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Centrale Mathématiques 1 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes : nombres de Bernoulli et formule d'Euler-Maclaurin
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Le problème cherche à approcher la somme d'une série de Riemann convergente en étudiant son reste. Une première approximation par comparaison série-intégrale est suivie d'un développement asymptotique obtenu par la formule de Taylor, puis retrouvé par la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin avec une expression de l'erreur. La dernière partie contrôle précisément cette erreur et montre que ces formules sommatoires ne convergent pas nécessairement.

  1. 1Partie I : étude préliminaireComparaison série-intégrale, nature des séries de Riemann et premiers termes du développement asymptotique du reste.
  2. 2Partie II : formule de Taylor et nombres de BernoulliDéfinition des nombres de Bernoulli, série génératrice z/(e^z - 1) et développement asymptotique du reste à tout ordre.
  3. 3Partie III : polynômes de Bernoulli et formule d'Euler-MaclaurinPropriétés, fonction génératrice et variations des polynômes de Bernoulli, puis formule sommatoire d'Euler-Maclaurin.
  4. 4Partie IV : compléments sur l'erreurEncadrement de l'erreur, coefficients de Fourier des polynômes de Bernoulli périodisés et comportement de l'erreur quand l'ordre augmente.

Difficulté moyenne. Le jury décrit une épreuve très progressive, avec de nombreuses questions abordables dès la première année, mais la partie II a rarement été bien traitée et la partie IV rarement abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Question de cours très classante · Formule de Taylor sans hypothèses · Condition nécessaire ou suffisante
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L'épreuve, progressive dans chaque partie, a permis aux candidats sérieux de montrer leur rigueur et leur maîtrise de l'analyse fine. L'essentiel des connaissances requises relevant de la première année, le jury a pu évaluer la maîtrise réelle du cours. La question III.A.2 marque la fin de la plupart des copies et la partie IV n'a été que rarement abordée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Question de cours très classanteI.A.2

    La nature des séries de Riemann a révélé des erreurs : décroissance de x ↦ 1/x^α affirmée pour tout α, somme d'une série écrite avant d'en avoir prouvé l'existence.

  2. 2
    Formule de Taylor sans hypothèsesI.B.2

    La formule de Taylor avec reste intégral est mal connue d'environ un tiers des candidats et ses hypothèses sont rarement énoncées. Des monotonies sont affirmées sans justification.

    « Rares sont ceux qui donnent des conditions d’application du théorème de Taylor avec reste intégral. »
  3. 3
    Condition nécessaire ou suffisanteII.A.1

    La question II.A.1 a permis de repérer les candidats qui distinguent condition nécessaire et condition suffisante ; la partie II a très rarement été bien traitée.

  4. 4
    Produit de Cauchy invoqué à tortParties II et III

    Le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas convergent en général, et l'expression « par produit de Cauchy » ne constitue pas une preuve.

    « Rappelons que le produit (de Cauchy) de séries convergentes n’est, en général, pas une série convergente. »
  5. 5
    Existence oubliéeIII.A.1

    L'énoncé demandait existence et unicité des polynômes de Bernoulli, mais plus des trois quarts des copies ne prouvent que l'unicité.

  6. 6
    Justifications absentes sur les résultats donnésI.A.1

    De nombreux résultats figurant dans l'énoncé, les correcteurs ont été très attentifs aux justifications. Un dessin ne vaut pas démonstration.

    « Signalons qu’un dessin ne peut constituer une démonstration. »

Ce qui a été bien réussi

  • L'épreuve a permis de classer correctement les candidats sérieux, malgré de nombreuses questions accessibles à des étudiants de MPSI.

