WikiPrépaLivrets

Mines Physique 1 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mécanique du point, champ de gravitation
  • Énergie potentielle, méthode énergétique
  • Référentiels non galiléens, force d'inertie d'entraînement et de Coriolis
  • Orbite géostationnaire
  • Mécanique du solide, théorème du moment cinétique
  • Analyse dimensionnelle
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2011FilièreMPMatièrePhysique
Annales Mines MP PhysiqueMines MP 2011MP PhysiquePhysique 2011

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé sur Discord
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Transports planétaires : métro gravitationnel et ascenseur spatial
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie deux moyens de transport hypothétiques à l'échelle planétaire. La première partie, de mécanique du point, étudie un métro gravitationnel circulant dans un tunnel creusé dans la Terre. La seconde partie, de mécanique du solide, étudie un ascenseur spatial montant le long d'un câble fixé à l'équateur terrestre.

  1. 1I.A - Étude préliminaire du métro gravitationnelÉtude des symétries du champ de pesanteur terrestre et de l'énergie potentielle associée.
  2. 2I.B - Le tunnel droitÉtude du mouvement d'une rame dans un tunnel rectiligne traversant la Terre, par une approche énergétique ou la deuxième loi de Newton.
  3. 3I.C - Projet de métroDimensionnement du tunnel, ordres de grandeur du volume à creuser et de la puissance nécessaire face au frottement.
  4. 4II.A - Étude de l'équilibre du câble de l'ascenseur spatialÉtude de l'équilibre d'un câble tendu depuis l'équateur terrestre jusqu'à l'orbite géostationnaire et au-delà.
  5. 5II.B - Montée de la cage d'ascenseur le long du filÉtude de la dynamique de la cage d'ascenseur montant le long du câble, avec les forces d'inertie associées à la rotation terrestre.

Difficile. Le rapport indique qu'aucune question ne nécessitait de raisonnement très complexe, mais les taux de réussite par question sont très faibles sur la fin du sujet (0,5 % à la question 20, 2 % aux questions 18 et 19, 7 % à la question 15), révélant des difficultés d'exécution plus que de conception.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition inhabituelle de x(t) source d'erreurs de signe · Justification incomplète sur la norme de la vitesse · Erreur d'homogénéité dans le calcul du volume du tunnel
Afficher ou masquer la section

Le sujet, sans difficulté conceptuelle majeure, a mis en évidence des lacunes méthodiques récurrentes : gestion des signes, rigueur de justification, respect du nombre de chiffres significatifs et application désordonnée de la mécanique des systèmes. La rédaction est globalement meilleure que les années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition inhabituelle de x(t) source d'erreurs de signeQ3

    L'énoncé définissait HP = x(t) de façon inhabituelle ; moins de 5 % des candidats l'ont remarqué, ce qui a donné lieu à de nombreuses erreurs de signe dans la deuxième loi de Newton.

  2. 2
    Justification incomplète sur la norme de la vitesseQ6

    De nombreux candidats justifient la norme de vitesse constante en invoquant à la fois le caractère central et la norme constante de la force, alors que seul le premier argument est pertinent.

  3. 3
    Erreur d'homogénéité dans le calcul du volume du tunnelQ8

    Une fraction non négligeable de candidats ne sait pas que l'aire d'un disque vaut πd²/4 et multiplie simplement la longueur du tunnel par son diamètre.

  4. 4
    Réponses non chiffrées jugées irrecevablesQ15

    Les expressions « varie peu » et « quasiment constante », sans valeur numérique à l'appui, sont jugées irrecevables par le jury.

    « Les expressions varient peu et quasiment constante sont irrecevables »
  5. 5
    Méthode de mécanique des systèmes non suivieQ18, Q19

    La mécanique des systèmes a fait des ravages : presque aucun candidat n'a suivi la méthode enseignée (système, référentiel, bilan des actions, théorème précisé), et l'action tangentielle du câble sur les cylindres a été presque systématiquement oubliée.

    « Comme souvent, la mécanique des systèmes a fait des ravages »
  6. 6
    Mélange du numérique et du littéralQ14

    De nombreux candidats omettent une valeur numérique dans un calcul littéral, ce qui produit des fautes d'homogénéité.

    « Il ne faut jamais mélanger le numérique et le littéral, au risque de faire des fautes d'homogénéité »

Ce qui a été bien réussi

  • Un étudiant connaissant bien son cours pouvait avoir une excellente note.
  • Les questions 1 et 2, sur les symétries du champ de pesanteur et l'énergie potentielle, ont été bien traitées (75 % et 85 % de réussite).
  • La rédaction est globalement meilleure que les années précédentes.

