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Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Théorie des nombres : encadrement de la fonction de comptage des nombres premiers et irrationalité de ζ(2) et de π
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Ce sujet de théorie des nombres, en cinq parties, établit d'abord un encadrement de la fonction de comptage π(x) des nombres premiers, plus faible que le théorème des nombres premiers, à l'aide de coefficients binomiaux et de valuations p-adiques. Il majore ensuite le PPCM des entiers de 1 à n, puis démontre un critère d'irrationalité qu'il applique, via le calcul d'intégrales doubles, à ζ(2) et enfin à π.

  1. 1Partie A : un encadrement de la fonction πÀ l'aide de coefficients binomiaux et de valuations p-adiques, encadre la fonction de comptage π(x) des nombres premiers pour x supérieur ou égal à 3.
  2. 2Partie B : une majoration d'un PPCMMajore le PPCM des entiers de 1 à n, d'abord par n!, puis par une borne plus fine liée à π(n).
  3. 3Partie C : un critère d'irrationalitéÉtablit un critère d'irrationalité à partir de suites d'approximations rationnelles, puis l'applique à un exemple avant d'amorcer le cas de ζ(2).
  4. 4Partie D : calcul d'une intégrale doubleCalcule une intégrale double dépendant de deux entiers r et s et l'écrit comme un quotient d'entiers lié au PPCM dn.
  5. 5Partie E : une démonstration de l'irrationalité de ζ(2)Construit une suite d'intégrales à partir de polynômes liés à Xn(1-X)n pour démontrer l'irrationalité de ζ(2), puis de π.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet un peu long, avec de nombreuses questions faciles bien réussies mais des trois dernières parties plus techniques et une dernière question trop rarement traitée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,23 / 20 · écart-type 4,06 · 4 570 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,23/ 20
Écart-type
4,06
Présents
4 570
Coefficient
19
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,2305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 28 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Minoration de π(x) par récurrence · Erreurs de calcul récurrentes · Confusion sur la partie entière
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La plupart des candidats traitent correctement un bon nombre de questions faciles, mais de nombreuses erreurs de calcul ont émaillé les deux premières parties. Les trois dernières parties, plus techniques, ont été moins abordées, la toute dernière ayant été trop rarement réellement faite. Le jury déplore aussi un manque de rigueur dans les justifications et des copies souvent mal présentées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Minoration de π(x) par récurrenceQ1

    Beaucoup de candidats tentent sans succès une récurrence directe alors qu'il faut utiliser le lemme de Gauss.

    « Il faut utiliser le lemme de Gauss »
  2. 2
    Erreurs de calcul récurrentesQ9, Q12

    Sur plusieurs questions techniques, dont Q9 et Q12, de nombreux candidats commettent des erreurs de calcul qui les empêchent de conclure.

    « Comme pour la question Q9, beaucoup d'erreurs de calcul »
  3. 3
    Confusion sur la partie entièreQ13

    Plusieurs candidats confondent 2⌊x⌋ et ⌊2x⌋, une erreur classique sur la fonction partie entière.

  4. 4
    Équivalents et exponentielleQ19

    De nombreux candidats appliquent à tort un équivalent à l'intérieur d'une exponentielle, une erreur déjà signalée les années précédentes.

    « ce qui est faux (et déjà signalé dans le rapport de l'an dernier) »
  5. 5
    Présentation des copies

    Des copies ressemblent à un brouillon, avec ratures, abréviations peu claires et ordre des questions désorganisé, ce qui expose à un malus.

    « les copies de certains candidats se confondent avec un brouillon »
  6. 6
    Justifications trop vagues

    Le jury attend des justifications précises et juge insuffisant de se contenter de renvoyer à un théorème du cours sans plus de détail.

    « les correcteurs attendent des points précis »

Ce qui a été bien réussi

  • La majoration de π(x) est en général bien traitée, contrairement à la minoration.
  • De nombreuses questions faciles sont bien réussies, comme Q3, Q7, Q8, Q16, Q18, Q27, Q28, Q35 et Q37.
  • Quelques candidats ont traité la quasi-totalité du sujet de façon quasiment parfaite.

