Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2026Sujet

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Sur quelques sous-groupes de GLn(R) : groupes finis, groupes compacts et croissance du groupe de Heisenberg

Le sujet étudie trois familles de sous-groupes de GLn(R) à travers trois parties indépendantes. Il caractérise d'abord les sous-groupes finis du groupe orthogonal, puis montre que tout sous-groupe compact de GLn(R) est isomorphe à un sous-groupe du groupe orthogonal, et termine par l'étude de la croissance polynomiale du groupe de Heisenberg discret.

1Partie A : sous-groupes finis de On(R)Étudie d'abord les sous-groupes finis de O2(R), engendrés par des rotations ou formant des groupes diédraux, puis caractérise en dimension n la finitude d'un sous-groupe de On(R) par la finitude de sa trace.
2Partie B : sous-groupes compacts de GLn(R)Établit des propriétés de l'ordre partiel sur les matrices symétriques définies positives et la stricte concavité du logarithme du déterminant, pour montrer que tout sous-groupe compact de GLn(R) est isomorphe à un sous-groupe de On(R).
3Partie C : croissance du groupe de Heisenberg discretDéfinit la notion de croissance polynomiale d'un groupe de type fini et détermine le degré de croissance du groupe de Heisenberg discret engendré par trois matrices 3x3.

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Mathématiques 1

MP MPI
4 heures Calculatrice autorisée

Sur quelques sous-groupes de $GL_n(ℝ)$

Dans tout le sujet,

n

désigne un entier supérieur ou égal à 2 . On note :

- $M_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices de taille $n \times n$ à coefficients dans $ℝ, I_n$ sa matrice identité.
- $GL_n(ℝ)$ le groupe des matrices inversibles de $M_n(ℝ)$ .
- $S_n^+(ℝ)$ (resp. $S_n^(+ +)(ℝ)$ ) l'ensemble des matrices symétriques positives de $M_n(ℝ)$ (resp. définies positives).
- $O_n(ℝ)$ le groupe des matrices orthogonales de $M_n(ℝ)$ , et $SO_n(ℝ)$ celui des matrices orthogonales de déterminant 1.
-La transposée d'une matrice $M \in M_n(ℝ)$ sera notée $M^⊤$ et sa $tracetrM$ .
-On note $|X|$ le cardinal d'un ensemble $X$ , en convenant que $|X| = + \infty$ si $X$ est un ensemble infini.
-Si $A$ est une partie finie d'un groupe $G$ , on note $⟨A⟩$ le sous-groupe de $G$ engendré par $A$ .

Le problème comporte trois parties indépendantes.

Partie A - Sous-groupes finis de $O_n(ℝ)$

Soit

G

un groupe de neutre

e

. On dit que

G

est d'exposant fini si et seulement si :

\existsm \in ℕ^* \forallx \in G x^m = e

De plus, si

G

est un sous-groupe de

GL_n(ℝ)

, on note

trG

la trace du groupe

G

, qui est l'ensemble :

trG = {trA; A \in G}

I - Généralités

Soit

G

un sous-groupe de

GL_n(ℝ)

.
Q1. Montrer que si

G

est fini, alors

G

est d'exposant fini et

trG

est fini.
Q2. Donner un exemple de sous-groupe infini de

GL_n(ℝ)

dont la trace soit finie.
Q3. Donner un exemple (pas nécessairement matriciel) de groupe infini qui soit d'exposant fini.

II - Cas particulier : les sous-groupes finis de $O_2(ℝ)$

Pour tout

θ \in ℝ

, on note

R_θ

S_θ

les matrices :

R_θ = (cosθ, - sinθ; sinθ, cosθ) S_θ = (cosθ, sinθ; sinθ, - cosθ)

On pourra utiliser sans démonstration les relations suivantes, valables pour tout

(θ, φ) \in ℝ^2

R_θ R_φ = R_(θ + φ) R_θ S_φ = S_(θ + φ) S_φ R_θ = S_(φ - θ) S_θ S_φ = R_(θ - φ)

Q4. Soit

A \in SO_2(ℝ)