Conseils du jury

  • Faire des schémas, vérifier les orientations et représenter systématiquement les forces.
  • Toujours écrire une phrase d'introduction citant la loi ou le théorème appliqué avant un calcul.
  • Vérifier l'homogénéité des résultats et ne jamais mélanger numérique et littéral.
  • Respecter le nombre de chiffres significatifs demandé par l'énoncé.
  • Accompagner toute application numérique d'un commentaire chiffré et pertinent, pas d'une simple appréciation qualitative.
  • Encadrer le résultat final et relire chaque réponse pour vérifier sa cohérence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

TRANSPORTS PLANÉTAIRES

Ce problème étudie divers aspects physiques du voyage à l'échelle planétaire. Il est composé de deux parties indépendantes, la première envisage le déplacement d'un train dans un tunnel creusé dans la sphère terrestre, la seconde étudie la montée d'un ascenseur le long d'un câble vertical fixé à l'équateur. Dans tout le problème la Terre est assimilée à un corps sphérique homogène de rayon r_T, de centre O_T et de masse volumique homogène μ_T.
Pour les applications numériques on prendra μ_T = 5, 50 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3), r_T = 6, 38 ⋅ 10^6 m, et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton G = 6, 67 ⋅ 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2). Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires u_x ˆ ou d'une flèche dans le cas général OP^(→−). Une quantité surmontée d'un point désigne la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité θ˙ = (dθ)/(dt).

I. - Le métro gravitationnel

Dans toute cette partie on néglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-même et on se place dans le référentiel géocentrique que l'on supposera galiléen.

I.A. - Etude préliminaire

On considère un point P situé à l'intérieur de la sphère terrestre. On note O_T P^(→−) = r⃗ = ru_r ˆ et g(P)^(→−) le champ gravitationnel créé par la terre en P.
◻1 - Justifier que g(P)^(→−) est porté par u_r ˆ et que son module ne dépend que de r, on notera donc g(P)^(→−) = g(r)u_r ˆ. En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel déterminer l'expression de g(r) en fonction de ω^2 = 4/3πGμ_T et r.
◻2 - Déduire de la question précédente que la force de gravitation s'exerçant sur un point de masse m situé en P dérive de l'énergie potentielle
E_p(r) = E_(p_0) + 1/2mω^2 r^2
où E_(p_0) est une constante qui dépend de la référence choisie et que l'on ne demande pas d'expliciter. Quelle est la dimension de ω ?

I.B. - Le tunnel droit

On relie deux points A et B de l'équateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schéma de la figure 1 qui présente également les notations utilisées.
Fig. 1 - Le tunnel droit
On considère un mobile ponctuel P de masse m se déplaçant dans le tunnel sous l'effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est repérée sur le segment [AB] par la coordonnée x telle que PH^(→−) = xu_x ˆ où le vecteur unitaire u_x ˆ est colinéaire à AB^(→−) et de même sens et H est la projection orthogonale de O_T sur [AB]. On note finalement h = O_T H.
Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l'axe du tunnel grâce à un système de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnétiques ! On suppose enfin qu'un vide suffisament poussé a été créé dans le tunnel. Sous toutes ces hypothèses, on considérera que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation qu'exerce sur lui la terre.
À l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.
◻3 - Déterminer l'équation différentielle (linéaire) du second ordre vérifiée par x(t). En déduire l'expression de x(t) en fonction de h, r_T, ω et t.
◻4 - Déterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte?
◻5 - Exprimer la durée τ_0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numérique.

