Mines Mathématiques 1 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Problème des moments

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BanqueMines Année2009 FilièreMP MatièreMathématiques

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Problème des moments d'une fonction de densité de probabilité

Le problème étudie la fonction caractéristique et les moments d'une fonction f positive d'intégrale 1. Il montre que la fonction caractéristique détermine f de façon unique, que la suite des moments ne suffit pas toujours à caractériser f, puis établit une condition sous laquelle cette suite redevient caractérisante.

1A. Questions préliminairesRésultats indépendants sur la fonction caractéristique et des majorations utiles pour la suite.
2B. La fonction caractéristique caractérise fDémonstration que deux fonctions de E ayant la même fonction caractéristique sont égales.
3C. La suite des moments ne caractérise pas toujours fConstruction d'une famille de fonctions ayant tous les mêmes moments sans être égales.
4D. Une condition sur la suite des momentsSous une condition de croissance sur les moments, la fonction caractéristique est développable en série entière.
5E. ApplicationRésolution d'un système d'équations portant sur les moments pairs et impairs.

Difficulté moyenne. Le rapport indique une moyenne de l'ordre de 9/20, juge la plupart des questions assez faciles mais souvent rédigées de manière approximative, et l'énoncé un peu long avec trop de questions fermées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9 / 20 · écart-type 3,8 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9/ 20
Écart-type: 3,8

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Conditions du théorème de convergence dominée · Confusion entre les deux formules de Taylor · Inégalités appliquées à des nombres complexes

Le jury juge le sujet bien adapté à la durée de l'épreuve, mais un peu trop long pour certains candidats et comportant un peu trop de questions fermées. Les questions sont pour la plupart assez faciles mais souvent rédigées de manière approximative, peut-être par manque de temps. L'épreuve a néanmoins permis de bien classer les candidats par ordre de mérite.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Conditions du théorème de convergence dominéeQ1
Les conditions de validité du théorème, utilisées pour dériver une intégrale à paramètres, ne sont pas vérifiées avec la précision requise.
« ne sont pas souvent vérifiées avec la précision et rigueur requises »
2
Confusion entre les deux formules de TaylorQ2
Certains candidats confondent Taylor-Lagrange et Taylor-Young, et appliquent le critère des séries alternées à des séries complexes.
« confondent Taylor-Lagrange et Taylor-Young »
3
Inégalités appliquées à des nombres complexesQ3
Des candidats écrivent des inégalités qui n'ont pas de sens pour des nombres complexes.
« qui n'existent évidemment pas s'agissant de nombres complexes »
4
Accroissements finis pour une fonction vectorielleQ4
Pour une fonction à valeurs vectorielles, seule une inégalité est disponible, pas une égalité.
« il n'y a pas d'égalité dans les accroissements finis, mais seulement une inégalité »
5
Tentatives de bluff sur une réponse donnée par l'énoncéQ12, Q14, Q17
Lorsque le résultat à démontrer est donné dans l'énoncé, le jury observe de nombreuses tentatives de bluff plutôt qu'une démonstration rigoureuse.
« un trop grand nombre de tentatives de bluff »

Ce qui a été bien réussi

La question 8, jugée un peu difficile, a été résolue avec brio par certains candidats.

Conseils du jury

Lire tranquillement la totalité du sujet avant de commencer pour bien assimiler les notations.
Écrire lisiblement et encadrer les résultats obtenus.
Citer avec précision les théorèmes du cours et les résultats des questions antérieures utilisés, avec leur numéro.
Indiquer nettement qu'on admet un résultat plutôt que de rédiger une démonstration vague ou malhonnête.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème des moments

On note

E

l'ensemble des fonctions

f

continues, définies sur

ℝ

, à valeurs positives ou nulles, et vérifiant l'équation

\int_ℝ f(x)dx = 1

Lorsqu'elle existe, la fonction caractéristique de

f \in E

est la fonction

φ_f : ℝ \to ℂ

définie par la formule

φ_f(t) = \int_ℝ e^(itx)f(x)dx

Lorsque pour un entier

k ⩾ 0

, la fonction

x \mapsto |x|^k f(x)

est intégrable sur

ℝ

, on appelle moment d'ordre

k

f

la quantité

a_k(f) = \int_ℝ x^k f(x)dx

Si, pour tout entier

k ⩾ 0

, la fonction

x \mapsto |x|^k f(x)

est intégrable sur

ℝ

, on dit que

f

admet des moments de tous ordres.

On admettra que pour tout

λ \in ℂ

\int_ℝ exp(λx - (x^2)/2)dx = \sqrt(2π)exp((λ^2)/2).

A. Questions préliminaires.

Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être utilisés dans la suite du problème.

Soit $f \in E$ . On suppose, dans cette question, que $f$ admet des moments de tous ordres.
Montrer l'existence de $φ_f$ et de ses dérivées successives que l'on exprimera à l'aide de $f$ .
Montrer que pour tout réel $x$ et tout entier $n ⩾ 1$ ,

|e^(ix) - \sum_(m = 0)^(n - 1)((ix)^m)/(m!)| ⩽ (|x|^n)/(n!).

Soit $a, b \in ℝ$ tels que $a < b$ . Montrer que la fonction $h_(a, b)$ définie sur $ℝ$ par

h_(a, b)(t) = {(e^(− ita) − e^(− itb))/(it), si t ≠ 0; b − a, si t = 0

est continue sur

ℝ

.
4) Montrer que pour tout réel

t, |h_(a, b)(t)| ⩽ b - a

.
5) Montrer que pour tout entier

k ⩾ 0, e^k ⩾ (k^k)/(k!)

