Centrale Mathématiques 2 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2009 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales Centrale MP Mathématiques Centrale MP 2009 MP Mathématiques Mathématiques 2009

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Endomorphismes autoadjoints positifs, minimisation d'une fonctionnelle quadratique et algorithme d'Uzawa

Le problème étudie d'abord le produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs d'un espace euclidien, en établissant des résultats réutilisés ensuite. Il aborde la minimisation de la restriction d'une fonctionnelle quadratique à un sous-espace, avec une forme pénalisée et un point selle. La dernière partie présente l'algorithme de minimisation d'Uzawa pour une fonctionnelle quadratique et en étudie la convergence.

1Partie I : produit de deux endomorphismes autoadjoints positifsÉtablit plusieurs résultats sur les endomorphismes autoadjoints positifs d'un espace euclidien, réutilisés dans la suite.
2Partie II : minimisation d'une fonctionnelle quadratiqueÉtudie la minimisation de la restriction d'une fonctionnelle quadratique à un sous-espace, puis un point selle pour une forme pénalisée (topologie, calcul différentiel, quadriques).
3Partie III : algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-HurwiczPrésente, pour une fonctionnelle quadratique, l'algorithme de minimisation d'Uzawa et en étudie la convergence.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la partie I contient beaucoup de questions faciles mais souvent mal résolues, et que la diversité des thèmes a permis d'étaler les notes de façon satisfaisante.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre diagonalisable et vecteur propre · Erreurs sur le changement de structure euclidienne · Confusion point critique et extremum

La partie I, proche du cours sur les endomorphismes autoadjoints, s'est révélée très sélective malgré des questions faciles. Les questions II.A.1 à II.A.4 ont été très classantes, tandis que beaucoup de candidats ont avancé en admettant les résultats précédents dans II.B, III.A et III.B1. La diversité des thèmes abordés a permis d'étaler les notes de façon satisfaisante.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre diagonalisable et vecteur propre
Une tendance relativement fréquente consiste à croire qu'un endomorphisme diagonalisable a tous ses vecteurs propres.
« la tendance à considérer que, si u est diagonalisable, tout vecteur est propre pour u »
2
Erreurs sur le changement de structure euclidienneI.B
Dans la sous-partie I.B, de nombreuses erreurs proviennent d'une confusion entre les produits scalaires associés.
« on relève de nombreuses erreurs liées au changement de structure euclidienne »
3
Confusion point critique et extremumII.A.4.b
Les notions de point critique, d'extremum local et d'extremum global sont rarement bien distinguées en II.A.4.b.
« les notions de point critique, d'extremum local et d'extremum global sont rarement nettement distinguées »
4
Calcul inachevé en II.A.3II.A.3
Le calcul demandé en II.A.3 est souvent faux ou laissé inachevé.
« Le calcul demandé en II.A.3 est souvent faux ou inachevé »
5
Résultat retouché a posteriori
Certains candidats remplacent un résultat issu d'un calcul incorrect par un autre menant à la bonne réponse, ce qui est lourdement sanctionné.
« remplacent subrepticement un a 2 issu d’un calcul incorrect par un a conduisant au bon résultat »

Ce qui a été bien réussi

D'assez nombreux candidats ont montré d'importantes qualités dans cette épreuve.
La diversité des thèmes abordés a permis d'étaler les notes de façon satisfaisante.

