Polytechnique Mathématiques 2 MP 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2008 ?

Le sujet porte sur le dénombrement des applications injectives et surjectives entre ensembles finis, avec des liens vers l'algèbre linéaire et les séries entières.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 X MP 2008 ?

Le jury relève un vocabulaire du dénombrement mal maîtrisé, des démonstrations par récurrence incomplètes et un traitement approximatif des questions sur les séries entières.

Q: Le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2008 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme plutôt bien réussi dans l'ensemble, avec une moyenne supérieure à 9 et une dizaine de candidats ayant obtenu 20.

Q: Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 de l'X MP 2008 ?

La moyenne est de 9,93/20 pour 1434 copies, avec un écart-type de 3,06.

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Dénombrement d'applications entre ensembles finis : injections, surjections, algèbre linéaire et séries entières

Ce problème étudie le dénombrement des applications injectives et surjectives entre ensembles finis, en reliant ces nombres à des déterminants de matrices puis à un endomorphisme sur les polynômes. La dernière partie applique ces résultats à des séries entières, notamment via la formule du multinôme et un produit de séries.

1Première partieDénombrement des applications injectives et surjectives, lien avec des déterminants de matrices de coefficients binomiaux.
2Deuxième partieÉtude d'un endomorphisme de l'espace des polynômes de degré borné et de sa matrice dans la base canonique.
3Troisième partieDémonstration de la formule du multinôme et dénombrement d'applications par récurrence.
4Quatrième partieApplication des résultats précédents aux séries entières : rayon de convergence et produits de séries.

Accessible. Le rapport indique que l'épreuve a été plutôt réussie dans l'ensemble, quelques questions d'algèbre linéaire élémentaire permettant à l'immense majorité des candidats d'avancer dans le sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,93 / 20 · écart-type 3,06 · 1 434 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,93/ 20
Écart-type: 3,06
Copies: 1 434

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Vocabulaire du dénombrement mal maîtrisé · Séries entières traitées de façon approximative · Démonstrations par récurrence bâclées

L'épreuve a été plutôt bien réussie dans l'ensemble grâce à des questions d'algèbre linéaire élémentaire accessibles. Le jury déplore cependant un manque de familiarité avec le vocabulaire du dénombrement et un traitement très approximatif des questions sur les séries entières. La rédaction des démonstrations, notamment par récurrence, reste globalement insuffisante.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Vocabulaire du dénombrement mal maîtrisé
Le jury note un manque criant de familiarité avec les problèmes de dénombrement et leur vocabulaire (bijections, classes d'équivalence, partitions, lemme du berger).
« le manque criant de fam iliarité avec les problèmes de dénombrement et le vocabulaire s'y rattachant »
2
Séries entières traitées de façon approximative12, 13
De nombreux candidats ont traité les questions sur les séries entières de manière approximative et souvent erronée, comme si le sujet étant d'algèbre, des réponses allusives suffisaient.
3
Démonstrations par récurrence bâclées
Peu de candidats rédigent correctement une démonstration par récurrence : l'énoncé de la propriété, l'initialisation et la conclusion par le théorème de récurrence sont souvent absents ou incomplets.
4
Déterminant de Vandermonde non redémontré3.b)
Pour la question 3.b), beaucoup de candidats ont reconnu une variante du déterminant de Vandermonde sans le redémontrer, et le résultat proposé était souvent faux.
5
Produit de Cauchy affirmé sans démonstration12
À la question 12, de nombreux candidats ont invoqué un produit de Cauchy sans le démontrer et ont conclu sur le rayon de convergence sans énoncé clair.
6
Théorème de Fubini appliqué sans vérifier les hypothèses13
Pour la question 13, les rares candidats ayant traité la question ont invoqué le théorème de Fubini sans en vérifier les hypothèses.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a été bien traitée dans l'ensemble, la plupart des candidats ayant noté que les injections coïncidaient avec les surjections dans ce cas.
Les questions 4.a) et 4.b) ont été correctement traitées la plupart du temps.
La question 5 a été très généralement bien traitée.
La question 6 a été souvent correctement traitée.

Conseils du jury

Réviser le vocabulaire de base du dénombrement (bijections, classes d'équivalence, partitions, lemme du berger).
Rédiger complètement une récurrence : propriété, initialisation, hérédité et conclusion explicite.
Justifier chaque passage de calcul et chaque affirmation, même lorsqu'elle découle d'une question précédente.
Vérifier les hypothèses des théorèmes invoqués, par exemple celles du théorème de Fubini.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dénombrement d'applications entre ensembles finis

On se propose de démontrer quelques propriétés du nombre des applications surjectives d'un ensemble fini sur un autre.

Étant donné deux nombres entiers strictement positifs

k

n

, on note

$p_(k, n)$ le nombre de parties à $k$ éléments de l'ensemble ${1, \dots, n}$ , nul si $k > n$ ; on rappelle que $p_(k, n) = (n/k)$ pour $k ⩽ n$ ;
$j_(k, n)$ le nombre d'applications injectives de ${1, \dots, k}$ dans ${1, \dots, n}$ , nul si $k > n$ ;
$s_(k, n)$ le nombre d'applications surjectives de ${1, \dots, k}$ dans ${1, \dots, n}$ , nul si $k < n$ .

On posera aussi

p_(0, n) = j_(0, n) = 1

Première partie

Préciser les valeurs de $j_(n, n)$ et $s_(n, n)$ .
Montrer que l'on a $j_(k, n) = (n/k)k!$ si $k ⩽ n$ .

Pour tout entier

r > 0

, on note

P(r)

(resp.

S(r)

) la matrice à

r

lignes et

r

colonnes de coefficients

P(r)_(k, n) = p_(k, n)

(resp.

