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Centrale Mathématiques 1 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Valeurs propres d'un opérateur de Sturm-Liouville périodique : y ↦ -y'' + qy sur les fonctions impaires 2π-périodiques
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Le sujet de Mathématiques I MP de Centrale-Supélec 2008 démontre, avec les outils du programme MP, un résultat classique relatif aux opérateurs compacts. Il étudie par plusieurs méthodes les valeurs propres de l'application Q : y ↦ -y'' + qy sur les fonctions impaires 2π-périodiques : approximation en dimension finie par projection sur les premiers sinus, méthode de relèvement angulaire, puis convergence et comportement asymptotique des valeurs propres.

  1. 1Partie I : quelques résultats générauxThéorème de Cauchy-Lipschitz et parité des solutions, wronskien et dimension des sous-espaces propres, valeurs propres des opérateurs à coefficient constant et encadrement de (f | Q(f)).
  2. 2Partie II : problème approché de dimension finieProjection orthogonale sur les n premiers sinus, endomorphisme symétrique approché et encadrement de ses valeurs propres, qui convergent vers des limites situées dans des intervalles explicites.
  3. 3Partie III : une suite de valeurs propres de QRelèvement en coordonnées polaires des solutions, équation différentielle vérifiée par l'angle, estimations asymptotiques et construction de valeurs propres.
  4. 4Partie IV : valeurs propres de QLes limites obtenues en partie II sont exactement les valeurs propres de Q, associées à une famille orthonormale totale de vecteurs propres.
  5. 5Partie V : comportement asymptotiqueEncadrement de la valeur moyenne de q et développement asymptotique de la k-ième valeur propre.

Difficile. Le jury qualifie les résultats d'assez décevants dans l'ensemble, et la partie IV n'a été traitée au-delà de ses premières questions que dans quelques copies exceptionnelles.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de Cauchy-Lipschitz mal énoncé · Wronskien et lecture de l'énoncé · Équation à coefficients constants mal résolue
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Les résultats sont jugés assez décevants, malgré quelques copies remarquables. Les questions de cours sont imparfaitement connues, les hypothèses des théorèmes souvent ignorées et les raisonnements restent flous. Le jury critique aussi la rédaction, l'orthographe du vocabulaire mathématique et la présentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de Cauchy-Lipschitz mal énoncéI.A.1 et III.A.1

    Confusion entre équations d'ordre 1 et 2 et cas linéaire, hypothèses floues ; beaucoup pensent que la seule condition y(0) = 0 suffit et escamotent l'équivalence demandée.

    « de nombreux candidats ne semblent pas savoir qu’un théorème possède des hypothèses »
  2. 2
    Wronskien et lecture de l'énoncéI.A.2

    Le wronskien est mal connu et certains oublient que les vecteurs propres sont cherchés parmi les fonctions impaires.

  3. 3
    Équation à coefficients constants mal résolueI.B.1

    La résolution de y'' + αy = 0 est souvent fausse, et la périodicité des solutions est affirmée sans preuve, les constantes étant même jugées non périodiques.

    « Le résultat le plus calamiteux est la résolution de l’équation différentielle à coefficients constants »
  4. 4
    Arguments d'algèbre linéaire absentsII.A.1 et II.B.2

    L'existence de la projection vient de la dimension finie du sous-espace, rarement évoquée ; une intersection non vide ne contient pas forcément de vecteur unitaire.

    « le complémentaire d’un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel, n’est pas un sous-espace vectoriel »
  5. 5
    Calculs inutiles faute de reculII.A.2, II.A.3 et II.B.2

    Peu de candidats voient que la projection laisse invariantes les fonctions du sous-espace, ce qui rendait plusieurs questions immédiates.

  6. 6
    Inégalités et ordres de grandeurIII.B et V

    Beaucoup de maladresses dans les inégalités de III.B.1, et III.B.2 presque jamais juste ; la partie V, abordée par presque tous, n'a quasiment rien rapporté.

Ce qui a été bien réussi

  • Quelques candidats ont utilisé la formule de Grassmann en II.B.2 et ont ainsi résolu entièrement la question.
  • Quelques candidats ont exploité le caractère C1 de q par une intégration par parties en III.B.