Conseils du jury

  • Lire l'intégralité du sujet avant de se lancer, car certains candidats semblent perturbés par le début du sujet.
  • Soigner la présentation et la rédaction pour éviter le malus lié à une copie peu lisible ou mal organisée.
  • Bien travailler les notions de première année, rappelées comme indispensables par le jury.
  • Justifier précisément chaque étape plutôt que d'invoquer vaguement un théorème du cours.
  • Vérifier soigneusement les calculs, source fréquente de pertes de points sur des questions par ailleurs accessibles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Irrationalité de ζ(2)

Notations

  • Si x ∈ ℝ, on note ⌊x⌋ sa partie entière.
  • Si p est un nombre premier et si n ∈ ℕ^⋆, on note v_p(n) la valuation p-adique de n, c'est-à-dire le plus grand entier naturel k tel que p^k divise n.
  • Si x est un réel supérieur ou égal à 1 , on note π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. En d'autres termes,
π(x) = card({p premier, p ⩽ x}) = ∑_(p ⩽ x; p premier)1
où card(A) désigne le cardinal de l'ensemble fini A.

Partie A - Un encadrement de la fonction π

Le but de cette partie est d'établir l'encadrement suivant de la fonction π :
∀x ∈ [3, + ∞[ (ln(2))/6x/(ln(x)) ⩽ π(x) ⩽ 4x/(ln(x)).

I - Calculs préliminaires

Q1. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que
∏_(n + 2 ⩽ p ⩽ 2n + 1; p premier)p ⩽ ((2n + 1)/n) ⩽ 4^n
Q2. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
∏_(p ⩽ n; p premier)p < 4^n
On pourra procéder par récurrence et effectuer l'hérédité en discutant suivant la parité de n.
Q3. En déduire que, pour tout réel x ⩾ 1,
∏_(p ≤ x; p premier)p < 4^x.
Q4. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
(4^n)/(2n) ⩽ ((2n)/n) < 4^n
Q5. Soit p un nombre premier. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ,
v_p(n!) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)⌊n/(p^k)⌋
Q6. En déduire que, pour tous n ∈ ℕ^∗, k ∈ ℕ et p nombre premier : si p^k divise ((2n)/n), alors p^k ⩽ 2n.

II - Majoration de π(x)

Q7. Soit n ∈ ℕ^∗. Justifier que
∏_(p ⩽ n; p premier)p ⩾ ∏_(√n < p ⩽ n; p premier)p
Q8. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
n^((π(n) − π(√n))/2) < 4^n
Q9. Soit n ∈ ℕ, n ⩾ 2. Justifier que
π(√n) ⩽ √n < n/(ln(n))
puis en déduire que
π(n) ⩽ 4(ln(n))/n
On pourra remarquer que 2 > ln(4).
Q10. Soit x ⩾ 3. En utilisant la croissance de la fonction t ↦ t/(ln(t)) sur l'intervalle [ e, + ∞ [, montrer que
π(x) ⩽ 4x/(ln(x))

III - Minoration de π(x)

Q11. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que
((2n)/n) ⩽ (2n)^(π(2n))
Q12. Soit n ∈ ℕ^∗. Vérifier que
(2nln(2))/(ln(2n)) − 1 ⩾ (nln(2))/(ln(2n))
puis en déduire que
π(2n) ⩾ n(ln(2))/(ln(2n))
Q13. Soit x ⩾ 3. Montrer que
π(x) ⩾ (ln(2))/6x/(ln(x))
On pourra poser n = ⌊x/2⌋ et utiliser Q12.
L'inégalité précédente a été asymptotiquement améliorée en 1896, ainsi on admettra dans la suite du problème le (difficile) résultat suivant, appelé théorème des nombres premiers,
π(x) ∼ _(x → + ∞)x/(ln(x))

