La fonction zêta de Riemann : prolongement analytique et approche géométrique d'une condition de non-annulation
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Le sujet étudie la fonction zêta de Riemann et cherche à établir une condition suffisante pour qu'elle ne s'annule pas sur le demi-plan des complexes de partie réelle strictement supérieure à un demi, ce qui constitue une forme de l'hypothèse de Riemann. Il commence par étudier la fonction zêta réelle et complexe, prolonge son domaine de définition grâce à une famille de fonctions auxiliaires, puis construit une structure préhilbertienne sur ces fonctions pour relier la non-annulation de zêta à la convergence d'une suite de distances.
1Partie A : questions préliminairesOn étudie la convergence et la continuité de la fonction zêta réelle, sa non-annulation pour une partie réelle strictement supérieure à un grâce au produit eulérien, puis on introduit une famille de disques du plan complexe liée à une inégalité géométrique.
2Partie B : étude analytiqueOn calcule la transformée de Mellin de fonctions auxiliaires fk construites à partir de la partie entière, puis on l'utilise pour prolonger la fonction zêta aux complexes de partie réelle strictement positive.
3Partie C : étude algébrique et géométriqueOn munit un espace de fonctions de carré intégrable d'une forme bilinéaire symétrique positive, on montre que la famille des fonctions fk est libre, puis on construit une famille orthonormale et on étudie la convergence de la distance de la fonction constante au sous-espace engendré par ces fonctions.
4Partie D : synthèseOn combine l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les résultats des parties précédentes pour établir que la convergence vers zéro de la suite de distances entraîne la non-annulation de la fonction zêta prolongée sur le demi-plan considéré.
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Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
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On note ⌊x⌋ la partie entière d'un nombre réel x. On rappelle qu'il s'agit de l'unique nombre entier pour lequel l'encadrement suivant est satisfait : ⌊x⌋ ⩽ x < ⌊x⌋ + 1.
Pour s un nombre complexe, on note Re(s) et Im(s) ses parties réelle et imaginaire respectivement.
Le sujet utilise abondamment la lettre grecque ζ (« zeta »). Pour s un nombre réel strictement supérieur à 1, on note :
ζ(s) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^s)
Divers prolongements de cette fonction ζ sont étudiés au cours du sujet.
Pour k un entier supérieur ou égal à 2 , on définit la fonction f_k sur ]0, 1] par :
f_k(t) = 1/k⌊1/t⌋ − ⌊1/(kt)⌋.
Le problème vise à établir une condition suffisante pour que la fonction ζ ne s'annule pas sur l'ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1/2 (cette non annulation étant une forme de l'hypothèse de Riemann), la condition considérée portant sur la géométrie des fonctions f_k dans un espace ad hoc.
Partie A - Questions préliminaires
I - La fonction ζ sur l'intervalle ]1, + ∞[
Pour k entier naturel non nul, on définit u_k(s) = 1/(k^s) sur ℝ.
Q1.La série de fonctions ∑_(k ⩾ 1)u_k converge-t-elle normalement sur l'intervalle ]1, + ∞[ ?
Q2.Montrer que la fonction s ↦ ζ(s) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^s) est continue sur l'intervalle ]1, + ∞[.
Q3.Montrer que la fonction ζ ne s'annule pas sur l'intervalle ]1, + ∞[. Préciser son signe.
II - Cas de la variable complexe
Q4.Soit s un nombre complexe et t un nombre réel strictement positif. On note t^s = e^(sln(t)). Exprimer le module |t^s| à l'aide de t et du couple (Re(s), Im(s)).
Soit s un nombre complexe tel que Re(s) > 1.
Q5.Établir que la série ∑_(k ⩾ 1)1/(k^s) converge absolument.
On note encore ζ(s) la somme de cette série : ζ(s) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^s).
On note (p_i)_(i ⩾ 1) la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant. Ainsi, p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7. On utilisera librement le fait que lim_n p_n = + ∞.
Q6.Soit n un entier naturel non nul. Justifier que la famille (1/((p_1^(m_1)⋯p_n^(m_n))^s))_((m_1, …, m_n) ∈ ℕ^n) est une famille sommable et que la somme de cette famille, notée S_n(s), est donnée par S_n(s) = ∏_(i = 1)^n 1/(1 − 1/(p_i^s)).
Pour n entier naturel non nul, on note ℕ_n l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la factorisation en nombres premiers ne fait intervenir que les nombres p_1, …, p_n.
Q7.En considérant la somme ∑_(k ∈ ℕ_n)1/(k^s), exprimer la limite de S_n(s) lorsque n tend vers + ∞ à l'aide d'une valeur de la fonction ζ.
