Mines Physique 1 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2012
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve:

3

heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

PROPAGATION DE LA LUMIÈRE

L'objectif de ce problème est d'étudier différents aspects de la propagation de la lumière. Dans une première partie on étudiera le modèle géométrique de la lumière. Dans une deuxième partie, on modélisera la lumière par une onde ce qui permettra d'introduire une particule appelée photon. On évoquera finalement la possibilité d'une éventuelle masse pour ce photon et on essaiera d'en tirer les conséquences.
La valeur des constantes fondamentales utilisées ainsi qu'un formulaire d'analyse vectorielle sont fournis en fin d'épreuve. Hormis le nombre

j

tel que

j^2 = - 1

, les nombres complexes seront soulignés, et leurs complexes conjugués seront notés par le symbole

*

en exposant : si

a

b

sont deux réels et si

z_- = a + jb

alors

z_-^* = a - jb

. Les vecteurs seront surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général.

I. - Propagation géométrique de la lumière

Dans le modèle géométrique de la lumière, on représente la trajectoire de l'énergie lumineuse dans un milieu d'indice de réfraction

n(M)

au point

M

, par une courbe géométrique

𝒞

nommée rayon lumineux. L'objectif de cette partie est l'obtention d'une équation différentielle dont la solution admet cette courbe pour graphe.

◻1

- Rappeler les lois de Descartes et faire un dessin pour les illustrer. Au cours de quel siècle ces lois ont-elles été proposées ?

◻2

- On considère un dioptre délimitant deux milieux d'indices constants

n_1

n_2

. Expliquer la notion de réflexion totale; Démontrer qu'il existe un angle d'incidence limite

α_(lim)

pour la réfraction. On exprimera

α_(lim)

en fonction de

n_1

n_2

On étudie maintenant la trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu non homogène le long d'une direction. On considère pour cela dans un premier temps, le milieu stratifié représenté sur la figure 1 : chaque couche horizontale est repérée par un entier

i

, toutes les couches ont la même épaisseur et l'indice

n_i

de la couche

i

est constant. On suppose finalement que l'indice décroît avec

i

: pour deux entiers

i

j

i < j

alors

n_i > n_j

. On note

α_i

l'angle entre le rayon qui se propage dans la couche d'indice

n_i

et le vecteur

e_x ˆ

◻3

- Relier les couples

(n_i, α_i)

(n_j, α_j)

pour

i \neq j

. Reproduire le schéma sur la copie et dessiner la trajectoire du rayon lumineux.

Figure 1 - Milieu inhomogène stratifié suivant

Oy

Afin de déterminer l'équation différentielle de la trajectoire du rayon lumineux, on rend la stratification infiniment fine : on tend vers un milieu continu. À l'ordonnée

y

, l'indice de réfraction est

n(y)

et l'angle entre le rayon et le vecteur

e_x ˆ

est noté

α(y)

. Le point

M(x, y)

décrit la trajectoire du rayon lumineux, on note

s

son abscisse curviligne, c'est-à-dire la longueur de la trajectoire

OM

, et

e_s ˆ

le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. Ainsi en tout point

M

de la trajectoire, on a

dse_s ˆ = dxe_x ˆ + dye_y ˆavece_s ˆ = cos[α(y)]e_x ˆ + sin[α(y)]e_y ˆ

◻4

- Déterminer une quantité

C_0

constante en tout point

M

de la trajectoire en fonction de

n(y)

α(y)

puis exprimer

n(y)

en fonction de

C_0, ds

dx

◻5

- Montrer que la courbe

𝒞

correspond à la solution de l'équation

(d^2 y)/(dx^2) = - d/(dy)(- (n^2)/(β^2))

où l'on exprimera

β

en fonction de

C_0

. Quelle analogie mécanique peut-on envisager?

6 - L'indice du milieu s'écrit sous la forme $n^2(y) = n_0^2 + ky^2$ où $n_0$ et $k$ sont deux constantes réelles. Déterminer, selon le signe de $k$ , l'expression de la trajectoire $y = y(x)$ passant par l'origine $O$ de coordonnées $x = 0$ et $y = 0$ . On exprimera $y(x)$ en fonction de $x, α_0, k$ et $n_0$ . Quel est le signe de $k$ dans le cas d'un mirage et dans le cas d'une fibre optique.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Nature ondulatoire de la lumière

La lumière est à présent modélisée par une onde électromagnétique plane de pulsation