Partie B - Une majoration d'un PPCM

I - Une première majoration

Q14. Soit r ∈ ℕ^⋆. Soient a_1, …, a_r des entiers naturels non nuls. Justifier qu'il existe un unique entier naturel d(a_1, …, a_r) tel que
a_1 ℤ ∩ a_2 ℤ ∩ ⋯ ∩ a_r ℤ = d(a_1, …, a_r)ℤ
Q15. Soit r ∈ ℕ^∗. Soient a_1, …, a_r des entiers naturels non nuls. Montrer que d(a_1, …, a_r) est le plus petit entier naturel non nul qui est divisible par a_1, …, a_r.
Soit r ∈ ℕ^∗. Si a_1, …, a_r sont des entiers naturels non nuls, d(a_1, …, a_r) s'appelle le plus petit commun multiple de a_1, …, a_r et on le notera dans la suite PPCM(a_1, …, a_r).
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note d_n le PPCM des entiers naturels compris entre 1 et n, autrement dit : d_n = PPCM(1, 2, …, n).
Q16. Calculer d_2, d_3 et d_4, puis montrer que d_n ⩽ n! pour tout entier naturel n ∈ ℕ^∗.

II - Une majoration plus fine

Le but de cette sous-partie est d'améliorer la majoration de d_n.
Dans les deux questions suivantes, on fixe un entier naturel non nul n et, pour tout nombre premier p, on note k_p le plus grand entier naturel tel que p^(k_p) ⩽ n.
Q17. Montrer que d_n = ∏_(p ⩽ n; p premier)p^(k_p).
Q18. Pour tout nombre premier p, montrer que k_p = ⌊(ln(n))/(ln(p))⌋. En déduire que d_n ⩽ n^(π(n)).
Q19. En déduire qu'il existe un entier naturel N non nul tel que, pour tout n ⩾ N, d_n ⩽ 3^n. On pourra utiliser le théorème des nombres premiers mentionné ci-dessus.

Partie C - Un critère d'irrationalité

Soit α ∈ ℝ_+. On suppose qu'il existe deux suites d'entiers naturels non nuls (p_n)_(n ∈ ℕ) et (q_n)_(n ∈ ℕ) telles que
lim_(n → + ∞)(p_n)/(q_n) = α et |α − (p_n)/(q_n)| = _(n → + ∞)o(1/(q_n))
On suppose en outre que pour tout n ∈ ℕ, (p_n)/(q_n) ≠ α.
Q20. Montrer que α est un nombre irrationnel.
Soit β = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(10^(n!)).
Q21. Justifier que β est bien défini, puis montrer que β est un nombre irrationnel.
Q22. Soit n ∈ ℕ^∗. Justifier que ζ(2) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^2) est bien défini, puis montrer que l'on peut écrire
∑_(k = 1)^n 1/(k^2) = (p_n)/(q_n)
avecp_n ∈ ℕ^∗ et q_n = d_n^2.
Q23. Peut-on appliquer le résultat de Q20 à ces suites (p_k)_(k ∈ ℕ^∗) et (q_k)_(k ∈ ℕ^∗) pour conclure sur l'irrationalité de ζ(2) ?

Partie D - Calcul d'une intégrale double

I - Une intégrale double

Soient r et s deux entiers naturels strictement positifs tels que r ⩾ s.
Q24. Soit y ∈ ]0, 1[. Justifier que la fonction
x ↦ (x^r y^s)/(1 − xy)
est intégrable sur [0, 1].
On pose, pour y ∈ ]0, 1[,
f_(r, s)(y) = ∫_0^1(x^r y^s)/(1 − xy) dx
Q25. Montrer que f_(r, s) est continue et intégrable sur ]0, 1[.
On pose
J_(r, s) = ∫_0^1 f_(r, s)(y)dy = ∫_0^1∫_0^1(x^r y^s)/(1 − xy) dx dy
Q26. Montrer que
J_(r, s) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((r + k + 1)(s + k + 1))

II - Une écriture sous forme de quotients

Dans cette sous-partie, on suppose r > s.
Q27. Justifier que
1/((r + k + 1)(s + k + 1)) = 1/(r − s)(1/(s + k + 1) − 1/(r + k + 1)).
Q28. En déduire que
J_(r, s) = 1/(r − s)∑_(k = 0)^(+ ∞)(1/(s + k + 1) − 1/(r + k + 1))
Q29. En déduire que
J_(r, s) = 1/(r − s)∑_(k = s + 1)^r 1/k
Q30. En déduire que l'on peut écrire
J_(r, s) = (p_(r, s))/(q_(r, s))
avec p_(r, s) et q_(r, s) des entiers naturels et q_(r, s) divisant d_r^2.
On admettra que J_(r, r) = ζ(2) − ∑_(k = 1)^r 1/(k^2).