On note x la partie réelle du nombre s. On rappelle qu'on travaille sous l'hypothèse x > 1.
Q8.Déterminer la nature de la série ∑_i 1/(p_i^x). On pourra justifier et exploiter la convergence de la suite (S_n(x))_n.
On note a_n = ∏_(i = 1)^n(p_i^x)/(p_i^x + 1).
Q9.Montrer que la suite (a_n)_n converge et que sa limite est un réel strictement positif. On considérera la suite de terme général ln(a_n).
Q10.Pour tout n ⩾ 1, établir l'inégalité |S_n(s)| ⩾ a_n et en déduire que le nombre ζ(s) est non nul.
III - Un calcul d'intégrale
Dans cette question, la lettre s désigne un nombre complexe tel que Re(s) > 1/2.
Q11.Établir que la fonction t ↦ t^(2(s − 1)) est intégrable sur ]0, 1], puis calculer l'intégrale ∫_0^1|t^(s − 1)|^2 dt.
IV - Une étude géométrique
Pour tout nombre réel d dans l'intervalle ]0,1[, on considère Δ_d l'ensemble des points M du plan complexe dont l'affixe s satisfait l'inégalité d^2|s|^2 ⩾ 2Re(s) − 1.
Q12.Soit d ∈ ]0, 1[. Montrer que Δ_d est égal au complémentaire dans le plan complexe d'un disque D_d dont on précisera le centre O_d et le rayon R_d en fonction de d.
Q13.Pour d ∈ ]0, 1[, on pose g(d) = 1/(d^2) − (√(1 − d^2))/(d^2). Déterminer l'image par la fonction g de l'intervalle ]0, 1[. On pourra procéder par étude des variations.
Q14.Déterminer l'intersection ⋂_(d ∈ ]0, 1[)Δ_d.
Partie B - Étude analytique
I - Transformée de Mellin des fonctions f_k
Soit k un entier supérieur ou égal à 2 . On rappelle l'expression :
f_k(t) = 1/k⌊1/t⌋ − ⌊1/(kt)⌋.
Q15.Calculer f_k(1/i) pour i entier compris entre 1 et k.
Q16.Pour t dans l'intervalle ]0, 1 ], établir l'encadrement : 0 ⩽ f_k(t) ⩽ (k − 1)/k.
On pourra commencer en utilisant la définition de la partie entière ⌊1/(kt)⌋, dont on déduira un encadrement de 1/t qu'on interprétera au vu de la définition de ⌊1/t⌋.
Q17. Déduire des deux questions précédentes l'ensemble des valeurs prises par f_k sur l'intervalle ]0, 1 ].
Q18. Justifier que la fonction f_k est continue par morceaux et intégrable sur ] 0,1].
Dans les questions suivantes, s désigne un nombre réel strictement supérieur à 1.
Q19. Dans cette question uniquement, on élargit l'étude au cas k = 1 (et donc k est un entier naturel non nul). Montrer que l'intégrale ∫_0^1⌊1/(kt)⌋t^(s − 1) dt converge.
Soit s un nombre réel strictement positif.
Q22. Soit k un entier naturel non nul. On considère la fonction h sur ]0, + ∞[ définie par h(t) = 1/(t^s). Déterminer le maximum de |h^′(t)| sur le segment [k, k + 1].
Q23. Montrer que la série ∑_(k ⩾ 1)∫_k^(k + 1)(1/(k^s) − 1/(t^s))dt est une série à termes positifs convergente et que sa somme G(s) vérifie :
0 ⩽ G(s) ⩽ sζ(s + 1).
Q24. Dans cette question, on suppose s > 1. Établir l'égalité :
ζ(s) − G(s) = 1/(s − 1)
puis l'estimation asymptotique ζ(s) = 1/(s − 1) + O(1) lorsque s tend vers 1 par valeurs supérieures.
On admet que les résultats de cette partie se généralisent, au prix de quelques menues adaptations, au cas où s est un nombre complexe de partie réelle strictement positive. On peut alors définir ζ(s) pour s un nombre complexe distinct de 1 dont la partie réelle satisfait 0 < Re(s) ⩽ 1 par
ζ(s) = 1/(s − 1) + G(s).
III - Intégrale des fonctions f_k
Q25. Montrer que ∫_0^1 f_k(t)t^(s − 1) dt tend vers ∫_0^1 f_k(t)dt lorsque s tend vers 1 par valeurs réelles strictement supérieures.
Q26. En utilisant la question précédente et les questions Q21 et Q24, établir l'égalité :
∫_0^1 f_k(t)dt = (ln(k))/k.