ω

et de vecteur d'onde

k⃗

. On associe à cette onde une particule, appelée photon, d'énergie

E_γ = ℏω

et de quantité de mouvement

p_γ^(\to-) = ℏk⃗

où

ℏ

est la constante de Planck. On suppose que ces expressions sont toujours valables, quel que soit le milieu dans lequel se propage l'onde et indépendamment de l'éventuelle masse du photon. On utilisera les notations suivantes:

Champ électrique au point $M$ à l'instant $t : E⃗(M, t)$ ,
Champ magnétique au point $M$ à l'instant $t : B⃗(M, t)$ ,
Champ de Riemann-Silberstein au point $M$ et à l'instant $t : Ψ⃗_-(M, t) = E⃗(M, t) + jcB⃗(M, t)$ ;
Potentiel scalaire au point $M$ à l'instant $t : V(M, t)$ ;
Potentiel vectoriel au point $M$ à l'instant $t : A⃗(M, t)$ ;
Vecteur de Poynting au point $M$ à l'instant $t : Π⃗(M, t)$ ;
Densité volumique d'énergie électromagnétique au point $M$ à l'instant $t : u_(em)(M, t)$ ;
Densité volumique de charge en $M$ à l'instant $t : ρ(M, t)$ ;
Densité de courant en $M$ à l'instant $t : j⃗(M, t)$ .

On pourra utiliser le vecteur

\nabla⃗

représenté dans la base cartésienne

ℬ = (e_x ˆ, e_y ˆ, e_z ˆ)

par le triplet

(\partial/(\partialx), \partial/(\partialy), \partial/(\partialz))

. Dans le référentiel galiléen

{O, ℬ}

, on repère le point

M

par le vecteur

r⃗ = OM^(\to-) = xe_x ˆ + ye_y ˆ + ze_z ˆ.

II.A. - Propagation dans le vide

◻7

- Ecrire les équations de Maxwell dans le vide. Donner l'expression de

Π⃗

et de

u_(em)

en fonction de

E⃗

B⃗

ainsi que des constantes utiles. En quelles unités s'expriment

Π⃗

u_(em)

◻8

- Enoncer l'équation locale de conservation de l'énergie dans le vide, appelée aussi équation locale de Poynting. Par analogie avec une ou plusieurs équations de bilan local dans d'autres domaines de la physique que l'on précisera, donner l'interprétation physique de

Π⃗

u_(em)

ainsi que celle du flux de

Π⃗

à travers une surface fermée arbitraire.

9 - Retrouver en les justifiant les expressions de $E⃗(M, t)$ et $B⃗(M, t)$ en fonction des potentiels $V(M, t)$ et $A⃗(M, t)$ . En déduire l'expression de $Ψ⃗_-(M, t)$ en fonction des potentiels $V(M, t)$ et $A⃗(M, t)$ . Montrer que les quatre équations de Maxwell en $E⃗(M, t)$ et $B⃗(M, t)$ se réduisent à deux équations aux dérivées partielles ne faisant intervenir que $Ψ⃗_-(M, t)$ et $c$ .
$◻10$ - Relier chacune des deux grandeurs $Ψ⃗_-^*(M, t) \cdot Ψ⃗_-(M, t)$ et $Ψ⃗_-^*(M, t) \land Ψ⃗_-(M, t)$ à une grandeur physique connue.
11 - Déterminer l'équation de propagation du champ $Ψ⃗_-(M, t)$ . Nommer cette équation et en déduire les équations de propagation du champ électrique et magnétique. Le champ électrique s'écrit sous forme complexe $E⃗_-(M, t) = E⃗_0 e^(j(ωt - k⃗ \cdot r⃗))$ . En déduire la relation de dispersion reliant la norme du vecteur d'onde $k = ‖k⃗‖$ et la pulsation $ω$ . Déterminer l'expression de l'énergie du photon $E_γ$ en fonction de sa quantité de mouvement $p_γ^(\to-)$ .

On souhaite déterminer la vitesse moyenne de déplacement dans le vide de l'énergie électromagnétique associée à une onde plane monochromatique de pulsation

ω

et de vecteur d'onde

k⃗ = keˆ_z

. On considère le cylindre élémentaire de longueur

dℓ

et de section

dS

incluse dans le plan d'onde de cote

z

représenté sur la figure 2 . Afin de simplifier le modèle, on suppose que l'onde étudiée est polarisée rectilignement, la représentation complexe du champ électrique associé s'écrit donc

E⃗_-(M, t) = E_0 e^(j(ωt - kz))e_x ˆ

Figure 2 - Cylindre élémentaire

◻12

- Exprimer

⟨Π⃗⟩

⟨u_(em)⟩

, valeurs moyennes temporelles (sur une période) respectives de

Π⃗

u_(em)