. Montrer qu'il existe un unique réel

θ \in [0, 2π[

tel que

A = R_θ

Q5.Soit $θ \in ℝ$ . Dans cette question, $G = ⟨R_θ⟩$ .
- a)Vérifier que $G = {R_(kθ); k ∈ ℤ}$ .
- b)Dans le cas où $θ = (2π)/m$ avec $m \in ℕ^*$ , déterminer $|G|$ .
- c)Montrer que $G$ est fini si et seulement si $θ/π \in ℚ$ .
- d)Montrer que si $G$ est d'exposant fini, alors $G$ est fini.
- e)Montrer que si $trG$ est fini, alors $G$ est fini.
Q6.Soient $θ$ et $θ^'$ deux réels. Dans cette question $G = ⟨R_θ, R_(θ^')⟩$ .
- a)Montrer que $|G|=|(θℤ + θ^' ℤ) \cap [0, 2π[|$ .
- b)En déduire, pour $p$ et $q$ deux entiers non nuls premiers entre eux, que $|⟨R_(π/p), R_(π/q)⟩| = 2pq$ .
- c)Déterminer $|⟨R_(π/p), R_(π/q)⟩|$ dans le cas général (où $p$ et $q$ ne sont pas forcément premiers entre eux).
Q7.Soit $G$ un sous-groupe fini de $SO_2(ℝ)$ . Montrer que $G$ est monogène.
Q8.Pour $m \in ℕ^*$ , on note $D_m$ le sous-groupe de $O_2(ℝ)$ engendré par $R_((2π)/m)$ et $S_(π/2)$ .
- a)Déterminer le cardinal de $D_m$ .
  On pourra montrer que $D_m \cap SO_2(ℝ) = ⟨R_((2π)/m)⟩$ , puis chercher une bijection entre $D_m \cap SO_2(ℝ)$ et $D_m∖SO_2(ℝ)$ .
- b)Soit $G$ un sous-groupe fini de $O_2(ℝ)$ qui n'est pas inclus dans $SO_2(ℝ)$ . Montrer qu'il existe $m \in ℕ^*$ tel que $G$ soit isomorphe à $D_m$ .

III - Une caractérisation des sous-groupes finis de $O_n(ℝ)$

Dans cette partie,

G

est un sous-groupe de

O_n(ℝ)

. On désire montrer que :

G fini ⟺ G d'exposant fini ⟺ trG fini

Q9.Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
Q10.On suppose dans cette question que $G$ est d'exposant fini. Montrer, en utilisant le théorème de réduction précédent, que $trG$ est fini.

Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose maintenant que

trG

est fini. On munit

M_n(ℝ)

de son produit scalaire usuel :

(A|B) = trA^⊤B

On note

F

le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

engendré par

G

d = dimF

Q11.Montrer qu'il existe une famille $B = (A_i)_(i \in [ [1, d] ])$ de matrices de $G$ qui forme une base de $F$ .
Q12.Soit $B = ((A_i|A_j))_((i, j) \in [ [1, d] ]^2)$ . On considère la matrice $C$ des coordonnées des matrices $A_i$ dans la base canonique de $M_n(ℝ)$ .
- a)Quelle est la taille de la matrice $C$ ?
- b)Montrer que $B = C^⊤C$ .
- c)Montrer que $B$ et $C$ sont de même rang. En déduire que $B$ est inversible.
Q13.Soit $M \in G$ . On peut décomposer $M$ dans la base $B$ :
$M = \sum_(j = 1)^d x_j A_j$
On note alors $X_M = (x_1; ⋮; x_d)$ et $Y_M = ((A_1|M); ⋮; (A_d|M))$ . Montrer que $X_M = B^(- 1)Y_M$ .
Q14.Montrer que ${Y_M|M ∈ G}$ est un ensemble fini. En déduire que $G$ est fini.

Partie B - Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$

On note

M_(n, 1)(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille

n \times 1

à coefficients dans

ℝ

.
Dans cette partie, on se place dans

M_(n, 1)(ℝ)

, muni de son produit scalaire canonique noté (.|.) et de sa norme associée

‖

‖.Pourr ⩾ 0

, on note

B(0, r)

la boule fermée de centre 0 et de rayon

r

M_(n, 1)(ℝ)

pour cette norme, et

B = B(0, 1)

la boule unité fermée.

I - Quelques propriétés utiles

Soient

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

B \in S_n(ℝ)

.
Q15. On pose, pour

X

Y

dans

M_(n, 1)(ℝ)

⟨X, Y⟩_A = (AX|Y)

Montrer que

⟨., .⟩_A

est un produit scalaire sur

M_(n, 1)(ℝ)

.
On note alors

‖.‖_A

la norme associée à ce produit scalaire et

B_A

la boule unité fermée pour cette norme. Existe-t-il une matrice

A

telle que

B(0, r) = B_A

Q16. Vérifier que

X \mapsto A^(- 1)BX

est autoadjoint pour le produit scalaire

⟨., .⟩_A

. Que peut-on en déduire pour la matrice

A^(- 1)B

Soient

A

B

dans

S_n(ℝ)

. On note

B≼A

si et seulement si pour tout

X \in M_(n, 1)(ℝ), (BX|X) ⩽ (AX|X)

.
Q17. Montrer que

B≼A

si et seulement si

A - B \in S_n^+(ℝ)

.
Q18. Soient

A

B

dans

S_n^(+ +)(ℝ)

. Montrer que

B≼A

si et seulement si le spectre de

A^(- 1)B

est inclus dans ] 0, 1]. Pour la réciproque, on pourra utiliser une base orthonormée pour le produit scalaire

⟨., .⟩_A

bien choisie.