B. La fonction $φ_f$ caractérise $f$

On considère la fonction

R

définie pour tout

(θ, T) \in ℝ \times ℝ^+

par la formule

R(θ, T) = \int_(- T)^T(sin(θt))/tdt

et la fonction

S

définie pour tout

T \in ℝ

par la formule

S(T) = \int_0^T(sinx)/xdx

On admet que

lim_(T \to + \infty)S(T) = π/2

.
6) Exprimer

R(θ, T)

à l'aide de

S

.
7) Soit

x, y \in ℝ

. Calculer la limite de

R(x, T) - R(y, T)

quand

T \to + \infty

(on discutera de cette limite en fonction des signes de

x

y

).
8) Soit

a, b \in ℝ

tels que

a < b

. Montrer que

lim_(T \to + \infty)1/(2π)\int_(- T)^T h_(a, b)(t)φ_f(t)dt = \int_a^b f(t)dt

En déduire qu'étant donné deux fonctions $f$ et $g$ de $E$ , si $φ_f = φ_g$ , alors $f = g$ .

C. La suite $a_k(f)$ ne caractérise pas toujours $f$

On définit la fonction

f_0

par

f_0(x) = {1/(√(2π))(exp(− ((lnx)^2)/2))/x, pour x > 0; 0, pour x ⩽ 0

Montrer que $f_0 \in E$ .
Montrer que $f_0$ admet des moments de tous ordres et calculer $a_k(f_0)$ pour tout $k \in ℕ$ .

On introduit, pour

a \in [ - 1, 1]

, la fonction

f_a

définie sur

ℝ

par la formule

f_a(x) = f_0(x) \cdot (1 + asin(2πlnx)).

Montrer que $f_a \in E$ , et que $a_k(f_0) = a_k(f_a)$ pour tout $k \in ℕ$ .

D. Une condition sur la suite $a_k(f)$

Dans cette partie,

f

est une fonction de

E

qui admet des moments de tous ordres, et vérifie en outre la condition (U) suivante :
(U) Il existe

M > 0

tel que pour tout entier

k > 0, 0 ⩽ (a_(2k)(f)^(1/(2k)))/(2k) ⩽ M

On pose

b_k(f) = \int_ℝ|x|^k f(x)dx

pour tout entier

k > 0

.
13) Montrer que, pour tout entier

k ⩾ 0

, on a l'inégalité

(b_(2k + 1)(f))^2 ⩽ a_(2k)(f) \cdot a_(2k + 2)(f)

En déduire que la suite de terme général $(b_k(f)^(1/k))/k$ est majorée par $2M$ .
Montrer que pour tous $x$ et $h$ réels, et pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

|φ_f(x + h) - \sum_(m = 0)^(n - 1)(h^m)/(m!)φ_f^((m))(x)| ⩽ (|h|^n)/(n!)b_n(f).

Montrer que, pour un certain $A > 0$ que l'on exprimera en fonction de $M$ , on a l'égalité

φ_f(x + h) = \sum_(m = 0)^\infty(h^m)/(m!)φ_f^((m))(x)

pour tout réel

x

et pour tout

h

tel que

|h| < A

.
17) En déduire que si

ℓ

est un entier

> 0

g

une fonction de

E

admettant des moments de tous ordres tels que

a_k(f) = a_k(g)

pour tout

k \in ℕ

, alors

φ_f(x) = φ_g(x)

pour tout

x \in [ - (ℓA)/2, (ℓA)/2]

(on pourra procéder par récurrence).
18) Conclure.

E. Application

Résoudre en $f \in E$ le système d'équations suivant:

{a_(2k)(f) = (2k − 1)a_(2k − 2)(f); a_(2k − 1)(f) = 0

pour tout entier

k ⩾ 1

. (On pourra utiliser la fonction caractéristique de

f

.)
Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts MP 2009 ?

Le problème mobilise principalement les formules de Taylor, les inégalités des accroissements finis, les intégrales à paramètres, le théorème de convergence dominée et les séries entières, autour de la notion de fonction caractéristique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève des confusions entre les formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young, des inégalités appliquées à tort à des nombres complexes, et de nombreuses tentatives de bluff sur les questions dont le résultat était donné dans l'énoncé.

Quelle est la moyenne à cette épreuve Mines-Ponts maths 1 MP ?

Le rapport indique une moyenne de l'ordre de 9/20 et un écart-type de l'ordre de 3,8 pour l'ensemble de la banque Mines-Ponts.

Ce sujet demande-t-il beaucoup de rédaction ?

Oui, le jury insiste sur la nécessité de rédiger clairement, de citer précisément les théorèmes utilisés et de ne pas court-circuiter les étapes d'une démonstration.

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Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Filière MP

Problème des moments

A. Questions préliminaires.

B. La fonction φ_f caractérise f

C. La suite a_k(f) ne caractérise pas toujours f

D. Une condition sur la suite a_k(f)

E. Application

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts MP 2009 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Quelle est la moyenne à cette épreuve Mines-Ponts maths 1 MP ?

Ce sujet demande-t-il beaucoup de rédaction ?

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2009

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP 2009

B. La fonction $φ_f$ caractérise $f$

C. La suite $a_k(f)$ ne caractérise pas toujours $f$

D. Une condition sur la suite $a_k(f)$