Conseils du jury

  • Énoncer les hypothèses des théorèmes et celles des récurrences.
  • Éviter les formules creuses comme « par récurrence immédiate » ou « par identification », et les noms de théorèmes approximatifs.
  • Parler de télescopage pour une somme finie plutôt que de « série télescopique ».
  • Numéroter ses copies, respecter la numérotation complète des questions et séparer ou souligner les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes

L'objet de ce problème est de donner une approximation de la somme des séries de Riemann convergentes S(α) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^α) où α est un réel strictement supérieur à 1. Pour cela, on étudie le reste R_n(α) = ∑_(k = n)^(+ ∞)1/(k^α).
Dans la première partie, on donne une première approximation du reste. Cette méthode se généralisant mal, on utilise dans la deuxième partie une formule de Taylor pour obtenir simplement un développement asymptotique du reste. L'inconvénient de cette méthode est qu'elle ne donne aucun contrôle de l'erreur.
Dans la troisième partie, on retrouve à partir de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin le même développement asymptotique avec une expression de l'erreur assez satisfaisante. On a besoin dans cette partie d'une étude succincte des polynômes de Bernoulli.
Dans la dernière partie, on étudie de manière assez précise le contrôle de cette erreur, pour conclure que les formules sommatoires étudiées ne sont pas nécessairement convergentes.

Rappels et notations

On note [x] la partie entière d'un réel x.
Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) deux suites réelles. On note v_n = O(u_n) si
∃M ∈ ℝ, ∃n_0 ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ⩾ n_0 ⇒ |v_n| ⩽ M|u_n|

I Étude préliminaire

I.A - Convergence des séries de Riemann

I.A.1) Soit f une fonction réelle, définie continue et décroissante sur [a, + ∞[, où a ∈ ℝ. Montrer, que pour tout entier k ∈ [a + 1, + ∞[, on a ∫_k^(k + 1)f(x)dx ⩽ f(k) ⩽ ∫_(k − 1)^k f(x)dx.
I.A.2) En déduire la nature de la série de Riemann ∑_(n ⩾ 1)1/(n^α) selon la valeur de α ∈ ℝ.
En cas de convergence, on pose S(α) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^α).
I.A.3) Pour tout réel α > 1, montrer que 1 ⩽ S(α) ⩽ 1 + 1/(α − 1).

I.B - Première étude asymptotique du reste

Dans la suite du problème, pour tout réel α strictement supérieur à 1 et pour tout entier naturel non nul n, on pose R_n(α) = ∑_(k = n)^(+ ∞)1/(k^α).
I.B.1) En utilisant l'encadrement de la question I.A.1, montrer que R_n(α) = 1/((α − 1)n^(α − 1)) + O(1/(n^α)).
I.B.2) Soit f la fonction définie sur ℝ_+^∗ par f(x) = 1/((1 − α)x^(α − 1)). En appliquant à f la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2 , montrer que, pour tout k ∈ ℕ^∗, f(k + 1) − f(k) = 1/(k^α) − α/21/(k^(α + 1)) + A_k
où A_k est un réel vérifiant 0 ⩽ A_k ⩽ (α(α + 1))/(2k^(α + 2)).
I.B.3) En déduire que
R_n(α) = 1/((α − 1)n^(α − 1)) + 1/(2n^α) + O(1/(n^(α + 1)))
On pourrait répéter le procédé pour obtenir un développement asymptotique plus précis de R_n(α), mais la partie suivante va donner une méthode plus rapide.

II Formule de Taylor et nombres de Bernoulli

II.A - Nombres de Bernoulli

II.A.1) Montrer qu'il existe une suite réelle (a_n)_(n ∈ ℕ) ayant la propriété suivante : pour tout entier p ∈ ℕ^∗, pour tout intervalle non réduit à un point I et pour toute fonction complexe f de classe C^∞ sur I, la fonction g définie sur I par g = a_0 f + a_1 f^′ + ⋯ + a_(p − 1)f^((p − 1)) vérifie
g^′ + 1/(2!)g^(′′) + 1/(3!)g^((3)) + ⋯ + 1/(p!)g^((p)) = f^′ + ∑_(l = 1)^(p − 1)b_(l, p)f^((p + l))
où les b_(l, p) sont des coefficients indépendants de f que l'on ne cherchera pas à calculer.
II.A.2) Montrer que a_0 = 1 et que pour tout p ⩾ 1, a_p = − ∑_(i = 2)^(p + 1)(a_(p + 1 − i))/(i!). En déduire que |a_p| ⩽ 1 pour tout entier naturel p. Déterminer a_1 et a_2.
II.A.3) a) Pour tout z ∈ ℂ tel que |z| < 1, justifier que la série ∑_(p ∈ ℕ)a_p z^p est convergente.
On note φ(z) sa somme : φ(z) = ∑_(p = 0)^∞a_p z^p.
b) Pour z ∈ ℂ tel que |z| < 1, calculer le produit (e^z − 1)φ(z). En déduire que, pour tout z ∈ ℂ^∗ vérifiant |z| < 1, on a φ(z) = z/(e^z − 1).
c) Montrer que a_(2k + 1) = 0 pour tout entier k ⩾ 1. Calculer a_4.
Les nombres b_n = n!a_n sont appelés nombres de Bernoulli.

