WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Théorème de Müntz

Pas encore noté
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2009FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Mines MP MathématiquesMines MP 2009MP MathématiquesMathématiques 2009

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Théorème de Müntz : densité des combinaisons de fonctions puissances dans C([0,1])
Afficher ou masquer la section

Le problème démontre le théorème de Müntz, qui relie la divergence de la série des 1/λk à la densité, dans C([0,1]), de l'espace engendré par les fonctions x ↦ x^λk. Il combine déterminants de Cauchy et de Gram, distance à une partie dans un espace vectoriel normé, projection orthogonale et comparaison des normes uniforme et quadratique. La plupart des parties sont indépendantes et plusieurs questions relèvent directement du cours.

  1. 1Question préliminaireLiberté de la famille des fonctions puissances x ↦ x^λ.
  2. 2Partie A : déterminants de CauchyCalcul du déterminant de Cauchy par décomposition en éléments simples et récurrence.
  3. 3Partie B : distance d'un point à une partie dans un espace norméCaractérisation des points adhérents, limite des distances pour une suite croissante de parties, existence d'un point le plus proche dans un sous-espace de dimension finie.
  4. 4Partie C : distance à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidienProjection orthogonale comme meilleure approximation, déterminant de Gram et formule de la distance.
  5. 5Partie D : comparaison des normes N∞ et N2Adhérences pour les deux normes, exemple d'un sous-espace dense pour N2 mais pas pour N∞, critère de densité via le théorème de Weierstrass.
  6. 6Parties E et F : critères de densité de WDensité pour N2 équivalente à la divergence de la série des 1/λk, puis critère pour la norme uniforme.

Difficile. Le jury qualifie les résultats de très décevants, note que la topologie a décontenancé de nombreux candidats et que la fin du problème a largement dépassé la plupart d'entre eux.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition d'une famille infinie libre · Divisions par des coefficients peut-être nuls · Adhérence confondue avec appartenance
Afficher ou masquer la section

La large indépendance des questions a permis un bon étalement des notes, et les questions de cours ont permis à des candidats sérieux d'obtenir une note honorable. Les résultats restent très décevants : le jury relève une méconnaissance de résultats fondamentaux, notamment en topologie des espaces vectoriels normés, sur le théorème de Pythagore et la liberté d'une famille.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition d'une famille infinie libreQ1

    Une famille infinie est libre si toute sous-famille finie l'est. Partir d'une série ou d'une relation infinie ne respecte pas la définition et pose un problème d'existence de la somme. Le jury relève aussi des récurrences mal rédigées dès cette question.

    « des erreurs graves concernant la rédaction d'un raisonnement par récurrence »
  2. 2
    Divisions par des coefficients peut-être nulsQ2, Q3

    Certains ont divisé par les coefficients de la décomposition sans vérifier qu'ils sont non nuls. En Q3, le cas des valeurs non distinctes a été éludé.

  3. 3
    Adhérence confondue avec appartenanceQ4

    Question typique de compréhension du cours, souvent ratée faute de distinguer point adhérent et point de l'ensemble.

    « Trop de candidats considèrent encore qu'un point adhérent à un ensemble appartient à cet ensemble. »
  4. 4
    Compacité et dimension finie mal reliéesQ6, Q7

    Des phrases du type « V est compact car de dimension finie » reviennent souvent, et la continuité de la norme est rarement invoquée pour obtenir le minimum.

    « Les liens entre compacité, fermeture et dimension finie ne sont pas bien appréhendés par les candidats. »
  5. 5
    Théorème de Pythagore mal écritQ8

    Le théorème a souvent été écrit sans les carrés, et l'unicité du point réalisant la distance a rarement été démontrée.

    « Le théorème de Pythagore (outre l'orthographe douteuse) a été dans presque un cas sur deux écrit sans carrés ! »
  6. 6
    Calculs arrangés et inégalités mal orientéesQ10, Q11

    Des calculs ont été ajustés au résultat donné. En Q11, l'inégalité de Cauchy-Schwarz va dans le mauvais sens pour conclure.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 a été assez bien traitée dans l'ensemble.
  • Les questions 11 à 14, quand elles ont été abordées, ont été assez correctement traitées, dessins à l'appui.
  • Les copies ayant abordé les questions 15 et 16 ont utilisé le théorème de Weierstrass et ont correctement conclu.
  • Certains candidats ont réussi la question 1 à l'aide des valeurs propres de l'endomorphisme f ↦ xf'.