Q19. On suppose toujours que

A

B

sont deux matrices de

S_n^(+ +)(ℝ)

, et que

B≼A

. Montrer que

detB ⩽ detA

, avec égalité si et seulement si

A = B

Q20. Montrer que

B≼A

si et seulement si

B_A \subset B_B

.
Q21. Soit

K

une partie de

S_n^+(ℝ)

. Montrer que

K

est une partie bornée de

S_n^+(ℝ)

si et seulement s'il existe

α \in ℝ_+^*

telle que pour tout

A \in K, A≼αI_n

II - Stricte log-concavité de l'application det

Soit

C

une partie convexe de

M_n(ℝ)

φ : C \to ℝ

une fonction. On dit que

φ

est strictement concave si et seulement si :

\forall(A, B) \in C^2 \forallt \in [0, 1] φ(tA + (1 - t)B) ⩾ tφ(A) + (1 - t)φ(B)

avec égalité si et seulement si

A = B

t = 0

t = 1

.
Q22. Montrer que

S_n^(+ +)(ℝ)

est une partie convexe de

M_n(ℝ)

.
Q23. Montrer que

φ : A \mapsto ln(detA)

est une fonction strictement concave sur

S_n^(+ +)(ℝ)

.
On pourra utiliser le résultat de la question Q16.

III - Groupe orthogonal associé à une matrice symétrique définie positive

À toute matrice

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

on associe son groupe orthogonal :

O(A) = {M ∈ M_n(ℝ); M^⊤AM = A}

Q24. Montrer que

O(A)

est un sous-groupe de

GL_n(ℝ)

, isomorphe à

O_n(ℝ)

.
On pourra montrer qu'il existe une matrice

B

telle que

A = B^⊤B

, et chercher un isomorphisme sous la forme

M \mapsto B^(- 1)MB

Q25. Montrer que

O(A)

est une partie compacte de

M_n(ℝ)

IV - Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$

Dans cette partie,

G

désigne un sous-groupe compact de

GL_n(ℝ)

. On désire montrer que

G

est alors isomorphe à un sous-groupe de

O_n(ℝ)

Q26. Montrer que pour tout

M \in G, |detM| = 1

.
Q27. On pose :

C = {MX; (M, X) \in G \times B}

Montrer que

C

est compact, et que 0 est un point intérieur à

C

.
Q28. Montrer qu'il existe une unique matrice

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

telle que

C \subset B_A

et qui soit de déterminant maximal.
On pourra commencer par montrer que

E = {A ∈ S_n^+(ℝ); C ⊂ B_A}

est non vide, compact et convexe, puis utiliser la question Q23 pour démontrer l'unicité.

Q29. Montrer que

G

est un sous-groupe de

O(A)

Partie C - Croissance du groupe de Heisenberg discret

I - Croissance d'un groupe

Soit

G

un groupe de neutre

e

, engendré par une partie finie

S = {s_i}_(i ∈ [ [1, N] ])

. À tout élément

g \in G - {e}

on associe sa longueur relativement à

S

par :

ℓ_S(g) = min{∑_(i = 1)^k|a_i||g = s_1^(a_1)…s_k^(a_k); s_i ∈ S, a_i ∈ ℤ}

ℓ_S(g)

est le nombre minimal d'éléments de

S

permettant d'obtenir

g

. Par convention, on pose

ℓ_S(e) = 0

. On note alors, pour

p \in ℕ

V_S(p) = {g ∈ G; ℓ_S(g) ⩽ p}

V_S(p)

est l'ensemble des éléments de

G

s'obtenant à partir d'au maximum

p

éléments de

S

.
Nous dirons que

G

est un groupe à croissance polynomiale de degré

d \in ℕ

si et seulement si il existe deux réels strictement positifs

α

β

tels que, pour tout

p ⩾ 1

αp^d ⩽ |V_S(p)| ⩽ βp^d

Q30. Montrer que pour tous

g

h

dans

G, ℓ_S(g^(- 1)) = ℓ_S(g)

ℓ_S(gh) ⩽ ℓ_S(g) + ℓ_S(h)

.
Q31. Soit

Σ

une autre partie finie génératrice de

G

. Montrer qu'il existe deux constantes

C

C^'

strictement positives telle que, pour tout

g \in G

Cℓ_S(g) ⩽ ℓ_Σ(g) ⩽ C^' ℓ_S(g)

En déduire que le fait que

G

soit un groupe à croissance polynomiale de degré

d

ne dépend pas du système

S

de générateurs choisis.