I.C. - Projet de métro

Pour desservir plusieurs points sur l'équateur, on considère un système de tunnels représentés sur la figure 2.
Un tunnel circulaire est percé à une distance r_H du centre de la Terre dans le plan de l'équateur et l'on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontée A_1 H_1 A_2 H_2, etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H_1, H_2, ⋯. Chaque jonction est tangentielle, c'est-à-dire que A_1 H_1^(→−) ⋅ O_T H_1^(→−) = A_2 H_2^(→−) ⋅ O_T H_2^(→−) = ⋯ = 0. Les points H_1, H_2, … sont équipés d'un système d'aiguillage
FIG. 2 - Le système de tunnels
assurant la continuité du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontée et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame à un point matériel P de masse m astreint à circuler dans l'axe du tunnel et sans contact avec ses parois grâce au système de confinement. À l'instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A_1 et sans vitesse initiale.
◻6 - Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H_1 H_2. Déterminer la vitesse de la rame sur cette portion, en déduire que la durée τ_1 du transfert de H_1 vers H_2 se met sous la forme
τ_1 = θ/ωf(y)
où y = r_T/r_H et f est une fonction que l'on déterminera.
◻7 - Déterminer la durée totale τ du voyage de A_1 vers A_2 en fonction de θ, ω et y. Déterminer la valeur numérique de τ pour un voyage tel que θ = π/3 avec r_H = r_T/2. Comparer les caractéristiques de ce voyage avec son équivalent à la surface de la terre.
◻8 - Avec un diamètre moyen de 7 m , évaluer la quantité de déblais à évacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le résultat obtenu.
L'une des nombreuses hypothèses nécessaires à la réalisation d'un tel projet est la création et le maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut être que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l'air de densité volumique de masse ρ maintenu à la pression p et à la température ambiante. Ce dernier point serait à discuter dans le cadre d'une étude plus complète que nous ne mènerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l'enceinte du tunnel et que l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette étude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire.
Des expériences d'aérodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un gaz au repos est soumis à une force de frottement, dite traînée. Cette traînée dépend de la taille caractéristique L et de la vitesse ν du solide ainsi que de la densité ρ du gaz dans lequel s'effectue le mouvement.
◻9 - En effectuant une analyse dimensionnelle, déterminer l'expression de cette force de frottement.
◻10 — On note 𝒫 la puissance développée par la traînée subie par la rame de métro lorsqu'elle circule dans la portion circulaire du tunnel. Déterminer la pression qu'il faut maintenir dans le tunnel afin que 𝒫 soit comparable à la puissance que développe la force de traînée dans le cas d'une rame de TGV circulant à la vitesse de 360 km.h^(− 1) à la surface de la terre. On supposera qu'en dehors de la vitesse la rame de métro et la rame de TGV possèdent les mêmes caratéristiques physiques. Commenter le résultat obtenu.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Ascenseur spatial

Ce problème étudie certains aspects physiques de la réalisation d'une idée récurrente dans de nombreux contextes «l'ascenseur spatial». Il s'agit d'un mécanisme permettant de s'extraire du champ de pesanteur terrestre sans utiliser de fusée. On suppose pour cela qu'un câble réalisé par filage de nanotubes de carbone, de plus de 100000 km de long, inextensible, a pu être dressé à la verticale d'un point de l'équateur de la Terre. Ce câble possède une masse linéique λ = 1, 00 kg.m^(− 1) extrêmement faible et une résistance mécanique extrêmement forte par rapport à un câble en acier, qui le rend capable de supporter de très fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique supposé galiléen. Il effectue un tour en un jour sidéral de durée T_σ = 8, 62 ⋅ 10^4 s. La terre est toujours supposée sphérique et homogène de masse m_T = 4/3πr_T^3 μ_T = 5, 98 ⋅ 10^(24) kg.

II.A. - Étude de l'équilibre du câble

Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du câble est un point de l'équateur terrestre, r_T est le rayon de la Terre et O_T son centre. L'altitude d'un point M du fil est notée z, r = r_T + z est le rayon O_T M et h est la hauteur totale du câble. Le point H représente l'extrémité haute du câble : z_H = h et r_H = r_T + h. Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire u_r ˆ = O_T M^(→−)/r.
Fig. 3 - Vue générale de la Terre et du câble
  • 11 - Rappeler la définition de l'orbite géostationnaire terrestre. Établir l'expression littérale du rayon r_s correspondant à cette orbite en fonction de la masse m_T de la terre, de G et de la pulsation sidérale terrestre ω_σ = (2π)/(T_σ).
Dans toute la suite du problème, on considèrera un câble de longueur totale h = 4r_s − r_T, on a donc O_T H = r_H = 4r_s. On note g_s le module du champ de gravitation en r = r_s, c'est-à-dire la quantité telle que f_s = mg_s où f_s est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse m situé en r = r_s. Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = r_T.
◻12 - En écrivant que le câble est en équilibre, montrer que la dérivée de la tension du câble en M vérifie la relation
(dT)/(dr) = χ[(r_s^2)/(r^2) − r/(r_s)]
où χ est un paramètre que l'on exprimera en fonction de λ et g_s. En admettant que T(r_H) = 0, déterminer l'expression de la tension T(r) en fonction de χ, r et r_s.
13- Déterminer les valeurs numériques de r_s, g_s de la tension du fil au point d'ancrage notée T_E = T(r_T), ainsi que la valeur maximale T_(max) de T(r). Commenter le résultat obtenu, on pourra par exemple se «servir» de la question 8, on donne aussi le module d'Young de l'acier ε_a = 210GPa et d'un câble en nanotubes de carbonne ε_c = 1TPa.

