Calculer

conj_(P^(- 1)) \circ comm_A \circ conj_P

Pour tous

i, j \in {1, \dots, n}

, on note

E_(i, j)

la matrice de

M_n(ℂ)

dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la

i

-ème ligne et de la

j

-ème colonne qui est égal à 1 .
7) Si

A

est une matrice diagonale, montrer que pour tous

i, j \in {1, 2, \dots, n}

comm_A

admet

E_(i, j)

comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des valeurs propres de

comm_A

.
8) En déduire que si

A

est diagonalisable,

comm_A

l'est aussi.
9) Montrer que si

A

est nilpotente, comm

_A

l'est également, c'est-à-dire qu'il existe un entier

k > 0

pour lequel

(comm_A)^k

est l'endomorphisme nul de

M_n(ℂ)

.
10) Montrer que si

A

est nilpotente, et si

comm_A

est l'endomorphisme nul, alors

A

est la matrice nulle.

D'après la partie A , l'endomorphisme

comm_A

admet une décomposition de Dunford de la forme

comm_A = d + n

, où les endomorphismes diagonalisable

d

et nilpotent

n

commutent :

dn = nd

.
11) Déterminer la décomposition de Dunford de

comm_A

à l'aide de celle de

A

et conclure.

C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe

Soit

p

un entier

> 0

E

un espace vectoriel de dimension

p

sur

ℂ

. On note

E^*

le dual de

E

, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur

E

On considère une forme bilinéaire symétrique

b

sur

ℂ

, c'est-à-dire une application

b : E \times E ⟶ ℂ

linéaire par rapport à chacune de ses deux composantes (et non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que

b(x, y) = b(y, x)

pour tous

x, y \in E

. Si

F

est un sous-espace vectoriel de

E

, on appelle orthogonal de

F

relativement à

b

le sous-espace vectoriel de

E

défini par

F^(⊥ _b) = {x ∈ E; ∀y ∈ F, b(x, y) = 0}.

On suppose que

b

est non dégénérée, c'est-à-dire que

E^(⊥ _b) = {0}

.
12) Soit

u

un endomorphisme de

E

. Démontrer les implications suivantes:
(i)

u

est diagonalisable

⟹

(ii)

Keru = Ker(u^2) ⟹

(iii)

Keru \cap Imu = {0}

Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E

, de dimension

q

, et soit

(ε_1, ε_2, \dots, ε_q)

une base de

F

. Pour tout

i \in {1, \dots, q}

, on note

φ_i

la forme linéaire sur

E

définie par

φ_i(x) = b(ε_i, x)

.
13) Montrer que (

φ_1, φ_2, \dots, φ_q

) est une famille libre de

E^*

On complète cette famille libre en une base (

φ_1, φ_2, \dots, φ_p

) de

E^*

et on note (

e_1, e_2, \dots, e_p

) la base de

E

antéduale (dont (

φ_1, φ_2, \dots, φ_p

) est la base duale).
14) Montrer que

F^(⊥ _b)

est engendré par (

e_(q + 1), e_(q + 2), \dots, e_p

), et en déduire la valeur

dedimF + dim(F^(⊥ _b))

D. Critère de Klarès

Le but de cette partie est de démontrer que la matrice

A

est diagonalisable si et seulement si

Ker(comm_A) = Ker((comm_A)^2)

.
15) Montrer que l'application

φ

M_n(ℂ) \times M_n(ℂ)

dans

ℂ

, définie par la formule

φ(X, Y) = tr(XY)

pour tous

X, Y \in M_n(ℂ)

, est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
16) Établir l'égalité

(Ker(comm_A))^(⊥ φ) = Im(comm_A)

.
17) En déduire que si

A

est nilpotente, il existe une matrice

X

M_n(ℂ)

telle que

A = comm_A(X)

. Calculer alors

comm_(A + λI_n)(X)

pour tout

λ \in ℂ

.
Soit

D

N

les matrices de la décomposition de Dunford de

A

définies à la question 4).
18) Démontrer qu'il existe une matrice

X

M_n(ℂ)

telle que

N = comm_A(X)

.
19) Conclure.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP 2011 ?

Sur la réduction des endomorphismes (sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, nilpotence), les polynômes d'endomorphismes, la dualité et les formes bilinéaires symétriques sur un espace complexe.

Quelles erreurs le jury de Mines maths 1 MP 2011 a-t-il relevées ?

Des confusions entre sous-espace propre et espace caractéristique, entre polynômes minimal, annulateur et caractéristique, des calculs non terminés en Q5 et de nombreuses tentatives de forcer les résultats en Q8 et Q14.

Quelle est la moyenne de l'épreuve Mines maths 1 MP 2011 ?

Le rapport indique une moyenne de l'ordre de 8,4 sur l'ensemble de la banque de notes, avec un écart-type de l'ordre de 4,46.

Le sujet Mines maths 1 MP 2011 est-il faisable en première année ?

Non. Le rapport précise que le problème porte sur une grande partie du programme d'algèbre linéaire de seconde année.

Pas de description pour le moment

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