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Mines Mathématiques 2 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Formule sommatoire de Poisson

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Présentation du sujet

Difficile
Transformation de Fourier et formule sommatoire de Poisson
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Le problème étudie la transformée de Fourier des fonctions intégrables sur R pour établir la formule sommatoire de Poisson sous une hypothèse de décroissance à l'infini. Il en tire trois applications : la formule d'inversion de Fourier, le théorème d'échantillonnage de Whittaker et la resommation d'Ewald. Il construit aussi le contre-exemple de Katznelson, qui montre que la formule tombe en défaut sous des hypothèses plus faibles.

  1. 1A. PréliminairesContinuité de la transformée de Fourier, espaces fonctionnels stables par translation et homothétie, calculs de transformées et convergence en moyenne (questions 1 à 6).
  2. 2B. Formule sommatoire de PoissonPériodisée d'une fonction, ses coefficients de Fourier et égalité avec la somme de sa série de Fourier (questions 7 à 9).
  3. 3C. Application à la formule d'inversion de FourierFormule de Poisson généralisée, formule d'inversion et valeurs propres de la transformation de Fourier (questions 10 à 12).
  4. 4D. Application au théorème d'échantillonnage de WhittakerReconstruction d'une fonction à spectre borné à partir de ses valeurs aux entiers (questions 13 et 14).
  5. 5E. Contre-exemple de KatznelsonConstruction à l'aide du noyau de Fejér d'une fonction qui contredit la formule de Poisson (questions 15 à 19).
  6. 6F. Application à la resommation d'EwaldValeur approchée d'une somme de série à l'aide de la formule de Poisson (question 20).

Difficile. Le rapport juge le problème assez peu réussi : sans vraie difficulté jusqu'à la question 13, il devient ensuite rarement traité avec succès, la question 18 n'étant abordée que par une infime minorité.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calcul de transformée de Fourier interminable · Convergence en moyenne ignorée · Convergence normale sur R tout entier
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L'avis des correcteurs est mitigé. La rédaction se dégrade depuis quelques années et les raisonnements des questions 1 à 13 sont souvent peu soignés, alors que cette première moitié ne présentait pas de réelle difficulté. Beaucoup de candidats y ont perdu plus de la moitié des points sans pouvoir les récupérer ensuite.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calcul de transformée de Fourier interminableQuestion 4

    Le calcul de la transformée de t s'étale sur plusieurs pages et reste souvent faux, alors que la parité des parties réelle et imaginaire le rendait court.

    « Il importe que les candidats sachent calculer sans erreur une intégrale requérant une simple intégration par parties. »
  2. 2
    Convergence en moyenne ignoréeQuestion 6

    Beaucoup ignorent cette définition du programme de MP ou la confondent avec la convergence en moyenne quadratique ou au sens de Césaro.

    « De nombreux candidats ignorent la définition de la convergence en moyenne d’une suite de fonctions »
  3. 3
    Convergence normale sur R tout entierQuestion 7

    La série des translatées ne converge normalement que sur tout compact, et la convergence d'une série se prouve en majorant le module du terme général.

    « cette convergence normale, ou même uniforme, ne peut avoir lieu sur R tout entier. »
  4. 4
    Résultat hors programme invoqué comme théorèmeQuestion 9

    L'égalité entre la périodisée et la somme de sa série de Fourier ne découle ni du théorème de Dirichlet ni d'une propriété vraie pour toute fonction intégrable.

    « Ce résultat n’étant pas un théorème au programme devait être démontré. »
  5. 5
    Coefficients de Fourier non identifiésQuestion 10

    Beaucoup se contentent d'obtenir une série trigonométrique sans vérifier que ses coefficients sont ceux de la fonction étudiée.

    « De nombreux candidats ont seulement vérifié que la généralisation de la formule de Poisson donne une écriture »
  6. 6
    Majorations trop grossièresQuestion 17

    Le noyau de Fejér est majoré trop grossièrement, ou l'intégrale sur R est bornée à partir d'une borne valable sur un seul segment.

    « Cette question n’a pratiquement jamais été correctement traitée »

Ce qui a été bien réussi

  • La condition de domination a très généralement été fournie à la question 1.
  • La question 3 a très généralement été correctement traitée.
  • La question 11 a été réussie par un peu moins d'un candidat sur deux.
  • La question 20 a été traitée convenablement par un nombre non négligeable de candidats.