Conseils du jury

  • Revenir aux définitions du cours (famille libre, point adhérent, compacité) plutôt qu'à des formules approximatives.
  • Vérifier la non-nullité d'un coefficient avant de diviser.
  • Rédiger les récurrences avec soin.
  • Ne pas présenter de démonstrations qui n'aboutissent pas ni de calculs arrangés pour retrouver le résultat de l'énoncé.
  • Utiliser des dessins en géométrie euclidienne pour guider le raisonnement, sans qu'ils remplacent la démonstration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On désigne par C([0, 1]) l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0, 1]. Pour tout λ ⩾ 0, on note φ_λ l'élément de C([0, 1]) défini par φ_λ(x) = x^λ. Par convention on a posé 0^0 = 1 de sorte que φ_0 est la fonction constante 1 .
Soit (λ_k)_(k ∈ ℕ) une suite de réels ⩾ 0 deux à deux distincts. On note W le sousespace vectoriel de C([0, 1]) engendré la famille (φ_(λ_k))_(k ∈ ℕ). Le but du problème est d'établir des critères de densité de l'espace W dans C([0, 1]) pour l'une ou l'autre des deux normes classiques N_∞ ou N_2 définies par:
N_∞(f) = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)| et N_2(f) = (∫_0^1|f(x)|^2 dx)^(1/2)
La question préliminaire et les parties A, B, C et D sont indépendantes les unes des autres.

Question préliminaire

  1. Montrer que (φ_λ)_(λ ⩾ 0) est une famille libre de C([0, 1]).

A. Déterminants de Cauchy

On considère un entier n > 0 et deux suites finies (a_k)_(1 ⩽ k ⩽ n) et (b_k)_(1 ⩽ k ⩽ n) de réels telles que a_k + b_k ≠ 0 pour tout k ∈ {1, 2, …, n}. Pour tout entier m tel que 0 < m ⩽ n, le déterminant de Cauchy d'ordre m est défini par :
D_m = |1/(a_1 + b_1), 1/(a_1 + b_2), ⋯, 1/(a_1 + b_m); 1/(a_2 + b_1), 1/(a_2 + b_2), ⋯, 1/(a_2 + b_m); ⋮, ⋮, ⋮; 1/(a_m + b_1), 1/(a_m + b_2), ⋯, 1/(a_m + b_m)|
On définit la fraction rationnelle :
R(X) = (∏_(k = 1)^(n − 1)(X − a_k))/(∏_(k = 1)^n(X + b_k))
  1. Montrer que si R(X) est de la forme R(X) = ∑_(k = 1)^n(A_k)/(X + b_k), alors
A_n D_n = R(a_n)D_(n − 1).
On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de D_n en remplaçant la dernière colonne par
(R(a_1); R(a_2); ⋮; R(a_n))
  1. En déduire que
D_n = (∏_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(a_j − a_i)(b_j − b_i))/(∏_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)(a_i + b_j)).

B. Distance d'un point à une partie dans un espace normé

Soit E un espace vectoriel normé par une norme ‖ ⋅ ‖. On rappelle que la distance d'un élément x ∈ E à une partie non vide A de E est le réel noté d(x, A) défini par:
d(x, A) = inf_(y ∈ A)‖x − y‖
  1. Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent à A.
  2. Montrer que si (A_n)_(n ⩾ 0) est une suite croissante de parties de E et si A = ∪ _(n ⩾ 0)A_n alors d(x, A) = lim_n d(x, A_n).
    On considère un sous-espace vectoriel V de dimension finie de E, et on note B = {y; ‖y − x‖ ⩽ ‖x‖}.
  3. Montrer que B ∩ V est compacte et que d(x, V) = d(x, B ∩ V) pour tout x ∈ E.
  4. En déduire que pour tout x ∈ E, il existe un élément y ∈ V tel que d(x, V) = ‖x − y‖.

C. Distance d'un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien

Dans cette partie, on suppose que la norme sur l'espace vectoriel E est définie à partir d'un produit scalaire ( ⋅ | ⋅ ) sur E : ‖x‖ = √((x|x)).
8) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors pour tout x ∈ E, la projection orthogonale de x sur V est l'unique élément y ∈ V vérifiant d(x, V) = ‖x − y‖.
Pour tout suite finie (x_1, x_2, …, x_n) ∈ E^n on désigne par G(x_1, x_2, …, x_n) le déterminant de la matrice de Gram d'ordre n définie par :
M(x_1, x_2, …, x_n) = ((x_1|x_1), (x_1|x_2), ⋯, (x_1|x_n); (x_2|x_1), (x_2|x_2), ⋯, (x_2|x_n); ⋮, ⋮, ⋮; (x_n|x_1), (x_n|x_2), ⋯, (x_n|x_n))
  1. Montrer que G(x_1, x_2, …, x_n) = 0 si et seulement si la famille ( x_1, x_2, …, x_n ) est liée.
  2. On suppose que la famille (x_1, x_2, …, x_n) est libre et l'on désigne par V l'espace vectoriel qu'elle engendre. Montrer que, pour tout x ∈ E,
d(x, V)^2 = (G(x_1, x_2, …, x_n, x))/(G(x_1, x_2, …, x_n))

