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Centrale Mathématiques 1 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

L'opérateur d'Abel : fonctions eulériennes, séries entières et formule d'inversion
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Le sujet construit la formule d'inversion de l'opérateur d'Abel sur l'intervalle ]0,1[. Les deux premières parties établissent les propriétés des fonctions eulériennes Gamma et Bêta, notamment via l'étude asymptotique d'une série entière au voisinage du bord de son disque de convergence. La dernière partie applique ces résultats pour construire et inverser l'opérateur d'Abel sur l'espace des fonctions continues sur [0,1].

  1. 1Partie I : questions préliminaires sur la fonction GammaÉtude de la croissance et du comportement asymptotique de la fonction Gamma.
  2. 2Partie II : comportement asymptotique d'une série entièreLien entre une intégrale généralisée et la somme d'une série entière au voisinage de la borne de convergence.
  3. 3Partie III : la première fonction eulérienne (fonction Bêta)Établissement de la relation entre les fonctions Gamma et Bêta, puis de la formule des compléments.
  4. 4Partie IV : l'opérateur d'AbelConstruction de l'opérateur d'Abel sur l'espace des fonctions continues, étude de ses itérées et formule d'inversion.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Justification bâclée de l'intégrabilité · Confusion entre série, somme de la série et suite des sommes partielles · Invocation hors programme du critère de d'Alembert pour les séries entières
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Les résultats sont très contrastés : d'excellentes copies voisinent avec des copies très faibles, et les notes se répartissent sur tout l'éventail du barème. Le jury signale une erreur matérielle dans le texte remis aux candidats, jugée finalement peu pénalisante.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justification bâclée de l'intégrabilité

    L'étude de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle reste, malgré les recommandations des années précédentes, mal maîtrisée par un grand nombre de candidats.

    « malgré les recommandations données les années précédentes un traquenard pour un grand nombre de candidats »
  2. 2
    Confusion entre série, somme de la série et suite des sommes partielles

    Le rapport relève une utilisation prématurée du symbole somme avant d'avoir prouvé la convergence de la série.

    « on confond série, somme de la série, suite des sommes partielles »
  3. 3
    Invocation hors programme du critère de d'Alembert pour les séries entières

    Plusieurs candidats invoquent une règle ou un critère de d'Alembert, ou l'invariance du rayon de convergence par multiplication par une fraction rationnelle en n, alors que ce n'est pas au programme.

    « un grand nombre de candidats parle de règle, de théorème, de critère de d'Alembert pour les séries entières »
  4. 4
    Techniques élémentaires de calcul non maîtrisées

    La résolution d'une équation simple dans C et une décomposition en éléments simples ne sont souvent pas effectuées.

    « Des techniques élémentaires ne sont pas acquises »
  5. 5
    Lecture insuffisante de l'énoncé

    Un grand nombre d'étudiants ne lit pas assez attentivement l'énoncé, par exemple en recalculant une valeur déjà donnée dans le texte.

    « un assez grand nombre d'étudiants ne lit pas attentivement ou ne sait pas lire l'énoncé »

Ce qui a été bien réussi

  • Quelques candidats ont présenté des démonstrations originales et particulièrement soignées sur certaines questions, notamment II.A.3 et III.C.3.

Conseils du jury

  • Connaître précisément la définition des mots usuels : fonctions uniformément continues, lipschitziennes, fonctions polynomiales.
  • Vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes utilisés, comme le théorème de changement de variable, l'intégration par parties ou la continuité sous le signe somme.
  • Justifier toutes les assertions présentées, y compris les conditions sur les paramètres introduits.
  • Présenter une copie lisible et structurée, avec des explications accompagnant les calculs, et soigner l'orthographe.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Notations
On note E l'espace vectoriel normé des applications continues du segment [0, 1] dans ℂ muni de la norme f ↦ ‖f‖ = sup_(0 ⩽ t ⩽ 1)|f(x)| et L(E) l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans lui-même. Soient v un élément de L(E) et f un élément de E; l'image de f par v est notée vf. L'espace L(E) est muni de la norme v ↦ ‖|v‖‖ = sup‖v(f)‖.
‖f‖ ⩽ 1
Le problème se propose d'étudier quelques propriétés d'un opérateur appliquant E dans lui-même qui est introduit dans la troisième partie. Pour ce faire, dans les deux premières parties, on met en place les outils nécessaires à cette étude.
Rappels
La deuxième fonction eulérienne notée Γ est la fonction réelle définie sur l'intervalle ]0, + ∞[ par la formule suivante :
∀x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1)dt
Cette fonction est indéfiniment dérivable sur l'intervalle ]0, + ∞[ et pour tout entier naturel k et tout nombre réel x > 0,
Γ^((k))(x) = ∫_0^(+ ∞)(lnt)^k e^(− t)t^(x − 1)dt
De plus, pour tout x > 0, cette fonction vérifie l'équation
Γ(x + 1) = xΓ(x)
Comme Γ(1) = 1, il en découle que, pour tout entier naturel n,
Γ(n + 1) = n!

