WikiPrépaLivrets

E3A Mathématiques A MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours E3A

Explorer les annales

BanqueE3AAnnée2008FilièreMPMatièreMathématiques
Annales E3A MP MathématiquesE3A MP 2008MP MathématiquesMathématiques 2008

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Questions de cours et exemples.

Soit E un ℝ - espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.
  1. Donner la définition d'un polynôme annulateur de f.
  2. Quelle est la structure de l'ensemble J_f des polynômes annulateurs de f ?
  3. Donner la définition du polynôme minimal de f que l'on notera π_f.
  4. Prouver l'existence de π_f.
  5. Un premier exemple.
Soit f l'endomorphisme de ℝ^4 de matrice canoniquement associée :
M = (m_(ij)) où ∀(i, j) ∈ {1, …, 4} × {1, …, 4}, m_(ij) = 1/4(1 + (− 1)^(i + j)).
5.1. Calculer M^k pour k ∈ ℕ^∗.
5.2. Déterminer π_f.
6. Un second exemple.
6.1. Chercher les solutions à valeurs réelles des équations différentielles :
y^(′′) + y = ch(x) et y^(′′) + y = sh(x)
où ch et sh sont respectivement les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.
6.2. On considère (H_1) l'équation différentielle : y^((4)) = y.
Soit f une fonction de classe C^4 sur ℝ.
Démontrer que f est solution de (H_1) si et seulement si la fonction g = f^(′′) + f est solution d'une équation différentielle du second ordre ( H_2 ) que l'on déterminera.
6.3. Résoudre l'équation (H_2).
6.4. En déduire les solutions de ( H_1 ).
6.5. On note alors E le sous-espace vectoriel du ℝ - espace vectoriel des applications de classe C^∞ sur ℝ à valeurs réelles engendré par ( cos, sin, ch, sh ).
6.5.1. Quelle est la dimension de E ?
6.5.2. Justifier que la dérivation induit sur E un endomorphisme δ.
6.5.3. Déterminer le polynôme minimal π_δ de E.

Problème.

Dans tout le problème, E = ℝ[X] et L(E) désigne l'algèbre des endomorphismes de E muni de ses opérations usuelles. Soit n ∈ ℕ^∗. L'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n sera noté E_n = ℝ_n[X].
L'endomorphisme identité de E est noté e, l'endomorphisme nul θ. Lorsque l'on est dans l'espace vectoriel normé E_n, on notera respectivement ces endomorphismes e_n et θ_n.
On rappelle que si f est un endomorphisme de E, f^0 = e et
∀m ∈ ℕ^∗, f^m = fof^(m − 1).
Lorsque f est un endomorphisme de E_n, on note χ_f son polynôme caractéristique.
Soient u : P ∈ E ↦ u(P) = P^′ où P^′ désigne le polynôme dérivé de P, et
v : P ∈ E ↦ v(P) = R où R(X) = P(X + 1).

Partie 1: Quelques propriétés des endomorphismes u et v.

  1. Rappeler la dimension de E_n. En donner une base usuelle.
  2. Montrer que u et v sont des endomorphismes de E qui laissent stable E_n.
On note alors u_n et v_n les endomorphismes induits par restriction de u et de v à E_n.
3. Ecrire les matrices U_n et V_n de u_n et v_n dans la base canonique de E_n.
4. Préciser le noyau et l'image de chacun de ces endomorphismes.
5. Les endomorphismes u_n et v_n commutent-ils?
6. Quel est le polynôme caractéristique de u_n ? u_n est-il diagonalisable?
7. Quel est le polynôme caractéristique de v_n ? v_n est-il diagonalisable ?
8. On note w_n = v_n − e_n et on pose :
Q_0 = 1, ∀k ∈ {1, …, n}, Q_k = 1/(k!)∏_(j = 0)^(k − 1)(X − j).
8.1. Vérifier que la famille B = (Q_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) est une base de E_n.
8.2. Déterminer w_n(Q_0).
Montrer que pour tout k ⩾ 1, il existe un réel α_k non nul, tel que :
w_n(Q_k) = α_k Q_(k − 1).
8.3. Ecrire la matrice W_n de w_n dans la base B.
8.4. Donner une base de Ker(w_n) ainsi que de Im(w_n).
8.5. Calculer, pour j ∈ ℕ et k ∈ {0, …, n}, w_n^j(Q_k).
On rappelle que w_n^j = w_n ow_n o…ow_n_()_(j facteurs).
9. Détermination des composantes d'un polynôme de E_n dans la base B.
9.1. Soit P ∈ E_n.
Justifier l'existence et l'unicité de scalaires (β_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) tels que : P = ∑_(k = 0)^n β_k Q_k.
9.2. Calculer w_n^j(P)(0) pour j ∈ ℕ.
9.3. Exprimer alors les composantes de P dans la base B.
9.4. Déterminer la base duale de la base B.
10. Calculer w_n^(n + 1) et w_n^n(Q_n).

Partie 2 : Recherche de quelques polynômes minimaux.

  1. Soit f ∈ L(E_n). Justifier que π_f divise χ_f.
  2. Recherche de π_(u_n).
    2.1. Déterminer u_n^(n + 1).
    2.2. Calculer : u_n^n(X^n).
    2.3. Conclure.
    2.4. De même, déterminer le polynôme minimal de w_n.
  3. Recherche de π_(v_n).
    3.1. Montrer qu'il existe m ∈ {1, …, n + 1} tel que π_(v_n) = (X − 1)^m.
    3.2. Prouver que : m = n + 1.
  4. Polynômes annulateurs de u.
Soit P un polynôme de degré m ∈ ℕ écrit : P = ∑_(j = 0)^m a_j X^j.
4.1. Que sait-on de a_m ?
4.2. On note r l'endomorphisme P(u). Déterminer r((X^m)/(m!)).
4.3. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de u.
5. Polynômes annulateurs de v.
Soit P un polynôme non nul annulateur de v.
5.1. Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, (X − 1)^(n + 1) divise P.
5.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de v.
6. Soit s l'endomorphisme de E qui à tout polynôme P associe le polynôme Q défini par :
Q(X) = P(1 − X)
6.1. Vérifier que s est une involution de E.
6.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de s.

Partie 3.

Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel normé E_n. On rappelle que :
exp(f) = ∑_(m = 0)^(+ ∞)(f^m)/(m!) = lim_(N → + ∞)∑_(m = 0)^N(f^m)/(m!)
  1. Montrer que l'on a la relation : v_n = exp(u_n).
  2. On va démontrer dans cette question que : u_n = ∑_(m = 1)^(+ ∞)((− 1)^(m + 1))/m(v_n − e_n)^m.
    2.1. Prouver que :
∀k ∈ {0, …, n}, u_n(Q_k) = ∑_(m = 0)^k u_n(Q_m)(0)Q_(k − m).
On pourra utiliser la question 9.3. de la partie 1.
2.2. Calculer pour tout m ∈ {0, …, n}, u_n(Q_m)(0).
2.3. Conclure.
Fin du problème

Pas de description pour le moment