, en fonction de

E_0

et des constantes utiles. Déterminer les deux énergies moyennes temporelles sur une période, celle contenue dans le cylindre élémentaire et celle traversant l'élément de surface

dS

pendant le temps

dt

. En supposant que l'énergie électromagnétique se déplace dans le vide à la vitesse moyenne

v_e = dℓ/dt

, déduire des expressions précédemment obtenues dans cette question, la valeur de

v_e

II.B. - Propagation dans un diélectrique

On suppose maintenant que la lumière se propage dans un diélectrique d'indice de réfraction constant

n

. Cela signifie que les équations de Maxwell sont modifiées en remplaçant la permittivité du vide

ε_0

par une permittivité

n^2 ε_0

◻13

- Quelle est la nouvelle relation de dispersion ? Quelle est la vitesse de phase de l'onde?

14 - On considère l'interface plane entre deux diélectriques d'indice $n_1$ et $n_2$ représentée sur la figure 3 . L'interface est dans le plan $Oxy$ , sa taille suivant l'axe $Oy$ est supposée très grande devant sa longueur $L$ suivant l'axe $Ox$ . Une onde plane de pulsation $ω$ arrive avec un angle d'incidence $α$ sur l'interface. On modélise l'interface comme une pupille de diffraction suivant l'axe $Ox$ . Calculer l'éclairement $I(θ)$ dans la direction $θ$ . Dans quelle direction trouve-t-on le maximum de diffraction ? Conclure. On notera $I_0$

Figure 3 - Interface entre les deux diélectriques

l'éclairement maximum.

II.C. - Propagation de l'onde lumineuse avec une masse de photon non nulle

On suppose à présent et jusqu'à la fin du problème que le photon possède une masse

m_γ

non nulle. Dans ce cas, son énergie, sa quantité de mouvement et sa masse doivent vérifier la relation :

E_γ^2 = p_γ^2 c^2 + m_γ^2 c^4.

où

E_γ

p_γ

représentent toujours l'énergie et l'impulsion du photon données en introduction de la partie II.

◻15

- Quelle est la dimension de la constante

δ = ℏ/(m_γ c)

16-Déterminer la nouvelle relation de dispersion entre

ω, k, c

δ

. En déduire l'équation aux dérivées partielles dont les solutions sont les formulations complexes des champs électrique et magnétique

E⃗_-(M, t) = E⃗_0 e^(j(ωt - k⃗ \cdot r⃗))

B⃗_-(M, t) = B⃗_0 e^(j(ωt - k⃗ \cdot r⃗))

. Cette équation est appelée << équation de Klein-Gordon>>.

On souhaite généraliser les équations de Maxwell de manière à ce qu'elles permettent de retrouver l'équation de Klein-Gordon. Pour conserver la linéarité de ces équations, on effectue deux hypothèses :

H1 Les densités de charge et de courant sont modifiées de façon additive par l'existence d'une masse pour le photon

é é ρ(M, t) est remplacé par ρ(M, t) + f(M, t); j⃗(M, t) est remplacé par j⃗(M, t) + F⃗(M, t)

où

f(M, t)

F⃗(M, t)

sont des champs scalaires et vectoriels.

H2 L'expression des champs $E⃗(M, t)$ et $B⃗(M, t)$ en fonction des potentiels $V(M, t)$ et $A⃗(M, t)$ n'est pas modifiée par l'introduction de la masse du photon.

17- Réécrire les équations de Maxwell dans le vide sous l'hypothèse H1. Montrer que l'hypothèse H2 n'est pas en contradiction avec ces équations. En écrivant les nouvelles équations de propagation, montrer que l'on peut fixer des conditions dites de jauge pour lesquelles

A⃗ = σ_1 F⃗ et f = σ_2 V

où l'on déterminera

σ_1

σ_2

en fonction de

δ

μ_0

ε_0

. On conservera ces conditions dans la suite du problème.

◻18

- Démontrer que

(\partialV)/(\partialt) = χdiv(A⃗).

où l'on déterminera

χ

en fonction de

c

. On supposera que cette relation est toujours valable dans tout le reste du problème.

19-Déterminer les deux équations de Maxwell vérifiées par le champ

Ψ⃗_-(M, t)

. En déduire que

Ψ⃗_-(M, t), V(M, t)

A⃗(M, t)

sont aussi solutions de l'équation de Klein-Gordon.