Conseils du jury

  • Lire attentivement l'énoncé et garder en tête les hypothèses tout au long de l'épreuve, par exemple la définition de l'espace des fonctions impaires 2π-périodiques de classe C2.
  • Connaître précisément les énoncés importants du cours, hypothèses comprises.
  • Savoir mener un calcul et adopter des stratégies simples pour répondre.
  • Soigner la rédaction, l'orthographe et la présentation matérielle de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Dans tout ce problème C_(2π) désigne l'espace vectoriel des fonctions continues, 2π-périodiques de R dans R muni du produit scalaire défini par :
(f|g) = 1/π∫_0^(2π)f(x)g(x)dx
dont la norme associée est notée ‖‖_2. Le choix du facteur 1/π dans la définition du produit scalaire (contrairement à 1/(2π) habituellement) s'impose par la nécessité de rendre les fonctions c_k : x ↦ cos(kx) et s_k : x ↦ sin(kx) unitaires pour k ∈ N^∗. Les coefficients de Fourier trigonométriques d'une fonction f de C_(2π) sont, comme d'habitude, a_n(f) = (f|c_n) et b_n(f) = (f|s_n) pour n ∈ N^∗ et a_0(f) = (f|1) où 1 est la fonction constante x ↦ 1.
La formule de Parseval pour f ∈ C_(2π) prend la forme :
‖f‖_2^2 = (a_0(f)^2)/2 + ∑_(n = 1)^∞a_n(f)^2 + b_n(f)^2
E est le sous-espace de C_(2π) constitué des fonctions impaires et E_2 le sous-espace de E des fonctions de classe C^2.
Une valeur propre d'une application linéaire T de E_2 dans E (attention T n'est pas un endomorphisme) est, par définition, un réel λ tel qu'existe un élément f de E_2 − {0} vérifiant T(f) = λf.
On définit de même la notion de vecteur propre et de sous-espace propre de T.
On fixe une fonction q de classe C^1, paire, 2π-périodique et non constante de R dans R. On sait, dans ces conditions, que la fonction q est bornée et on pose :
a = inf{q(x)/x ∈ R}, b = sup{q(x)/x ∈ R} et ‖q‖_∞ = sup{|q(x)|/x ∈ R}
On considère alors les applications linéaires de E_2 dans E définies par :
A : y ↦ − y^(′′) + ay B : y ↦ − y^(′′) + by Q : y ↦ − y^(′′) + qy
On pourra utiliser, sans démonstration, le résultat suivant :
≪ Soit, pour chaque entier naturel non nul n, (x_(k, n))_(1 ⩽ k ⩽ n) une suite de n nombres réels. On suppose :
  1. pour tout entier k ⩾ 1, la suite (x_(k, n))_(n ⩾ k) est convergente et on note:
lim_(n → ∞)x_(k, n) = x_k
  1. il existe une suite (ξ_k)_(k ⩾ 1) de nombres réels positifs telle que la série de terme général ξ_k converge et :
∀k ⩾ 1, ∀n ⩾ k, |x_(k, n)| ⩽ ξ_k
Alors la série de terme général x_k converge absolument et : lim_(n → ∞)∑_(k = 1)^n x_(k, n) = ∑_(k = 1)^∞x_k≫.
Enfin on dit qu'une famille orthonormale (e_k)_k ⩾ 1 de vecteurs de E est totale dans E si 0 est le seul vecteur de E orthogonal à tous les e_k.
L'objectif du problème est l'étude, par diverses méthodes, des valeurs propres de Q. On peut traiter une question du problème sans avoir résolu les précédentes à condition d'en admettre clairement les résultats.

Partie I - Quelques résultats généraux

I.A - Dans cette section I.A, λ désigne un nombre réel fixé et on considère l'équation différentielle d'inconnue y :
(E_λ) : y^(′′) + (λ − q)y = 0
I.A.1) Énoncer précisément le théorème de Cauchy-Lipschitz adapté à l'équation ( E_λ ) et exploiter l'unicité pour prouver qu'une solution y de (E_λ) est impaire si et seulement si y(0) = 0.
I.A.2) Prouver, par exemple à l'aide du wronskien, que ( E_λ ) ne peut admettre une base de solutions de même parité. En déduire la dimension d'un sous-espace propre de Q.
I.B -
I.B.1) Déterminer les valeurs propres de A et B et, pour chacune d'entre elles, un vecteur propre unitaire associé.
I.B.2) Démontrer, pour tout f ∈ E_2, les inégalités suivantes :
(f|A(f)) ⩽ (f|Q(f)) ⩽ (f|B(f))