S(r)_(k, n) = s_(k, n)

) pour

k, n = 1, \dots, r

.
3.a) Montrer que l'on a, pour

k

n > 0

n^k = \sum_(q = 1, \dots, n)s_(k, q)p_(q, n)

3.b) Calculer le déterminant de la matrice

A(r)

de coefficients

A(r)_(k, n) = n^k, k, n = 1, \dots, r

Deuxième partie

Pour tout entier

d > 0

, on désigne par

E_d

l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée, à coefficients complexes, de degré

⩽ d

. On le munit de la base (

X^0 = 1, X, \dots, X^d

); on définit un endomorphisme

T

E_d

par

T(P)(X) = P(X + 1) pour tout P \in E_d

4.a) Déterminer les coefficients

T_(k, n)

de la matrice représentant

T

dans le base indiquée (ici

0 ⩽ k, n ⩽ d)

.
4.b) Même question pour

T^(- 1)

dont on démontrera l'existence.
4.c) Étant donné deux vecteurs lignes

(a_0, \dots, a_d)

(b_0, \dots, b_d)

satisfaisant

a_0 = b_0

et, pour

n = 1, \dots, d

a_n = \sum_(q = 0, \dots, n)b_q(n/q),

écrire les

b_q

en fonction des

a_n

.
4.d) Établir une formule de la forme

s_(k, n) = \sum_(q = 1, \dots, n)λ_(n, q)q^k(n/q),

où

0 < n ⩽ k

et où les

λ_(n, q)

sont des coefficients à déterminer.
Dans la suite de cette seconde partie, on définit des éléments

N_k

E_d, k = 0, 1, \dots, d

, par

N_k(X) = {1, si k = 0; 1/(k!)X(X + 1)⋯(X + k − 1), si k > 0

Vérifier que les $N_k$ forment une base de $E_d$ .
Démontrer la formule

T(N_k) = N_k + T(N_(k - 1)) pour k > 0

7.a) Déterminer les coefficients

T˜_(k, q)(k, q = 0, \dots, d)

de la matrice représentant l'endomorphisme

T

dans la base ci-dessus.
7.b) Même question pour les coefficients de

T^(- 1)

.
8. Écrire les formules donnant les polynômes

X^k, k = 0, \dots, d

, en fonction des polynômes

N_k

.
[On pourra utiliser la formule de la question 3.a).]

Troisième partie

Étant donné deux entiers

k

n > 0

, on désigne par

$A_(k, n)$ l'ensemble des applications de ${1, \dots, k}$ dans ${1, \dots, n}$ ;
$B_(k, n)$ l'ensemble des applications surjectives de ${1, \dots, k}$ dans ${1, \dots, n}$ , ensemble bien entendu vide si $k < n$ ;
$C_(k, n)$ l'ensemble des applications $f : {1, \dots, n} \to N$ satisfaisant

f(1) + \dots + f(n) = k;

$D_(k, n)$ le sous-ensemble du précédent formé des $f$ telles que $f(i) ⩾ 1$ pour tout $i$ (ici, $n ⩽ k$ ).

Démontrer la «formule du multinôme », pour $n > 0, k ⩾ 0$ :

(x_1 + \dots + x_n)^k = \sum_(f \in C_(k, n))(k!)/(f(1)!\dotsf(n)!)x_1^(f(1))\dotsx_n^(f(n))

où

x_1, \dots, x_n

sont des nombres réels.
[On pourra procéder par récurrence sur

n

.]
10. Montrer que

(x_1 + \dots + x_n)^k = \sum_(φ \in A_(k, n))x_(φ(1))\dotsx_(φ(k)).

Montrer que, pour $0 < n ⩽ k$ , on a

s_(k, n) = \sum_(f \in D_(k, n))(k!)/(f(1)!\dotsf(n)!)

Quatrième partie

On considère une série entière à coefficients réels

\sum_(k ⩾ 0)a_k x^k

; on suppose

a_0 = 0

; on note

R_1

son rayon de convergence supposé non nul, et

φ(x)

sa somme. Pour

n

k

entiers

⩾ 0

, on pose

α_(n, k) = {∑_(f ∈ D_(k, n))a_(f(1))⋯a_(f(n)), si 0 < n ⩽ k; 0, si 0 ⩽ k < n; α_(0, k) = {1, si k = 0; 0, si k > 0

Indiquer un minorant $ρ > 0$ du rayon de convergence de la série entière $\sum_(k ⩾ 0)α_(n, k)x^k$ où $n ⩾ 0$ ; déterminer la somme de cette série dans l'intervalle $|x| < ρ$ .

On considère une seconde série entière

\sum_(n ⩾ 0)b_n x^n

; on note

R_2

son rayon de convergence supposé non nul, et

ψ(x)

sa somme.
13. Montrer que la série entière

\sum_(k ⩾ 0)(\sum_(n ⩾ 0)b_n α_(n, k))x^k

a un rayon de convergence non nul, et préciser sa somme au voisinage de 0 .
14. On considère la fonction

θ(x) = e^((e^x - 1))

. Exprimer les coefficients de la série de Taylor de

θ

à l'aide des nombres

s_(k, n)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2008 ?

Le sujet porte sur le dénombrement des applications injectives et surjectives entre ensembles finis, avec des liens vers l'algèbre linéaire et les séries entières.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 X MP 2008 ?

Le jury relève un vocabulaire du dénombrement mal maîtrisé, des démonstrations par récurrence incomplètes et un traitement approximatif des questions sur les séries entières.

Le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2008 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme plutôt bien réussi dans l'ensemble, avec une moyenne supérieure à 9 et une dizaine de candidats ayant obtenu 20.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 de l'X MP 2008 ?

La moyenne est de 9,93/20 pour 1434 copies, avec un écart-type de 3,06.

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