Partie I - Questions préliminaires

I.1) Montrer qu'il existe un réel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que Γ^′(c) = 0.
I.2) En déduire que la fonction Γ est strictement croissante sur l'intervalle [2, + ∞[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre réel γ > 0,
γ^x = ∘ (Γ(x)) au voisinage de + ∞.
Partie II - Comportement asymptotique de la somme d'une série entière au voisinage de la borne supérieure de son intervalle de convergence
II.A - Soit φ une application continue de l'intervalle [0, + ∞[ dans ℝ, intégrable sur l'intervalle [0, + ∞[. On suppose de plus qu'il existe un nombre réel t_0 ⩾ 0 tel que la fonction φ soit décroissante sur l'intervalle [t_0, + ∞[.
II.A.1) Établir que la fonction φ est positive sur l'intervalle [t_0, + ∞[. (On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre réel strictement positif.
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 ⩽ hφ(nh) ⩽ ∫_((n − 1)h)^(nh)φ(t)dt.
b) Montrer que la série ∑_(n = 0)^(+ ∞)hφ(nh) converge.
II.A.3) Prouver que:
lim_(h → 0, h > 0)h∑_(n = 0)^(+ ∞)φ(nh) = ∫_0^(+ ∞)φ(t)dt
(On pourra introduire un nombre réel a suffisamment grand et écrire :
∑_(n = 0)^(+ ∞)hφ(nh) = ∑_(n = 0)^([a/h])hφ(nh) + ∑_(n = [a/h] + 1)^(+ ∞)hφ(nh)
où [a/h] désigne la partie entière du nombre réel a/h ).
II.B - Pour tout nombre réel α > 0, on note g_α la fonction définie sur l'intervalle [0, + ∞[ par la formule g_α(t) = e^(− t)t^(α − 1).
II.B.1) Vérifier que la fonction g_α satisfait aux conditions du II.A.
En déduire que
lim_(x → 1, x < 1)(− lnx)∑_(n = 0)^(+ ∞)g_α(− nlnx) = Γ(α)
II.B.2) On considère la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)n^(α − 1)x^n.
a) Établir que le rayon de convergence de cette série entière est égal à 1 . On note S_α la somme de cette série entière.
b) Prouver que, lorsque x tend vers 1 avec x < 1, alors :
S_α(x) ∼ (Γ(α))/((1 − x)^α)