II.B - Formule de Taylor

Soit f la fonction définie sur ℝ_+^∗ par f(x) = 1/((1 − α)x^(α − 1)), où α est un réel strictement supérieur à 1 .
Dans cette question II.B, on fixe un entier naturel non nul p et on note g = a_0 f + a_1 f^′ + ⋯ + a_(2p − 1)f^((2p − 1)). Pour tout k ∈ ℕ^∗, on pose R(k) = g(k + 1) − g(k) − f^′(k) de sorte que g(k + 1) − g(k) = f^′(k) + R(k).
II.B.1) En appliquant à g la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2p, montrer qu'il existe un réel A tel que, pour tout k ∈ ℕ^∗, |R(k)| ⩽ Ak^(− (2p + α)).
II.B.2) En déduire le développement asymptotique du reste
R_n(α) = ∑_(k = n)^(+ ∞)1/(k^α) = − (a_0 f(n) + a_1 f^′(n) + a_2 f^(′′)(n) + ⋯ + a_(2p − 2)f^((2p − 2))(n)) + O(1/(n^(2p + α − 1)))
On obtient ainsi une valeur approchée de S(α), donnée par
S˜_(n, 2p − 2)(α) = ∑_(k = 1)^(n − 1)1/(k^α) − (a_0 f(n) + a_1 f^′(n) + a_2 f^(′′)(n) + ⋯ + a_(2p − 2)f^((2p − 2))(n))
II.B.3) Donner le développement asymptotique de R_n(3) correspondant au cas α = 3 et p = 3.

III Polynômes de Bernoulli et formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

On peut calculer, pour n = 100 : S˜_(100, 4)(3) = 1, 202056903159594277… tandis que S(3) vaut 1, 202056903159594285… (constante d'Apéry). La méthode de la partie II semble satisfaisante, mais ne fournit pas d'information précise sur le terme O(1/(n^(2p + α − 1))). C'est pourquoi on introduit dans cette partie les polynômes de Bernoulli et la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin.

III.A - Polynômes de Bernoulli

On définit une suite de polynômes (A_n)_(n ∈ ℕ) = (A_n(X))_(n ∈ ℕ) vérifiant les conditions suivantes
A_0 = 1, A_(n + 1)^′ = A_n et ∫_0^1 A_(n + 1)(t)dt = 0 pour tout n ∈ ℕ
Les polynômes B_n = n!A_n sont appelés polynômes de Bernoulli.

III.A.1) Propriétés élémentaires

a) Montrer que la suite (A_n)_(n ∈ ℕ) est déterminée de façon unique par les conditions III. 1 ; préciser le degré de A_n; calculer A_1, A_2 et A_3.
b) Montrer que A_n(t) = (− 1)^n A_n(1 − t) pour tout n ∈ ℕ et tout t ∈ ℝ.
c) Pour tout entier n ⩾ 2, montrer que A_n(0) = A_n(1) et que A_(2n − 1)(0) = 0.
d) On pose provisoirement c_n = A_n(0) pour tout entier naturel n. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ,
A_n(X) = c_0(X^n)/(n!) + ⋯ + c_(n − 2)(X^2)/(2!) + c_(n − 1)X + c_n
puis que, si n ⩾ 1,
(c_0)/((n + 1)!) + ⋯ + (c_(n − 2))/(3!) + (c_(n − 1))/(2!) + c_n = 0
e) En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, on a en fait c_n = a_n.