Conseils du jury

  • Nommer précisément les théorèmes utilisés et vérifier leurs hypothèses dans le contexte, au lieu d'invoquer un « résultat connu ».
  • Rédiger de façon concise mais complète sur la première moitié du sujet, où se concentrent les points.
  • Présenter clairement les étapes d'un calcul préparé au brouillon.
  • S'entraîner sur des problèmes complets en cherchant l'enchaînement des idées entre les questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2012

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objectif de ce problème est d'établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d'en étudier certaines applications.
Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur ℝ et à valeurs dans ℂ. On note ℒ l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur ℝ, et ℒ^∗ l'espace vectoriel des fonctions continues f telles qu'il existe α > 1 pour lequel la fonction x ↦ |x|^α f(x) est bornée sur ℝ.

A. Préliminaires

La transformée de Fourier de f ∈ ℒ est la fonction f^ définie par la formule :
f^(ξ) = ∫_(− ∞)^∞f(x)e^(− 2iπxξ) dx
  1. Justifier que pour tout f ∈ ℒ, f^ est bien définie et continue sur ℝ.
On désigne par 𝒲 l'ensemble des fonctions f ∈ ℒ telles que f^ ∈ ℒ, et par 𝒲^∗ l'ensemble des fonctions f ∈ ℒ^∗ telles que f^ ∈ ℒ^∗.
2) Établir que 𝒲 et 𝒲^∗ sont des espaces vectoriels sur ℂ, vérifiant l'inclusion 𝕎^∗ ⊂ W.
Étant donné f ∈ ℒ, α > 0 et y, v ∈ ℝ, on pose, pour tout x ∈ ℝ, f_α(x) = f(αx) et f_(y, v)(x) = f(x + y)e^(− 2iπvx).
3) Déterminer les transformées de Fourier de f_α et f_(y, v) en fonction de f^. Que peut-on en déduire sur les espaces 𝒲 et 𝒲^∗ ?
4) Calculer les transformées de Fourier des fonctions s et t définies sur ℝ par les formules
s(x) = {1, pour |x| ⩽ 1/2; 0, ailleurs
et
t(x) = {1 − |x|, pour |x| < 1; 0, ailleurs
pour tout x ∈ ℝ.
5) Montrer que 𝒲^∗ et 𝒲 sont distincts de ℒ. On pourra pour cela s'aider de la fonction s définie à la question précédente.
6) Si f_n est une suite de fonctions de 𝒲 convergeant en moyenne vers une fonction f ∈ 𝒲, montrer que la suite f^_n converge vers f^, uniformément sur ℝ.

B. Formule sommatoire de Poisson

Soit f ∈ ℒ^∗. Sa périodisée f~ est définie par la formule f~(x) = ∑_(n ∈ ℤ)f(x + n).
7) Montrer que f~ est bien définie, 1 -périodique et continue sur ℝ.
8) Déterminer, en fonction de f^, les coefficients de Fourier de f~ définis pour tout n ∈ ℤ par la formule
c_n(f~) = ∫_0^1 f~(x)e^(− 2iπnx) dx
On rappelle que si deux fonctions continues périodiques ont les mêmes coefficients de Fourier, alors elles sont égales.
9) Montrer que si f^ ∈ ℒ^∗, alors f~ est égale à la somme de sa série de Fourier. En déduire, pour tout f ∈ 𝕎^∗, la formule de Poisson :
∑_(n ∈ ℤ)f(n) = ∑_(n ∈ ℤ)f^(n).
Les parties suivantes donnent diverses applications de la formule de Poisson.

C. Application à la formule d'inversion de Fourier

Soit f ∈ 𝕎^∗.
10) En appliquant la formule de Poisson à la fonction f_(x, ξ) définie dans la partie A, établir la généralisation suivante, pour tous réels x et ξ :
∑_(n ∈ ℤ)f(x + n)e^(− 2iπnξ) = ∑_(n ∈ ℤ)f^(n + ξ)e^(2iπx(n + ξ))
Montrer que cette formule donne un développement en série de Fourier de la fonction périodisée F_x˜, où F_x est la fonction définie par F_x(ξ) = f^(ξ)e^(2iπxξ).
11) En déduire la formule d'inversion de Fourier:
f(x) = ∫_(− ∞)^∞f^(ξ)e^(2iπxξ) dξ
On pourra pour cela interpréter le second membre comme un coefficient de Fourier particulier de F_x˜.
On dit que λ ∈ ℂ est valeur propre de la transformation de Fourier dans W^∗ s'il existe f ∈ 𝕎^∗ non nulle telle que f^ = λf.
12) Montrer qu'une telle valeur propre est une racine quatrième de l'unité, puis déterminer toutes les valeurs propres réelles de la transformation de Fourier dans W^∗. On pourra s'aider de combinaisons linéaires des fonctions t et t^ où t est définie à la question 4).
Les parties suivantes sont indépendantes les unes des autres.