Conseils du jury

Travailler en profondeur le cours : théorèmes, démonstrations et applications immédiates restent la meilleure préparation.
Soigner la présentation : orthographe correcte, écriture lisible, questions nettement séparées, résultats mis en évidence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Les calculatrices sont autorisées
Notations

n

m

sont des entiers naturels vérifiant

1 \leq m \leq n

E

F

désignent les espaces vectoriels

ℝ^n

ℝ^m

munis de leur structure euclidienne canonique. On note

I_E

l'application identité de

E

. Le produit scalaire est noté (.|.) aussi bien dans

E

que dans

F

et la norme euclidienne est notée

‖.‖.S^+(E)

désigne l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symétriques) positifs de

E

S^(+ +)(E)

le sous-ensemble constitué des endomorphismes autoadjoints définis positifs. On rappelle que, si

u \in S^(+ +)(E)

, alors

φ_u : (x, y) \mapsto (u(x)|y)

est un produit scalaire sur

E

Partie I - Produit de deux endomorphismes autoadjoints positifs

On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques généralités, que si

u

v

sont des éléments de

S^+(E)

, alors

u \circ v

est diagonalisable et son spectre est inclus dans

ℝ^+

I.A - Généralités

I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symétrique de

E

est dans

S^+(E)

(resp.

S^(+ +)(E)

) si et seulement si son spectre est inclus dans

ℝ^+

(resp.

ℝ^(+ *)

).
I.A.2) Montrer que si

u \in S^(+ +)(E)

, alors

u^(- 1) \in S^(+ +)(E)

.
I.A.3) Soit

u \in S^+(E)

.
a) Montrer qu'il existe un élément

s

S^+(E)

tel que

u = s^2

.
b) En déduire que :

\forallx \in E, (u(x)|x) = 0 \Rightarrow u(x) = 0

I.B - Preuve du résultat

u

v

désignent des éléments de

S^+(E)

.
I.B.1) On note

u_1

w

les endomorphismes de

Im(u)

induits par

u

u \circ v

respectivement.
a) Montrer que

u_1

est un élément de

S^(+ +)(Im(u))

.
b) Montrer que

w

est autoadjoint positif relativement à

φ_(u_1^(- 1))

où

φ_(u_1^(- 1))

est le produit scalaire sur

Im(u)

défini dans les notations.
I.B.2) Déduire de la question précédente que l'endomorphisme de

Im(u \circ v)

induit par

u \circ v

est diagonalisable et que son spectre est inclus dans

ℝ^+

.
I.B.3) Montrer, à l'aide de (1), que :

E = Im(u \circ v) \oplus Ker(u \circ v)

I.B.4) Conclure.
I.C - Cas particulier
a désigne un élément de

S^(+ +)(E)

f

un élément de

L(E, F)

.
I.C.1)
a) Montrer qu'il existe un unique élément

g

L(F, E)

tel que, pour tout couple

(x, y)

E \times F, (f(x)|y) = (x|g(y))

.
L'application

g

est notée

f^*

.
b) Montrer que :

Ker(f^*) = [Im(f)]^⊥

.
c) En déduire que si une suite

(z_k)_k

d'éléments de

Im(f)

est telle que la suite

(f^*(z_k))_k

converge vers 0 , alors la suite

(z_k)_k

converge vers 0 .
d) Montrer que :

f^* \circ f \in S^+(E)

I.C.2) Montrer que

a^(- 1) \circ f^* \circ f

est un endomorphismes diagonalisable de

E

et que son spectre est inclus dans

ℝ^+

.
On note

ρ

sa plus grande valeur propre.
I.C.3) Montrer que :

\forallx \in E, ‖f(x)‖^2 \leq ρ(a(x)|x)

Partie II - Minimisation d'une fonctionnelle quadratique

Désormais a désigne un élément de

S^(+ +)(E), b

est un élément fixé de

E

f

est un élément non nul de

L(E, F)

J

est l'application de

E

dans

ℝ

définie par :

\forallx \in E, J(x) = 1/2(a(x)|x) - (b|x).