Une source émet une onde plane progressive se propageant le long de l'axe

Oz

. Elle est décrite par le potentiel vecteur complexe

A⃗(M, t) = A⃗_0 e^(j(ωt - kz))

et le potentiel scalaire complexe

V_-(M, t) = V_0 e^(j(ωt - kz))

. On décompose

A⃗_0 = A⃗_‖ + A⃗_⊥

où

A⃗_‖

est la projection de

A⃗_0

sur l'axe de propagation et

A⃗_⊥

est la projection de

A⃗_0

dans le plan perpendiculaire à l'axe de propagation. Le vecteur d'onde s'écrit

k⃗ = keˆ_z

◻20

- Montrer que la relation de dispersion associée à la propagation de cette onde s'écrit sous la forme

k^2 c^2 = ω^2 - ω_p^2

où

ω_p

est une pulsation de coupure que l'on déterminera.

21 - Déterminer l'expression des vecteurs $E⃗_-_0$ et $B⃗_-_0$ tels que $E⃗_- = E⃗_-_0 e^(j(ωt - kz))$ et $B⃗_- = B⃗_-_0 e^(j(ωt - kz))$ . On exprimera $B_-_0$ en fonction $k⃗, A⃗_‖$ et/ou $A⃗_⊥$ puis $E⃗_-_0$ en fonction en fonction de $ω, ω_p, A⃗_‖$ et/ou $A⃗_⊥$ . Qu'en déduire de la nature transverse du champ électromagnétique si la masse du photon est non nulle?
$◻22$ - Etudier en fonction de la position de $ω$ par rapport à $ω_p$ , l'existence d'une onde progressive. Calculer dans ce cas la vitesse de phase et en déduire l'évolution d'un paquet d'onde.

Afin de mesurer l'éventuelle masse du photon on peut faire une expérience d'astrophysique. On étudie la lumière émise par une étoile distante de

D = 1000

années-lumière et reçue par la terre. Les pulsations rouge

ω_r = 8π10^(14)

rad.s

^(- 1)

et bleue

ω_b = 16π10^(14)

rad.s

^(- 1)

de cette lumière peuvent être associées à deux photons l'un dit rouge et l'autre bleu. L'existence d'une masse pour le photon induit un décalage temporel

Δt

séparant les arrivées de ces deux photons sur le détecteur terrestre. L'expérience montre que

Δt \leq 10^(- 3) s

. On suppose que

ω_r, ω_b≫ω_p

◻23

- Déterminer la masse du photon en fonction de

Δt

et des données du problème. En déduire une limite supérieure pour la masse du photon

m_(γl)

On peut aussi faire un raisonnement sur la portée de l'interaction électrostatique.

◻24

- Une charge

Q

ponctuelle se trouve en

O

, origine d'un référentiel galiléen. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par le potentiel électrique

V(M)

si le photon possède une masse. La résoudre puis calculer le champ électrique

E⃗(M)

en fonction de

r, δ

en tout point de l'espace. On supposera que le potentiel et le champ s'annulent à l'infini. En déduire l'expression du potentiel scalaire avec un photon massif sous les hypothèses H1 et H2. Quelle est alors la portée de l'interaction électrique dans ce modèle ? Que peut-on en conclure ?

FIN DE LA PARTIE II

Constantes fondamentales

Permittivité diélectrique du vide : $ε_0 = 1/(36π)10^(- 9) F.m^(- 1)$ ,
Perméabilité magnétique du vide : $μ_0 = 4π \cdot 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)$ ,
Célérité de la lumière : $c = 3.10^8 m.s^(- 1)$ ,
Constante de Planck : $h \approx 6, 62.10^(- 34)$ J.s et $ℏ = h/(2π) \approx 1, 05.10^(- 34)$ J.s ,

Formulaire d'analyse vectorielle.

$rot^(\to-)[rot^(\to-)(u⃗)] = grad^(\to-)[div(u⃗)] - Δu⃗$ ,
Si $g$ est un champ scalaire, $rot^(\to-)(gu⃗) = grot^(\to-)(u⃗) + grad^(\to-)(g) \land u⃗$ ,
div $[u⃗ \land v⃗] = - u⃗ \cdot rot^(\to-)(v⃗) + v⃗ \cdot rot^(\to-)(u⃗)$ ,
$grad^(\to-)(u⃗ \cdot v⃗) = u⃗ \land [rot^(\to-)(v⃗)] + v⃗ \land [rot^(\to-)(u⃗)] + (u⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗ + (v⃗ \cdot grad^(\to-))u⃗$ ,
$u⃗ \land (v⃗ \land w⃗) = (u⃗ \cdot w⃗)v⃗ - (u⃗ \cdot v⃗)w⃗$ ,
Si $f$ ne dépend que de $r = ‖OM^(\to-)‖$ , alors $Δf(r) = 1/r(\partial^2[rf(r)])/(\partialr^2)$

FIN DE L'ÉPREUVE

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