D. Application au théorème d'échantillonnage de Whittaker

On considère, dans cette partie, une fonction f ∈ W^∗ telle que f^ s'annule en dehors de l'intervalle [ − 1/2, 1/2].
13) Montrer qu'alors f est déterminée de façon unique par la donnée de la suite des échantillons (f(n))_(n ∈ ℤ). (On pourra s'aider de la formule généralisée de Poisson établie à la question 10).)
14) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement que f^ s'annule en dehors d'un intervalle [ − 1/2 − ε, 1/2 + ε] où ε > 0 ? (On pourra considérer la fonction ξ ↦ t((ξ − 1/2)/ε) − t((ξ + 1/2)/ε), où t est la fonction définie à la question 4).)

E. Contre-exemple de Katznelson

Dans cette partie, on considère la fonction t définie à la question 4) et l'on pose, pour tous x ∈ ℝ, k ∈ ℕ et N entier > 0 :
u_k(x), = t(2^k x) − t(2^(k + 1)x); u_(k, N)(x), = 1/N∑_(n ∈ ℤ, |n| < N)(1 − (|n|)/N)u_k(x − n).
On pose enfin, pour une suite donnée (N_k)_(k ∈ ℕ) d'entiers strictement positifs :
f = ∑_(k = 0)^(+ ∞)u_(k, N_k)
On pourra utiliser, sans les re-démontrer, les égalités suivantes concernant le noyau de Fejér K_N :
K_N(x) = ∑_(|n| < N)(1 − (|n|)/N)e^(2iπnx) = 1/N((sinπNx)/(sinπx))^2
la deuxième égalité n'ayant lieu que si x ∉ ℤ.
15) Montrer que la fonction f est bien définie (on pourra distinguer les cas x ∈ ℤ et x ∉ ℤ ). La fonction f est-elle continue sur ℝ − ℤ ?
Bien que ce ne soit pas nécessaire, pour la conformité au programme, on pourra admettre dorénavant que f est continue par morceaux sur ℝ.
16) Montrer que f est intégrable et que la série de terme général u_(k, N_k) converge vers f en moyenne sur ℝ. Que peut-on en déduire sur la série de terme général u_(k, N_k)ˆ ?
17) Etablir l'inégalité suivante :
∫_(− ∞)^∞|u_(k, N)ˆ(ξ)|dξ ⩽ 1/N∑_(n ∈ ℤ)sup_([n, n + 1])|u^_k|
  1. En déduire qu'il existe une suite (N_k)_(k ∈ ℕ) telle que f^ soit intégrable et que la série de terme général u_(k, N_k)ˆ converge vers f^ en moyenne sur ℝ. Que peut-on en déduire sur la nature de la convergence de la série de terme général u_(k, N_k) ?
  2. Examiner la validité de la formule de Poisson pour cette fonction f. Que peut-on en conclure?

F. Application à la resommation d'Ewald

On note g la fonction gaussienne définie sur ℝ par la formule g(x) = e^(− πx^2), et l'on admet que g^ = g.
20) Donner une valeur approchée de la somme de la série :
S = ∑_(n = 1)^∞e^(− π(n/(100))^2)
exacte à 10^(− 10000) près.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines MP 2012 ?

Sur la transformation de Fourier et la formule sommatoire de Poisson, avec comme applications la formule d'inversion, le théorème d'échantillonnage de Whittaker, la resommation d'Ewald et le contre-exemple de Katznelson.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Mines MP 2012 ?

Les intégrales à paramètre, l'intégrabilité sur R, les séries de fonctions et leurs modes de convergence, les séries de Fourier et la convergence en moyenne.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Mines MP 2012 ?

Une rédaction peu soignée, des théorèmes cités sans leurs hypothèses, la définition de la convergence en moyenne ignorée, une convergence normale affirmée sur R entier et des calculs d'intégrales longs et faux.

Le sujet de maths 2 Mines MP 2012 est-il difficile ?

Le rapport indique qu'il ne présentait pas de réelle difficulté jusqu'à la question 13, mais que les questions suivantes ont rarement été réussies et que le problème a été globalement assez peu réussi.

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