Partie E - Une démonstration de l'irrationalité de ζ(2)

On définit sur [0, 1] la fonction P_n par :
∀x ∈ [0, 1], P_n(x) = 1/(n!)(d^n(x^n(1 − x)^n))/(dx^n).
Q31. Soit n ∈ ℕ^∗. Justifier que P_n est une fonction polynomiale sur [0, 1] de degré n à coefficients dans ℤ.
On pose dans la suite
P_n(x) = ∑_(k = 0)^n a_k x^k; (1 − y)^n = ∑_(k = 0)^n b_k y^k
avec pour tout k ∈ [ [0, n] ], a_k ∈ ℤ et b_k ∈ ℤ.
Q32. Soit n ∈ ℕ^∗. Justifier l'existence de
I_n = ∫_0^1∫_0^1((1 − y)^n P_n(x))/(1 − xy) dx dy
et montrer que
I_n = ∑_(r, s = 0; r ≠ s)^n a_r b_s J_(r, s) + ∑_(r = 0)^n a_r b_r J_(r, r)
Q33. Soit n ∈ ℕ^∗. En déduire qu'il existe deux entiers relatifs p_n et q_n tels que
I_n = (p_n + ζ(2)q_n)/(d_n^2)
On admettra dans toute la suite que p_n et q_n sont non nuls pour tout n ∈ ℕ^∗.
Q34. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que pour tout y ∈ ]0, 1[,
∫_0^1(P_n(x))/(1 − xy) dx = (− y)^n∫_0^1(x^n(1 − x)^n)/((1 − xy)^(n + 1)) dx
Q35. En déduire que
I_n = (− 1)^n∫_0^1∫_0^1(x^n(1 − x)^n y^n(1 − y)^n)/((1 − xy)^(n + 1)) dx dy
Q36. Montrer que
∀(x, y) ∈ ]0, 1[^2, (x(1 − x)y(1 − y))/(1 − xy) ⩽ (5√5 − 11)/2
Q37. Soit n ∈ ℕ^∗. En déduire que
|I_n| ⩽ ζ(2)((5√5 − 11)/2)^n
Q38. Montrer qu'il existe N ∈ ℕ^∗ tel que pour tout n ⩾ N,
0 < |p_n + ζ(2)q_n| ⩽ ζ(2)(5/6)^n
On pourra utiliser, sans la prouver, l'inégalité 9(5√5 − 11)/2 ⩽ 5/6.
Q39. Montrer que ζ(2) est un nombre irrationnel.
Q40. On admet, uniquement dans cette question, que ζ(2) = (π^2)/6. Montrer que π est un nombre irrationnel.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP/MPI Centrale 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP/MPI Centrale 2025 ?

Le sujet porte sur les nombres premiers, les coefficients binomiaux et la valuation p-adique, les suites et séries numériques, les intégrales à paramètre et intégrales doubles, ainsi que l'irrationalité de nombres réels comme ζ(2) et π.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 Centrale MP/MPI 2025 ?

Le jury signale surtout des erreurs de calcul récurrentes, une confusion entre 2⌊x⌋ et ⌊2x⌋, un manque de rigueur dans les justifications et des copies parfois mal présentées.

Le sujet de maths 1 Centrale MP/MPI 2025 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme un peu long, avec de nombreuses questions faciles bien réussies, mais les trois dernières parties sont plus techniques et la toute dernière question a été rarement traitée.

Combien de parties comporte le sujet de maths 1 MP/MPI Centrale 2025 ?

Le sujet comporte cinq parties, allant de l'encadrement de la fonction π(x) jusqu'à la démonstration de l'irrationalité de ζ(2) puis de π.

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