II.A - Minimisation théorique

On considère un sous-espace vectoriel

V

E

et on s'intéresse à la minimisation de la restriction de

J

V

.
II.A.1) Montrer que si

‖x‖

tend vers

+ \infty

x \in V

, alors

J(x)

tend vers

+ \infty

.
II.A.2) Déduire de la question précédente l'existence d'un minimum de la restriction de

J

V

.
II.A.3) Soit (

x, y

) un élément de

V^2

tel que

x \neq y

.
a) Montrer que :

J((x + y)/2) < (J(x) + J(y))/2.

b) En déduire que la restriction de

J

V

atteint son minimum en un seul point.
II.A.4) Soit

x \in V

(t, h) \in ℝ \times V

.
a) Calculer

J(x + th) - J(x)

.
b) En déduire que la restriction de

J

V

est minimale en

x

si et seulement si

a(x) - b \in V^⊥

II.A.5) Ici

n = 3

ω

est l'élément de

E

en lequel

J

est minimale. Pour tout réel

k > J(ω)

, on note

E_k

la surface d'équation

J(x) = k

et on considère un plan vectoriel

Π

inclus dans

E

auquel

ω

n'appartient pas.
a) Déterminer la nature de la surface

E_k

et donner son centre.
b) Montrer qu'il existe une unique valeur de

k

pour laquelle

Π

est tangent à la surface

E_k

.
c) Déterminer cette valeur de

k

E_k

Π

sont d'équations respectives :

x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2x = k

x + y + z = 0

relativement à la base canonique de

E

II.B - Lagrangien augmenté

Soit

r

un réel positif et

L_r

est l'application de

E \times F

dans

ℝ

définie par

L_r(x, p) = J(x) + r/2‖f(x)‖^2 + (p|f(x))

On dit que (

x, p

) est un point selle de

L_r

si, pour tout couple (

y, q

) dans

E \times F

L_r(x, q) \leq L_r(x, p) \leq L_r(y, p)

ou encore (

L_r(x,

)estmaximaleenp

L_r(., p)

est minimale en

x

).
II.B.1) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

$L_r(x,$ . $)admetunmaximum,$
$x \in Ker(f)$ ,
$L_r(x,$ . $)estconstante.$
II.B.2) Montrer que :
$L_r(., p)$ est minimale en $x$ si et seulement si $(a + rf^* \circ f)(x) + f^*(p) = b$ .
II.B.3)
a) Montrer que ( $x, p$ ) est un point selle de $L_r$ si et seulement si

(x \in Ker(f) et a(x) + f^*(p) = b).

b) En déduire que la restriction de

J

Ker(f)

est minimale en

x

si et seulement si il existe un élément

p

F

tel que (

x, p

) est un point selle de

L_r

.
II.B.4) Soit (

x, p

) un point selle de

L_r

.
a) Montrer que (

x, p^'

) est encore un point selle de

L_r

si et seulement si

p^' - p

est un élément de

[Im(f)]^⊥

.
b) Montrer que, parmi les points selle de

L_r

du type (

x, p^'

), il en existe un et un seul pour lequel

‖p^'‖

est minimale et le caractériser.

Partie III - Algorithmes d'Uzawa et d'Arrow-Hurwicz

On reprend les notations de la partie précédente et on note

x

l'élément de

Ker(f)

en lequel la restriction de

J

Ker(f)

est minimale. On note également

p

un élément de

F

tel que (

x, p

) est un point selle de

L_r

ρ

désigne la plus grande valeur propre de

a^(- 1) \circ f^* \circ f, p_0

est fixé dans

F

(γ_k)_k

désigne une suite de réels à valeurs dans

[α, β]

, où

0 < α < β < 2(r + 1/ρ)

.
On considère la suite

(x_k)_k

d'éléments de

E

et la suite

(p_k)_k

d'éléments de

F

définies de la façon suivante :

\forallk \in ℕ, L_r(., p_k) est minimale en x_k et p_(k + 1) = p_k + γ_k f(x_k)

III.A -

III.A.1) On pose, pour tout

k

ℕ, y_k = x_k - x

r_k = p_k - p

.
a) Montrer que :

r_(k + 1) = r_k + γ_k f(y_k) et (a + rf^* \circ f)(y_k) + f^*(r_k) = 0

b) Montrer que :