Partie II-Problème approché de dimension finie

II.A - Dans toute la suite du problème on note V_n le sous-espace de E_2 engendré par la famille orthonormale (s_k)_(1 ⩽ k ⩽ n) (on posera V_0 = {0} ) et Π_n ∈ L(E) la projection orthogonale de E sur V_n. Si T est une application linéaire de E_2 dans E et n ∈ N^∗, on conviendra de noter T_n l'endomorphisme de V_n défini par f ↦ Π_n ∘ T(f).
II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demandées : justifier l'existence de Π_n. Que représente Π_n(f) relativement à la série de Fourier de f ? Que valent lim_(n → ∞)‖Π_n(f)‖_2 et lim_(n → ∞)‖f − Π_n(f)‖_2 ?
II.A.2) Démontrer, pour tout couple (f, g) ∈ E^2, la relation (f|Π_n(g)) = (Π_n(f)|g).
II.A.3) Établir, pour tout couple (f, g) ∈ E_2^2, que (f|Q(g)) = (Q(f)|g). En déduire que Q_n est un endomorphisme symétrique de V_n.
II.B - Dans la suite on notera λ_(1, n) ⩽ λ_(2, n) ⩽ ⋯ ⩽ λ_(n, n) le système des valeurs propres de Q_n rangées par ordre croissant (chaque valeur propre apparaît donc dans la liste autant de fois que sa multiplicité l'exige) et (e) = (e_(1, n), e_(2, n), …, e_(n, n)) une base orthonormée de V_n telle que, pour chaque indice k ∈ {1, 2, …, n}, e_(k, n) est un vecteur propre de Q_n associé à la valeur propre λ_(k, n).
II.B.1) À l'aide de la question I.B.2), démontrer, pour tout f ∈ V_n, les inégalités :
(f|A_n(f)) ⩽ (f|Q_n(f)) ⩽ (f|B_n(f))
II.B.2)
a) Déduire de la question I.B. 1 les valeurs propres des endomorphismes A_n et B_n classées par ordre croissant.
b) Soit k ∈ {1, 2, …, n}; montrer qu'il existe un vecteur unitaire f appartenant à V_k ∩ Vect(e_(k, n), e_(k + 1, n), …, e_(n, n)) puis que λ_(k, n) ⩽ (f|Q(f)) ⩽ (f|B(f)) ⩽ k^2 + b. Prouver de manière analogue l'inégalité k^2 + a ⩽ λ_(k, n).
c) Dans cette question, on suppose n ⩾ 2. Démontrer que, pour tout élément f de V_(n − 1), (f|Q_n(f)) = (f|Q_(n − 1)(f)). En déduire, en utilisant une méthode analogue à celle suggérée dans la question précédente, que si 1 ⩽ k ⩽ n − 1 alors λ_(k, n − 1) ⩾ λ_(k, n).
II.C - On pose, dans la suite du problème, I_k = [k^2 + a, k^2 + b]. Prouver que, si k ∈ N^∗, la suite (λ_(k, n))_(n ⩾ k) converge vers une limite λ_k élément de l'intervalle I_k et que la suite (λ_k)_(k ⩾ 1) est croissante.

Partie III-Une suite de valeurs propres de Q

Dans cette partie III seulement on suppose le réel λ strictement positif. On considère les problèmes de Cauchy suivants :
  • (E_λ) : y^(′′) + (λ − q)y = 0
    d'inconnue y avec les conditions initiales y(0) = 0 et y^′(0) = √λ.
  • (T_λ) : θ^′ = √λ − q/(√λ)sin^2 θ = √λ − q/(2√λ)(1 − cos(2θ))
    d'inconnue θ avec la condition initiale θ(0) = 0.