Partie III - La première fonction eulérienne

III.A -

III.A.1) Établir que, pour tout couple ( α, β ) de nombres réels strictement positifs, la fonction t ↦ t^(α − 1)(1 − t)^(β − 1) est intégrable sur l'intervalle ]0, 1[.
Pour tout couple (α, β) de nombres réels strictement positifs, on pose:
B(α, β) = ∫_0^1 t^(α − 1)(1 − t)^(β − 1)dt
III.A.2) Prouver successivement pour tout couple ( α, β ) de réels strictement positifs, les relations suivantes :
(i) B(α, β) = B(β, α)
(ii) B(α, β) = ∫_0^(+ ∞)(t^(α − 1))/((1 + t)^(α + β))dt
(on pourra utiliser le changement de variable u = t/(1 − t).)
(iii) B(α + 1, β) = α/(α + β)B(α, β).
III.B - On se propose d'établir pour tout réel α > 0 et tout réel β > 0 la formule suivante :
B(α, β) = (Γ(α)Γ(β))/(Γ(α + β))
III.B.1) À l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver l'assertion lorsque les réels α et β sont strictement supérieurs 2 .
III.B.2) Soient α et β deux nombres réels strictement supérieurs à 2 . Pour tout entier n strictement positif, on pose:
u_n(α, β) = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)(k/n)^(α − 1)(1 − k/n)^(β − 1)
a) Établir que la fonction ψ_(α, β) : t ↦ t^(α − 1)(1 − t)^(β − 1) est lipschitienne sur le segment [0, 1].
On note A_(α, β) un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-à-dire tel que :
∀x, y ∈ [0, 1], |ψ_(α, β)(x) − ψ_(α, β)(y)| ⩽ A_(α, β)|x − y|
b) Prouver que, pour tout entier n strictement positif :
|u_n(α, β) − B(α, β)| ⩽ (A_(α, β))/(2n)
c) On reprend les notations de la question (II.B.2).
Établir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0, 1[ :
S_α(x)S_β(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n(α, β)n^(α + β − 1)x^n
Déduire de la question 2.b) que, pour tout réel x, 0 ⩽ x < 1,
|S_α(x)S_β(x) − B(α, β)S_(α + β)(x)| ⩽ (A_(α, β))/2S_(α + β − 1)(x)
En utilisant le comportement des fonctions (S_γ)_(γ > 0) au voisinage du point 1, conclure que:
Γ(α)Γ(β) = B(α, β)Γ(α + β)
III.C - Formule des compléments
III.C.1) Établir que la fonction α ↦ B(α, 1 − α) est continue sur l'intervalle ]0, 1[.
III.C.2) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q.
a) Vérifier que :
B((2p + 1)/(2q), 1 − (2p + 1)/(2q)) = 2q∫_0^(+ ∞)(t^(2p))/(1 + t^(2q))dt
b) Pour tout entier k compris entre 0 et q − 1, on note :
z_k = e^(i(i2k + 1)/(2q)π).
Établir que:
(X^(2p))/(1 + X^(2q)) = − 1/(2q)∑_(k = 0)^(q − 1)z_k^(2p + 1)(1/(X − z_k) − 1/(X + z_k)).
c) Après avoir vérifié que, pour tout nombre complexe c de partie imaginaire non nulle, la fonction t ↦ 1/2ln((t − Rec)^2 + (Imc)^2) + iarctan((t − Rec)/(Imc)) est une primitive sur ℝ de la fonction t ↦ 1/(t − c), prouver en utilisant judicieusement la relation (*) que :
∫_0^(+ ∞)(t^(2p))/(1 + t^(2q))dt = − iπ/(2q)∑_(k = 0)^(q − 1)z_k^(2p + 1)
En conclure que :
∫_0^(+ ∞)(t^(2p))/(1 + t^(2q))dt = π/(2q)1/(sin((2p + 1)/(2q)π))
III.C.3) Déduire de (III.C.1) et (III.C.2) que :
∀α ∈ ]0, 1[, B(α, 1 − α) = Γ(α)Γ(1 − α) = π/(sinπα)

