Polytechnique Mathématiques 2 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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BanqueX-ENS Année2009 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP Mathématiques X-ENS MP 2009 MP Mathématiques Mathématiques 2009

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Présentation du sujet

Difficile

Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie : opérateur de décalage sur les suites bilatères

Le problème étudie d'abord un endomorphisme de C2 dépendant d'un paramètre réel λ, selon que |λ| est supérieur, inférieur ou égal à 2, puis étend l'étude à un opérateur A agissant sur l'espace des suites bilatères de nombres complexes, en passant par des questions d'analyse en dimension infinie sur la continuité et l'inversibilité d'opérateurs.

1Première partieÉtude des valeurs propres et d'une base propre de l'endomorphisme Tλ de C2 selon les valeurs de λ.
2Deuxième partieÉtude du noyau de l'endomorphisme A moins λ fois l'identité sur l'espace des suites bilatères, puis de la continuité et de l'inversibilité d'opérateurs associés.

Difficile. Le rapport indique que l'épreuve a été plutôt réussie en début de sujet, mais que les dernières questions (8 à 13) se soldent par un désastre, restant rarement traitées ou réussies, en partie à cause de la fatigue des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,81 / 20 · écart-type 3,59 · 1 524 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,81/ 20
Écart-type: 3,59
Copies: 1 524

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion sur les deux valeurs propres · Récurrences mal justifiées · Division par une quantité non prouvée non nulle

L'épreuve a été plutôt réussie dans l'ensemble grâce à des questions d'algèbre linéaire élémentaire accessibles, mais le jury constate une désinvolture générale dans la rédaction et un manque de justification des affirmations. Les questions de fin de sujet, plus difficiles et abordées en fin d'épreuve, ont été très largement ratées, la fatigue des candidats s'accumulant.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur les deux valeurs propres1.a.
À la question 1.a., neuf candidats sur dix sont incapables de discerner laquelle des deux valeurs possibles de µλ est supérieure à 1 en valeur absolue, et seul un candidat sur trois invoque le polynôme caractéristique.
« N euf candidats sur dix sont incapables de discerner, entre les deux valeurs possib les de μ λ »
2
Récurrences mal justifiées3.a.b.c.
Dans les questions 3.a.b.c., les candidats ayant choisi un raisonnement par récurrence oublient souvent qu'elle porte sur deux indices et sur un entier relatif, et certains se contentent d'affirmer une récurrence sans la démontrer.
3
Division par une quantité non prouvée non nulle4.a., 8
À la question 4.a., un candidat sur deux divise sans précaution par une quantité qui n'a pas été montrée non nulle, ce qui fait passer à côté de la question ; l'erreur se retrouve à la question 8.
4
Convergence de série présupposée6.b.
À la question 6.b., les candidats écrivent souvent une majoration qui présuppose l'existence de la somme de la série pour mieux la démontrer ensuite.
5
Questions de fin de sujet désastreuses8.a., 8.b.
Les questions 8.a. et 8.b. se soldent par un désastre : les cas sont souvent escamotés ou affirmés sans justification, la fatigue des candidats se faisant sentir.
« La fatigue se faisant déjà sentir, ces questions se soldent p ar un désastre »
6
Question 13 rarement abordée13
La question 13 a été rarement abordée et plus rarement encore réussie, avec une division non justifiée par une expression pouvant s'annuler.

Ce qui a été bien réussi

Les questions 7.a. et 7.b. ont été bien traitées par plus de 80 % des candidats.
La question 10 a été plutôt bien traitée, presque tous les candidats devinant qu'il fallait intervertir série et intégrale.
La question 6.a. a été mieux réussie que la question précédente, à laquelle elle ressemblait, en plus facile.
La récurrence ascendante de la question 2.a. a été en général bien posée.

Conseils du jury

Justifier explicitement chaque affirmation, y compris celles qui découlent d'une question précédente.
Ne jamais diviser par une expression sans avoir vérifié au préalable qu'elle est non nulle.
Éviter les formules toutes faites comme « par une récurrence élémentaire » lorsque la démonstration est attendue.
Gérer son temps pour ne pas arriver épuisé sur les dernières questions, souvent plus discriminantes.
Invoquer explicitement les théorèmes utilisés, par exemple le critère de continuité par la borne sur la boule unité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie

Première partie

Pour tout nombre réel

λ

, on désigne par

T_λ

l'endomorphisme de l'espace vectoriel

C^2

représenté par la matrice

(0, 1; - 1, λ)

dans la base naturelle de

C^2

notée

(e_1, e_2)

Construire une base ( $f_(λ, 1), f_(λ, 2)$ ) de $C^2$ telle que chacun des $f_(λ, i)$ ait une composante sur $e_1$ égale à 1 et , en outre, ayant les propriétés suivantes :
1.a) Si $|λ| > 2$ , il existe un réel $μ_λ$ de module $> 1$ tel que

T_λ f_(λ, 1) = μ_λ f_(λ, 1), T_λ f_(λ, 2) = μ_λ^(- 1)f_(λ, 2)

1.b) Si

|λ| < 2

, on a une formule analogue, mais où

μ_λ

est un nombre complexe de module 1 et de partie imaginaire

> 0

, que l'on précisera.
1.c) Si

λ = 2

, on a

T_2 f_(2, 1) = f_(2, 1), T_2 f_(2, 2) = f_(2, 1) + f_(2, 2)

1.d) Si

λ = - 2

, on a

T_(- 2)f_(- 2, 1) = - f_(- 2, 1), T_(- 2)f_(- 2, 2) = f_(- 2, 1) - f_(- 2, 2).