III.A -

III.A.1) Soit y_λ la solution maximale de ( E_λ ).
Prouver qu'existent deux fonctions r_λ et θ_λ, de classe C^1 sur R telles que :
r_λ > 0, (y_λ^′)/(√λ) = r_λ cosθ_λ, y_λ = r_λ sinθ_λ, θ_λ(0) = 0
III.A.2) Prouver que θ_λ est l'unique solution maximale de ( T_λ ).
Dans la suite de cette partie on posera pour tout couple (λ, x) ∈ ]0, + ∞[ × R :
θ(λ, x) = θ_λ(x)
III.A.3) Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont les coefficients dépendent de la fonction θ, satisfaite par r_λ.
III.B - On admet que la fonction λ ↦ θ(λ, 2π) est continue sur ]0, + ∞[.
III.B.1) Prouver, pour tout t ⩾ 0, les inégalités :
|θ(λ, t) − √λt| ⩽ (‖q‖_∞t)/(√λ) puis |cos(2θ(λ, t)) − cos(2√λt)| ⩽ (2‖q‖_∞t)/(√λ)
III.B.2) Prouver l'existence d'une constante K telle que :
|θ(λ, 2π) − 2π√λ + 1/(2√λ)∫_0^(2π)q(t)dt − 1/(2√λ)∫_0^(2π)q(t)cos(2√λt)dt| ⩽ K/λ
III.B.3) Montrer que, quand λ est au voisinage de + ∞ :
θ(λ, 2π) = 2π√λ[1 − 1/(4πλ)∫_0^(2π)q(t)dt + o(1/λ)]
III.B.4)
a) Prouver l'existence d'un entier naturel k_0 > 0 et d'une suite (μ_k)_(k ⩾ k_0), strictement croissante de réels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel k ⩾ k_0, on ait θ(μ_k, 2π) = 2kπ.
b) Montrer que lim_(k → ∞)(μ_k − k^2) = 1/(2π)∫_0^(2π)q(t)dt.
III.C - Dans cette section III.C on suppose que le réel λ > 0 vérifie la relation θ(λ, 2π) = 2kπ où k ∈ N^∗ et on se propose de prouver que λ est valeur propre de Q. III.C.1) Démontrer que pour tout x ∈ R :
θ(λ, − x) = − θ(λ, x) et θ(λ, 2π + x) − 2kπ = θ(λ, x)
III.C.2) Prouver que si u est une fonction continue, impaire et 2π-périodique alors la fonction x ↦ exp[∫_0^x u(t)dt] est 2π-périodique. En déduire que r_λ est 2π périodique.
III.C.3) Prouver que y_λ est 2π-périodique et impaire et conclure.
III.C.4) Que représentent les réels μ_k définis dans la question III.B.4) pour l'application linéraire Q ?