II.B. - Montée de la cage d'ascenseur le long du fil

Le système de propulsion de la cabine est modélisé sur la figure 4. La montée est assurée par la rotation en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon R_c = 1, 00 m, de masse m_c = 2, 00 ⋅ 10^3 kg, de moment d'inertie par rapport à son axe J = 1/2m_c R_c^2. Ces cylindres sont mûs par un moteur électrique exerçant sur chacun un couple. Le moment résultant de ce couple est Γ_g^(→−) = + Γ_0 u_y ˆ pour le cylindre de gauche et Γ_d^(→−) = − Γ_0 u_y ˆ pour le cylindre de droite. Les deux cylindres serrent le câble grâce à un ressort reliant leurs centres. La longueur à vide ℓ_0 = R_c et la constante de raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au contact du câble. On prend f_s = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le câble. On néglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport à celle des cylindres.
Fig. 4 - Vue générale des cylindres assurant la montée de la cabine
On négligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le système.
Dans le référentiel ( E, u_x ˆ, u_y ˆ, u_z ˆ ) avec u_z ˆ = u_r ˆ la cabine, repérée par le point M, est en E à t = 0. La montée de z = 0 (où la vitesse est nulle) à z = h dure au total t_m = 4 jours et se décompose en une phase d'accélération constante d'intensité a = 1 m.s^(− 2) pendant une durée t_0 suivie d'une phase à vitesse constante de module v_0.
◻14 - Calculer les valeurs numériques de la durée t_0, de la vitesse v_0 et de l'altitude z_0 atteintes à la fin de la première phase. On vérifiera que z_0≪h.
  • 15 - Justifier le fait que l'on puisse considérer que pendant la première phase, la force de gravitation exercée par la Terre sur le système est sensiblement constante et négliger une des forces par rapport à celle-ci.
16- Expliquer comment la montée du système le long du fil peut affecter la verticalité du câble au cours de sa montée. Proposer un moyen technique de remédier à ce problème.
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le fil reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on négligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalité du fil.
◻17 - L'angle de rotation du cylindre de droite est noté θ, compté positivement comme indiqué sur la figure 4 , le vecteur vitesse angulaire de ce cylindre est donc Ω⃗ = − θ˙u_y ˆ. On prend θ = 0 pour z = 0. Établir la relation entre θ et z.
  • 18 - Établir l'expression littérale du moment Γ_0 que doit exercer le moteur agissant sur ce cylindre pour assurer la montée pendant la première phase (accélérée) du mouvement en fonction de m, R_c, g et a. Effectuer l'application numérique.
  • 19 - Donner l'expression littérale de la valeur minimale de la constante de raideur k du ressort assurant le roulement sans glissement du cylindre de droite sur le fil pendant la première phase (accélérée) du mouvement. Effectuer l'application numérique.
    ◻20 - Justifier par un calcul numérique que la montée du système n'affecte pas sensiblement la tension du fil dans la première phase.

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Physique I Mines MP 2011 sur les transports planétaires ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet Physique I Mines MP 2011 sur les transports planétaires ?

Le sujet porte sur la mécanique du point en champ de gravitation (métro gravitationnel) et la mécanique du solide en référentiel non galiléen (ascenseur spatial).

Le sujet Physique I Mines MP 2011 est-il difficile ?

Le rapport indique qu'aucune question n'était conceptuellement complexe, mais les taux de réussite chutent fortement en fin de sujet, certaines questions n'étant réussies que par 2 % voire 0,5 % des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique I Mines MP 2011 ?

Des erreurs de signe liées à une définition inhabituelle de l'énoncé, une méthode de mécanique des systèmes non suivie, et un manque de rigueur dans les applications numériques et leur commentaire.

Ce sujet Physique I Mines MP 2011 est-il un bon entraînement à la mécanique en référentiel non galiléen ?

Oui, la partie sur l'ascenseur spatial mobilise directement les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis dans le référentiel terrestre en rotation.

Pas de description pour le moment