Partie C - Étude algébrique et géométrique
On note E l'espace des fonctions continues par morceaux sur ]0, 1] et à valeurs réelles. On définit en outre le sousensemble L^2 des fonctions f de E telles que l'intégrale ∫_0^1 f(t)^2 dt converge.
I - Une forme bilinéaire symétrique positive
Q27.On considère des fonctions continues par morceaux sur ]0,1], sans qu'il soit besoin de le spécifier à chaque fois. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie en justifiant complètement :
a)toute fonction bornée sur ]0,1] appartient à L^2;
b)les ensembles E et L^2 sont égaux;
c)toute fonction intégrable sur [0,1] appartient à L^2.
Q28.Pour f et g dans l'ensemble L^2, montrer que l'intégrale ∫_0^1 f(t)g(t)dt converge absolument, puis établir que l'ensemble L^2 est un sous-espace vectoriel de E (là encore, on ne demande pas de relever le caractère continu par morceaux des fonctions considérées).
On pourra établir et utiliser l'inégalité |f(t)g(t)| ⩽ 1/2(f(t)^2 + g(t)^2).
Q29.Vérifier qu'on définit une forme bilinéaire symétrique positive sur L^2 en posant : (f|g) = ∫_0^1 f(t)g(t)dt
Justifier que ce n'est pas un produit scalaire sur L^2, en fournissant un contre-exemple à l'aspect « défini ».
II - Un espace préhilbertien réel
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Soit (λ_k)_(2 ⩽ k ⩽ n) une famille de nombres réels tels que :
∑_(k = 2)^n λ_k f_k = 0 sur ]0, 1].
Q30. En évaluant la relation précédente pour t ∈ ]1/2, 1], établir l'égalité ∑_(k = 2)^n(λ_k)/k = 0.
Q31.Soit ℓ un entier compris entre 2 et n − 1. En évaluant en un nombre t bien choisi, établir l'égalité : ∑_(k = ℓ + 1)^n λ_k ℓ/k + ∑_(k = 2)^(ℓ − 1)λ_k(ℓ/k − ⌊ℓ/k⌋) = 0
Dans le cas ℓ = 2, la deuxième somme étant indicée pour k allant de 2 à 2 − 1, on la considère vide, donc nulle.
Q32.Montrer l'égalité λ_2 = 0 en combinant le résultat de Q30 et celui de Q31 pour ℓ = 2, puis montrer que tous les scalaires λ_k sont nuls. Quelle propriété de la famille (f_k)_(k ⩾ 2) a-t-on ainsi établie?
On considère maintenant le sous-espace F de L^2 engendré par les fonctions f_k pour k ⩾ 2, et la fonction constante égale à 1, qu'on note 1.
Q33. Montrer que (.|.) (voir notation Q29) définit un produit scalaire sur F.
III - Distance d'un vecteur à des sous-espaces
On rappelle que 1 désigne la fonction constante égale à 1 . On travaille dans l'espace F = Vect(1, f_2, …, f_n, …) muni du produit scalaire (.|.) (selon Q29 et Q33).
Q34.Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . Montrer l'existence d'une unique famille orthonormale (e_k)_(2 ⩽ k ⩽ n) d'éléments de L^2 telle que pour chaque entier p compris entre 2 et n, les sous-espaces engendrés Vect(e_2, …, e_p) et Vect (f_2, …, f_p) sont égaux, et (e_p|f_p) > 0.
Pour n ⩾ 2 entier, on note d_n la distance de la fonction 1 au sous-espace engendré par (f_2, …, f_n).
Q35. Montrer l'égalité :
d_n^2 = 1 − ∑_(k = 2)^n(1|e_k)^2
Q36. Montrer que la suite (d_n)_n converge.
Partie D - Synthèse
On admet que l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'étend aux fonctions continues par morceaux sur ]0,1] de carré intégrable, dans le cas de fonctions à valeurs complexes, sous la forme suivante (les fonctions f et g ci-dessous sont donc supposées vérifier les conditions précédentes, en particulier, f^2 et g^2 sont supposées intégrables sur ]0, 1] ) :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Q37. Soit (λ_k)_(2 ⩽ k ⩽ n) une famille de nombres réels. Soit s un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1/2. Justifier l'inégalité :
On souhaite maintenant démontrer que, si la suite (d_n)_n admet pour limite 0, alors la fonction ζ, prolongée selon la Partie BII, ne s'annule en aucun nombre complexe s tel que Re(s) > 1/2. Pour cela, on procède par l'absurde, et on suppose que s est un nombre complexe distinct de 1 tel que Re(s) > 1/2 et ζ(s) = 0. On admet que l'égalité Q21 est encore vraie pour tout nombre complexe s distinct de 1 , de partie réelle strictement positive.
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