D. Comparaison des normes N_∞ et N_2

Pour toute partie A de C([0, 1]) on note A¯^∞ et A¯^2 les adhérences de A pour les normes N_∞ et N_2, respectivement. Pour f ∈ C([0, 1]) la notation d(f, A) désigne toujours la distance de f à A relativement à la norme N_2 (on ne considérera jamais, dans l'énoncé, la distance d'un élément à une partie relativement à la norme N_∞ ).
11) Montrer que pour tout f ∈ C([0, 1]), N_2(f) ⩽ N_∞(f). En déduire que pour toute partie A de C([0, 1]) on a A¯^∞ ⊂ A¯^2.
On considère l'ensemble V_0 = {f ∈ C([0, 1]); f(0) = 0}, et on rappelle que φ_0 désigne la fonction constante 1 .
12) Montrer que φ_0 ∈ V_0^–^2.
13) En déduire que V_0 est dense dans C([0, 1]) pour la norme N_2, mais n'est pas dense pour la norme N_∞.
14) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé, alors son adhérence V¯ est également un espace vectoriel.
15) Montrer qu'un sous-espace vectoriel V de C([0, 1]) est dense pour la norme N_∞ si et seulement si pour tout entier m ⩾ 0, φ_m ∈ V¯^∞.
16) En déduire qu'un sous-espace vectoriel V de C([0, 1]) est dense pour la norme N_2 si et seulement si pour tout entier m ⩾ 0, φ_m ∈ V¯^2.

E. Un critère de densité de W pour la norme N_2

Pour tout n ∈ ℕ, on note W_n l'espace vectoriel engendré par la famille finie (φ_(λ_k))_(0 ⩽ k ⩽ n).
17) Montrer que l'espace W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N_2 si et seulement si lim_n d(φ_μ, W_n) = 0 pour tout entier μ ⩾ 0.
18) Montrer que pour tout μ ⩾ 0,
d(φ_μ, W_n) = 1/(√(2μ + 1))∏_(k = 0)^n(|λ_k − μ|)/(λ_k + μ + 1)
  1. Montrer que pour tout μ ⩾ 0, la suite ((|λ_k − μ|)/(λ_k + μ + 1))_(k ∈ ℕ) tend vers 1 si et seulement si la suite (λ_k)_(k ∈ ℕ) tend vers + ∞.
    (On pourra pour cela étudier les variations de la fonction x ∈ [0, μ] ↦ (μ − x)/(x + μ + 1) ⋅)
  2. En déduire que l'espace W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N_2 si et seulement si la série ∑_k 1/(λ_k) est divergente.

F. Un critère de densité de W pour la norme N_∞

  1. Montrer que si W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N_∞, alors la série ∑_k 1/(λ_k) est divergente.
  2. Soit ψ = ∑_(k = 0)^n a_k φ_(λ_k) un élément quelconque de W_n. Montrer que si λ_k ⩾ 1 pour tout k ∈ {0, 1, …, n}, alors pour tout μ ⩾ 1, on a :
N_∞(φ_μ − ψ) ⩽ N_2(μφ_(μ − 1) − ∑_(k = 0)^n a_k λ_k φ_(λ_k − 1))
  1. On suppose que la suite (λ_k)_(k ∈ ℕ) vérifie les deux conditions suivantes :
{(i) :, λ_0 = 0; (ii) :, λ_k ⩾ 1 pour tout k ⩾ 1
Montrer que sous ces conditions, si la série ∑_k 1/(λ_k) est divergente, alors W est dense dans C([0, 1]) pour la norme N_∞.
24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible :
(ii^′) : inf_(k ⩾ 1)λ_k > 0
Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2009 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2009 ?

Sur les déterminants et familles libres, la projection orthogonale et les matrices de Gram, la topologie des espaces vectoriels normés (adhérence, compacité, densité) et les séries numériques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 MP 2009 ?

La confusion entre point adhérent et point de l'ensemble, des liens faux entre compacité et dimension finie, un théorème de Pythagore écrit sans carrés et des récurrences mal rédigées.

Quelles questions de cours contient le sujet Mines Maths 2 MP 2009 ?

Selon le rapport, les questions 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14 et 15 relevaient directement du cours et permettaient à un candidat sérieux d'obtenir une note honorable.

Le sujet Mines Maths 2 MP 2009 est-il difficile ?

Le jury juge les résultats très décevants. La fin du problème, sur la divergence des séries et les équivalents, a dépassé la plupart des candidats, à part quelques excellentes copies.

Pas de description pour le moment