Deuxième partie

On désigne par

E

l'espace vectoriel des suites de nombres complexes

x = (x_k)_(k \in Z)

et par

A

l'endomorphisme de

E

défini par

\forallx \in E, \forallk \in Z, (Ax)_k = x_(k - 1) + x_(k + 1).

On s'intéresse au noyau de l'endomorphisme

A - λid_E

où

λ

est un nombre réel.
2.a) Vérifier qu'un élément

x

E

appartient à

Ker(A - λid_E)

si et seulement si l'on a

\forallk \in Z, ((x_k)/(x_(k + 1))) = T_λ^k((x_0)/(x_1)).

2.b) Préciser la dimension de

Ker(A - λid_E)

.
3. On suppose

x \in Ker(A - λid_E)

et on note

α_(λ, 1)

α_(λ, 2)

les composantes, dans la base

(f_(λ, 1), f_(λ, 2))

C^2

, du vecteur

((x_0)/(x_1))

. Démontrer les assertions suivantes:
3.a) Si

|λ| \neq 2

, on a

x_k = μ_λ^k α_(λ, 1) + μ_λ^(- k)α_(λ, 2)

3.b) Si

λ = 2

, on a

x_k = α_(2, 1) + (k + 1)α_(2, 2)

3.c) Si

λ = - 2

, on a

x_k = (- 1)^k(α_(- 2, 1) + (1 - k)α_(- 2, 2)).

On fixe un entier $N ⩾ 2$ et on désigne par $P_N$ l'ensemble des $x$ de $E$ tels que l'on ait $x_(k + N) = x_k$ pour tout $k \in Z$ .

Dire pour quelles valeurs de

λ

le sous-espace

Ker(A - λid_E) \cap P_N

n'est pas réduit à

{0}

et, dans ce cas, en donner une base.

Troisième partie

On définit deux sous-espaces vectoriels de

E

de la façon suivante :

$E_1$ est l'ensemble des éléments $x$ de $E$ tels que $\sum_(k \in Z)|x_k| < + \infty$ et on le munit de la norme

‖x‖_1 = \sum_(k \in Z)|x_k|

$E_\infty$ est l'ensemble des éléments $u$ de $E$ tels que $sup_(k \in Z)|u_k| < + \infty$ et on le munit de la norme

‖u‖_\infty = sup_(k \in Z)|u_k|

Étant donnés $x \in E_1$ et $u \in E_\infty$ , on pose

⟨x, u⟩ = \sum_(k \in Z)x_k u_k

Vérifier que, pour tout

u \in E_\infty

(resp. tout

x \in E_1

), l'application

x \mapsto ⟨x, u⟩

(resp.

u \mapsto ⟨x, u⟩

) est une forme linéaire continue sur

E_1

(resp. sur

E_\infty

) dont on précisera la norme.
6. Montrer que l'on a

A(E_1) \subset E_1, A(E_\infty) \subset E_\infty

. Montrer que les endomorphismes

A_1

A_\infty

induits par

A

respectivement sur

E_1

E_\infty

sont continus et de norme 2.
7. Démontrer les assertions suivantes:
7.a) Pour tout entier

n ⩾ 0

, tout

k \in Z

et tout

x \in E

on a

(A^n x)_k = \sum_(p = 0)^n(n/p)x_(k - n + 2p)

\sum_(k \in Z)|(A^n x)_k| ⩽ 2^n\sum_(k \in Z)|x_k|

7.b) Si

|λ| > 2

, pour tout

x \in E_1

, la formule

B_λ x = \sum_(n ⩾ 0)λ^(- n)A_1^n x

a un sens et définit un endomorphisme bijectif

B_λ

E_1

dont on précisera l'inverse.
8. Soit

λ

un nombre réel.
8.a) Déterminer

Ker(A_1 - λid_(E_1))

.
8.b) Déterminer

Ker(A_\infty - λid_(E_\infty))

.
9. Dire pour quelles valeurs de

λ

le sous-espace image de

A_1 - λid_(E_1)

est une partie dense de

E_1

.
[On pourra évaluer

⟨x, u⟩

pour

x \in Im(A_1 - λid_(E_1))

u \in Ker(A_\infty - λid_(E_\infty))

Quatrième partie

Pour tout élément

x

E_1

on définit comme suit une fonction

φ_x

d'une variable réelle, continue, de période

2π

φ_x(t) = \sum_(k \in Z)x_k e^(ikt)

Calculer $\int_0^(2π)φ_x(t)e^(- int) dt$ , pour $n \in Z$ .
Calculer $φ_(A_1 x)(t)$ .
Calculer $φ_(B_λ x)(t)$ pour $|λ| > 2$ .
Donner une nouvelle démonstration de la question 8.a).

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2009 ?

Le sujet porte sur des endomorphismes d'espaces vectoriels, d'abord en dimension finie sur C2, puis en dimension infinie sur l'espace des suites bilatères de nombres complexes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 X MP 2009 ?

Le jury relève des divisions non justifiées par des quantités pouvant s'annuler, des récurrences mal rédigées et un manque de rigueur sur les dernières questions, très souvent ratées.

Le sujet de mathématiques 2 de l'X MP 2009 est-il difficile ?

Le début du sujet a été plutôt bien réussi, mais les dernières questions se soldent par un désastre selon le rapport, en partie à cause de la fatigue des candidats en fin d'épreuve.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 de l'X MP 2009 ?

La moyenne est de 9,81/20 pour 1524 copies, avec un écart-type de 3,59.

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