‖r_k‖^2 - ‖r_(k + 1)‖^2 = γ_k[2(a(y_k)|y_k) + (2r - γ_k)‖f(y_k)‖^2] \geq α[2(r + 1/ρ) - β]‖f(y_k)‖^2

.
c) En déduire la convergence de la suite

(‖r_k‖)_k

puis celle de la suite

(x_k)_k

vers

x

III.B -

III.B.1) On pose, pour tout entier

k, p_k = p_k^- + q_k^-

où

(p_k^-, q_k^-) \in Im(f) \times [Im(f)]^⊥

et, de même,

p = p¯ + q¯

où

p = (p¯, q¯) \in Im(f) \times [Im(f)]^⊥

.
a) Montrer que la suite

(q_k^-)_k

est constante.
b) Montrer que :

f^*(p_k^- - p¯) ⟶ _(k \to \infty)0.

c) En déduire que la suite

(p_k)_k

converge vers

p¯ + q_0^-

Désormais, on choisit

p_0 = 0

et la suite

(γ_k)_k

constante égale à

γ

. Dans ces conditions, la suite

((x_k, p_k))_k

converge vers

(x¯, p¯)

point selle de

L_r

avec

‖p¯‖

minimale.
III.B.2) Montrer que :

\forallk \in ℕ, x_k = ([I_E - γ(a + rf^* \circ f)^(- 1) \circ f^* \circ f]^k \circ (a + rf^* \circ f)^(- 1))(b)

III.B.3) On suppose que, relativement à la base canonique de

E

, la matrice de

a

est diagonale, soit

diag(λ_1, \dots, λ_n)

avec

λ_1 \geq λ_2 \geq \dots \geq λ_n > 0

et que celle de

f

, relativement aux bases canoniques de

E

F

, admet pour coefficient générique

f_(i, j) = {1, si i = j et i ≤ m; 0, sinon

a) Montrer que

I_E - γ(a + rf^* \circ f)^(- 1) \circ f^* \circ f

est un endomorphisme autoadjoint de

E

qui laisse stables

Ker(f)

[Ker(f)]^⊥

. On note

ψ

l'endomorphisme induit sur

[Ker(f)]^⊥

.
b) Déterminer la norme de

ψ

subordonnée à

‖

‖; onlanoteε

.
c)

r

est supposé fixé. Comment choisir

γ

pour que

ε

soit minimal ? Quelle est alors sa valeur?
d) Quelle est alors l'influence de

r

sur la rapidité de convergence de la suite

(x_k)_k

? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de

E

F

et on se donne les matrices

A, B

F

a, b

f

par leur coefficient générique :

a_(i, j) = {i, si i = j; 1, sinon, b_i = 1, f_(i, j) = {1, si i + j = m + 1; 0, sinon.

a) Montrer que

a

est effectivement un endomorphisme de

E

défini positif.
b) Écrire une procédure effectuant lorsqu'on choisit

γ = 2r

, le calcul de

X_k

, matrice de

x_k

relativement à la base canonique de

E

(on supposera

n, m

r

définis numériquement mais on définira les matrices

A, B

F

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 2 Centrale MP 2009 ?

Le sujet porte sur les endomorphismes autoadjoints positifs, la minimisation d'une fonctionnelle quadratique sous contrainte et l'algorithme d'Uzawa.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 2 Centrale MP 2009 ?

Des confusions entre diagonalisable et vecteur propre, des erreurs de changement de structure euclidienne, et une confusion entre point critique et extremum.

Le sujet Mathématiques 2 Centrale MP 2009 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme comportant des questions faciles mais souvent mal résolues, et globalement sélectif grâce à la diversité des thèmes.

Comment bien préparer l'épreuve de Mathématiques 2 Centrale MP 2009 ?

Le rapport conseille un travail approfondi du cours (théorèmes et démonstrations) ainsi qu'une présentation soignée des copies.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 MP 2009

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...