Partie IV - Valeurs propres de Q

On se propose, dans cette partie, d'établir que les λ_k définis dans la partie II sont les valeurs propres de Q associées à un système orthonormal total de vecteurs propres.
IV.A - Dans cette section IV.A on considère une suite réelle (α_n)_(n ⩾ 1) telle que, pour tout n ⩾ 1, α_n soit une valeur propre de Q_n. On suppose que la suite (α_n)_(n ⩾ 1) est convergente et on note α sa limite. Pour tout entier n ⩾ 1, on note y_n ∈ V_n un vecteur propre de Q_n associé à la valeur propre α_n On veut prouver que α est une valeur propre de Q.
IV.A.1)
a) Montrer que, pour tout entier n ⩾ 1, on peut prendre y_n unitaire et tel que y_n^′(0) ⩾ 0. Cette condition sera supposée remplie dans la suite de cette partie.
b) Démontrer que Q_n(y_n) = − y_n^(′′) + Π_n(qy_n). En déduire que :
‖Q(y_n) − α_n y_n‖_2 = ‖qy_n − Π_n(qy_n)‖_2 dont on se propose de prouver la convergence vers 0 quand n → ∞.
c) Établir la relation :
qy_n − Π_n(qy_n) = ∑_(m = 1)^n b_m(y_n)[qs_m − Π_n(qs_m)].
d) Pour 1 ⩽ m ⩽ n, on pose r_(m, n) = ‖qs_m − Π_n(qs_m)‖_2. Établir les inégalités :
‖Q(y_n) − α_n y_n‖_2 ⩽ ∑_(m = 1)^n|b_m(y_n)|r_(m, n) et r_(m, n) ⩽ ‖qs_m‖_2 ⩽ ‖q‖_2.
e) Prouver, pour 1 ⩽ m ⩽ n, la relation :
m^2 b_m(y_n) + b_m(qy_n) − α_n b_m(y_n) = 0.
f) Prouver, pour 1 ⩽ m ⩽ n, les inégalités :
|b_m(y_n)| ⩽ 1 et m^2|b_m(y_n)| ⩽ [‖q‖_2 + sup{|α_n|/n ∈ N^∗}] qui sera noté C.
g) Déduire du résultat admis dans le préliminaire que lim_(n → ∞)‖Q(y_n) − α_n y_n‖_2 = 0.
IV.A.2) On note (u, v) la base de solutions de l'équation y^(′′) + (α − q)y = 0 telle que:
u(0) = 1, u^′(0) = 0, v(0) = 0, v^′(0) = 1
et on pose z_n = Q(y_n) − αy_n ∈ E.
a) Prouver que lim_(n → ∞)‖z_n‖_2 = 0.
b) Prouver que le wronskien de ( u, v ) vaut constamment 1 .
c) En résolvant une équation différentielle, déterminer en fonction de u et v une fonction K : R^2 → R, continue et telle que, pour tout x ∈ R :
y_n(x) = y_n^′(0)v(x) + ∫_0^x K(x, t)z_n(t)dt
d) Pour tout entier naturel n, on note f_n la fonction de R dans R définie par :
∀x ∈ ℝ, f_n(x) = ∫_0^x K(x, t)z_n(t)dt.
Prouver que la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) tend uniformément vers 0 sur tout segment de R.
e) Prouver que lim_(n → ∞)√(∫_0^(2π)(y_n(x) − y_n^′(0)v(x))^2 dx) = 0. En déduire la limite de la suite (y_n^′(0))_(n ⩾ 1).
f) Établir la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite de fonctions (y_n)_(n ⩾ 1) vers une fonction de norme 1 que l'on déterminera en fonction de v. En déduire que v ∈ E et que α est une valeur propre de Q.
IV.B - On reprend maintenant les fonctions (e_(k, n))_(1 ⩽ k ⩽ n) définies à la section II.B en imposant de surcroît e_(k, n)^′(0) ⩾ 0. La section IV.A a établi, pour tout k ⩾ 1, la convergence uniforme sur tout segment de R de la suite (e_(k, n))_(n ⩾ k) vers un élément de E unitaire noté e_k qui est un vecteur propre de Q pour la valeur propre λ_k.
IV.B.1) Prouver que la famille (e_k)_k ⩾ 1 est orthonormale; en déduire que la suite (λ_k)_(k ⩾ 1) est strictement croissante.
IV.B.2) Soit m ∈ N^∗ et n ⩾ m
a) Prouver, à l'aide de la relation (1) convenablement adaptée que, pour tout k ∈ N^∗ tel que k ⩽ n et k^2 + a > m^2 on a:
|(e_(k, n)|s_m)| ⩽ (‖q‖_2)/(k^2 + a − m^2)
b) Prouver, grâce au préliminaire, que :
1 = ‖s_m‖_2^2 = ∑_(k = 1)^∞(e_k|s_m)^2 puis lim_(n → ∞)‖s_m − ∑_(k = 1)^n(e_k|s_m)e_k‖_2 = 0
IV.B.3) Montrer que la famille (e_k)_(k ⩾ 1) est totale dans E.
(On pourra calculer ( f|s_m ) pour un vecteur f orthogonal à tout vecteur e_k ).
IV.B.4) Montrer que les valeurs propres de Q sont exactement les éléments de la suite (λ_k)_(k ⩾ 1).
(On pourra supposer l'existence d'une valeur propre λ différente des λ_k et calculer (e |e_k ) pour un vecteur propre e associé à la valeur propre λ ).

Partie V-Comportement asymptotique

V.A - On rappelle que q est non constante.
V.A.1) Prouver que a < 1/(2π)∫_0^(2π)q(t)dt < b.
V.A.2) On adopte ici les notations de la question III.B.4) dont on utilisera les résultats.
a) Démontrer l'existence d'un entier k_1 ⩾ k_0 tel que, pour k ⩾ k_1 on ait I_k ∩ I_(k + 1) = ∅.
b) Prouver que λ_k = μ_k à partir d'un certain rang. En déduire que
λ_k = k^2 + 1/(2π)∫_0^(2π)q(t)dt + o(1)
lorsque k → ∞.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP 2008 ?

Sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 (Cauchy-Lipschitz, wronskien), les séries de Fourier, la projection orthogonale et les endomorphismes symétriques, ainsi que les suites de fonctions et le théorème de relèvement.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Centrale MP 2008 ?

Un théorème de Cauchy-Lipschitz mal énoncé, une résolution fautive de y'' + αy = 0, des arguments de dimension finie oubliés pour la projection orthogonale et des inégalités mal maîtrisées en parties III et V.

Le sujet de maths 1 Centrale MP 2008 était-il difficile ?

Le jury juge les résultats assez décevants dans l'ensemble. La partie IV n'a presque pas été traitée au-delà de ses premières questions, et la partie V n'a pratiquement pas rapporté de points.

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