Partie IV -L'opérateur d'Abel

Dans toute cette dernière partie, on suppose que α est un nombre réel appartenant l'intervalle ]0, 1[.
IV.A -
IV.A.1) Établir que pour toute fonction f de E et pour tout réel x de l'intervalle ]0, 1], la fonction t ↦ (f(t))/((x − t)^α) est intégrable sur l'intervalle ]0, x[.
IV.A.2) Pour tout élément f de E, on note A_α f la fonction définie sur le segment [0, 1] par les formules suivantes :
A_α f(x) = 0 si x = 0; A_α f(x) = ∫_0^x(f(t))/((x − t)^α)dt si 0 < x ⩽ 1
a) Vérifier que, pour tout f élément de E et tout réel x du segment [0, 1],
A_α f(x) = x^(1 − α)∫_0^1(f(xt))/((1 − t)^α)dt
b) Montrer que, pour tout élément f de E, la fonction A_α f est une fonction continue sur le segment [0, 1].
c) Établir que l'application A_α : f ↦ A_α f est un endomorphisme continu de l'espace vectoriel normé E et que :
‖|A_α‖ = sup_(‖f‖ ⩽ 1)‖A_α f‖ = 1/(1 − α)
IV.B - On définit la suite (A_α^n)_(n ⩾ 0) par la condition initiale A_α^0 = id_E (application identité de E) et, pour tout n ⩾ 0, par la relation de récurrence suivante :
A_α^(n + 1) = A_α ∘ A_α^n.
IV.B.1) On pose β = 1 − α.
a) Pour tout entier n ⩾ 1, pour tout f élément de E et pour tout x du segment [0, 1] établir l'inégalité suivante:
|A_α^n f(x)| ⩽ (x^(nβ)(Γ(β))^n)/(Γ(1 + nβ))‖f‖.
b) En déduire que, pour tout n ⩾ 1, A_α^n est un endomorphisme continu de E et que :
‖|A_α^n‖| ⩽ ((Γ(β))^n)/(Γ(1 + nβ)).
IV.B.2) Pour tout nombre réel positif γ, montrer que :
lim_(n → + ∞)γ^n((Γ(β))^n)/(Γ(1 + nβ)) = 0
On pourra utiliser le résultat de la question préliminaire I.3.
IV.B.3) Soient λ un nombre complexe non nul et f un élément de E.
a) Prouver que la série de fonctions ∑_(n = 0)^(+ ∞)λ^n A_α^n f converge uniformément sur le segment [0, 1].
On note g la somme de cette série de fonctions.
b) Prouver que :
(id_E − λA_α)g = f
c) En déduire que, pour tout nombre complexe λ non nul, l'opérateur id_E − λA_α est inversible et que:
(id_E − λA_α)^(− 1) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)λ^n A_α^n
où ∑_(n = 0)^(+ ∞)λ^n A_α^n désigne l'application f ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)λ^n A_α^n(f).
IV.C - Pour tout entier naturel n, on note e_n la fonction monômiale t ↦ t^n.
IV.C.1) Soit n un entier naturel.
a) Calculer A_α e_n.
b) En déduire que :
(A_(1 − α) ∘ A_α)e_n = π/(sinπα)(e_(n + 1))/(n + 1)
IV.C.2) Ce résultat suggère d'introduire l'opérateur P défini sur E par la formule suivante :
∀x ∈ [0, 1], Pf(x) = ∫_0^x f(t)dt
Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel n,
(A_(1 − α) ∘ A_α)e_n = π/(sinπα)Pe_n
Établir que pour toute fonction polynômiale ψ,
(A_(1 − α) ∘ A_α)ψ = π/(sinπα)Pψ
IV.C.3) Formule d'inversion d'Abel.
a) Montrer que l'endomorphisme P est un endomorphisme continu de E tel que :
‖P‖‖ = sup_(‖f‖ ⩽ 1)‖Pf‖ = 1
b) On pose B_α = A_(1 − α) ∘ A_α. Montrer que:
B_α = π/(sinπα)P
c) Soit D l'opérateur qui à toute application continûment dérivable de [0, 1] dans ℂ associe sa dérivée.
Montrer que D ∘ B_α est bien défini et que:
D ∘ B_α = π/(sinπα)id_E
d) En déduire que l'opérateur A_α est injectif.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2009 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale MP 2009 ?

Le sujet porte sur les fonctions eulériennes Gamma et Bêta, les séries entières et numériques, l'intégration sur un intervalle quelconque, et se conclut par la construction de l'opérateur d'Abel sur un espace de fonctions continues.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury signale des justifications insuffisantes de l'intégrabilité, une confusion entre série et suite des sommes partielles, l'usage hors programme du critère de d'Alembert pour les séries entières, et une lecture trop rapide de l'énoncé.

Ce sujet de Centrale maths 1 MP 2009 est-il difficile ?

Le rapport ne permet pas de trancher clairement : il indique seulement que les résultats sont très contrastés et que les notes couvrent tout l'éventail du barème.

Le sujet de Centrale maths 1 MP 2009 est-il utile pour réviser les séries entières ?

Oui, la partie II relie explicitement le comportement d'une série entière au bord de son intervalle de convergence à une intégrale généralisée, ce qui en fait un bon entraînement sur ce chapitre.

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