Q32. Soit

p \in ℕ

. Dénombrer le nombre de triplets

(x, y, z) \in ℕ^3

tels que

x + y + z ⩽ p

. En déduire que

(ℤ^3, +)

est un groupe à croissance polynomiale et déterminer son degré.

II - Le groupe de Heisenberg discret

Dans cette partie,

n = 3

. On considère les trois matrices suivantes :

S = (1, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1) T = (1, 1, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) U = (1, 0, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

On note

A = {S, T, U}

ℍ

désigne alors le sous-groupe de

GL_3(ℝ)

engendré par

A

.
Q33. Pour tout

(i, j, k) \in ℤ^3

, calculer

S^i T^j U^k

Q34.Pour $(i, j, k, i^', j^', k^') \in ℤ^6$ , déterminer un triplet $(i^(''), j^(''), k^('')) \in ℤ^3$ tel que :
$S^i T^j U^k S^(i^')T^(j^')U^(k^') = S^(i^(''))T^(j^(''))U^(k^(''))$
Q35.Vérifier que $U$ commute avec tous les éléments de $ℍ$ , et que pour tout $(i, j) \in ℤ^2$ :
$S^i T^j U^(ij) = T^j S^i$
Q36.Le groupe $ℍ$ est-il commutatif? Quel est le groupe engendré $par(S, T)$ ?
Q37.Montrer que l'application $f$ définie par :
$f :, ℤ^3, \to, ℍ; (i, j, k), \mapsto, S^i T^j U^k$
est bien définie et bijective. Est-ce un isomorphisme de groupe (en munissant $ℤ^3$ de sa structure usuelle)? Peut-on munir $ℤ^3$ d'une structure de groupe telle que $f$ soit un isomorphisme?
Q38.Soit $M \in ℍ$ et $p \in ℕ^*$ . Montrer que si $ℓ_A(M) ⩽ p$ , alors il existe $(i, j, k, z) \in ℤ^4$ tels que $M = S^i T^j U^(k + z)$ avec $|i| + |j| + |k| ⩽ p$ et $|z| ⩽ |ij|$ . En déduire que $|V_A(p)| = O(p^4)$ quand $p$ tend vers $+ \infty$ .
On pourra utiliser les résultats de la question Q35.
Q39.Montrer que, pour tout $(i, j, k) \in ℤ^3$ , si $|i| + |j| ⩽ p$ et $|k| ⩽ |ij|$ , alors $ℓ_A(S^i T^j U^k) ⩽ p$ .
Q40.Montrer que :
$card{(i, j, k) ∈ ℕ^3, i + j ⩽ p et k ⩽ ij} ⩾ (p^3)/2∑_(i = 0)^p i/p(1 − i/p)^2$
et déterminer un équivalent de cette dernière quantité quand $p$ tend vers $+ \infty$ .
Q41.En déduire que $ℍ$ est un groupe à croissance polynomiale de degré 4.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP/MPI 2026 ?

Il porte sur la théorie des groupes, la réduction des matrices orthogonales et symétriques, le produit scalaire euclidien et la compacité en dimension finie.

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que le problème comporte trois parties indépendantes.

Qu'est-ce que le groupe de Heisenberg discret étudié dans ce sujet ?

C'est le sous-groupe de GL3(R) engendré par trois matrices triangulaires particulières, dont le sujet montre qu'il est à croissance polynomiale de degré 4.

Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour traiter ce sujet ?

Le théorème de réduction des matrices orthogonales et symétriques, la notion de sous-groupe engendré par une partie, le produit scalaire canonique sur les matrices et la compacité en dimension finie.

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Sur quelques sous-groupes de GL_n(ℝ)

Partie A - Sous-groupes finis de O_n(ℝ)

I - Généralités

II - Cas particulier : les sous-groupes finis de O_2(ℝ)

III - Une caractérisation des sous-groupes finis de O_n(ℝ)

Partie B - Sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)

I - Quelques propriétés utiles

II - Stricte log-concavité de l'application det

III - Groupe orthogonal associé à une matrice symétrique définie positive

IV - Sous-groupes compacts de GL_n(ℝ)

Partie C - Croissance du groupe de Heisenberg discret

I - Croissance d'un groupe

II - Le groupe de Heisenberg discret

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale MP/MPI 2026 ?

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Qu'est-ce que le groupe de Heisenberg discret étudié dans ce sujet ?

Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour traiter ce sujet ?

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Sur quelques sous-groupes de $GL_n(ℝ)$

Partie A - Sous-groupes finis de $O_n(ℝ)$

II - Cas particulier : les sous-groupes finis de $O_2(ℝ)$

III - Une caractérisation des sous-groupes finis de $O_n(ℝ)$

Partie B - Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$

IV - Sous-groupes compacts de $GL_n(ℝ)$