III.A.2) Fonction génératrice

a) Montrer que la série ∑_n A_n(t)z^n converge pour tout réel t ∈ [ − 1, 1] et tout complexe z vérifiant |z| < 1.
Sous ces conditions, on pose f(t, z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)A_n(t)z^n.
b) Soit z ∈ ℂ tel que |z| < 1. Montrer que la fonction t ↦ f(t, z) est dérivable sur [0, 1] et exprimer sa dérivée en fonction de f(t, z). En déduire que, si |z| < 1 et z ≠ 0,
∑_(n = 0)^(+ ∞)A_n(t)z^n = (ze^(tz))/(e^z − 1)
c) Montrer que, si z ∈ ℂ et |z| < 2π, on a (ze^(z/2))/(e^z − 1) + z/(e^z − 1) = 2(z/2)/(e^(z/2) − 1).
En déduire, pour tout entier naturel n, A_n(1/2) = (1/(2^(n − 1)) − 1)a_n.

III.A.3) Variations des polynômes de Bernoulli

On établit ici une majoration des polynômes de Bernoulli sur [0, 1].
a) Montrer que pour tout entier naturel n ⩾ 2, les variations des polynômes A_n sur [0, 1] correspondent schématiquement aux quatre cas ci-dessous :

n ≡ 0(mod4)

n ≡ 1(mod4)

n ≡ 2(mod4)

n ≡ 3(mod4)
En d'autres termes, pour n ⩾ 2, on a :
  1. Si n ≡ 2mod4, alors A_n(0) = A_n(1) > 0 > A_n(1/2); de plus, la fonction A_n est strictement décroissante sur [0, 1/2] et strictement croissante sur [1/2, 1].
  2. Si n ≡ 0mod4, alors A_n(0) = A_n(1) < 0 < A_n(1/2); de plus, la fonction A_n est strictement croissante sur [0, 1/2] et strictement décroissante sur [1/2, 1].
  3. Si n ≡ 1mod4, alors A_n(0) = A_n(1/2) = A_n(1) = 0; de plus, A_n < 0 sur ]0, 1/2[ et A_n > 0 sur ]1/2, 1[.
  4. Si n ≡ 3mod4, alors A_n(0) = A_n(1/2) = A_n(1) = 0; de plus, A_n > 0 sur ]0, 1/2[ et A_n < 0 sur ]1/2, 1[.
    b) Pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0, 1], montrer que |A_(2n)(x)| ⩽ |a_(2n)| et |A_(2n + 1)(x)| ⩽ (|a_(2n)|)/2.

III.B - Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

III.B.1) Soit f une fonction complexe de classe C^∞ sur [0, 1].
a) Montrer que pour tout entier q ⩾ 1
f(1) − f(0) = ∑_(j = 1)^q(− 1)^(j + 1)[A_j(t)f^((j))(t)]_0^1 + (− 1)^q∫_0^1 A_q(t)f^((q + 1))(t)dt
b) En tenant compte des relations trouvées dans la partie précédente, montrer que pour tout entier naturel impair q = 2p + 1
f(1) − f(0) = 1/2(f^′(0) + f^′(1)) − ∑_(j = 1)^p a_(2j)(f^((2j))(1) − f^((2j))(0)) − ∫_0^1 A_(2p + 1)(t)f^((2p + 2))(t)dt
III.B.2) Soit n ∈ ℕ et soit f une fonction réelle de classe C^∞ sur [n, + ∞[. On suppose que f et toutes ses dérivées sont de signe constant sur [n, + ∞[ et tendent vers 0 en + ∞.
En appliquant, pour k ⩾ n, le résultat précédent à f_k(t) = f(k + t), montrer
∑_(k = n)^(+ ∞)f^′(k) = − f(n) + 1/2f^′(n) − ∑_(j = 1)^p a_(2j)f^((2j))(n) + ∫_n^(+ ∞)A_(2p + 1)^∗(t)f^((2p + 2))(t)dt
où on a posé A_j^∗(t) = A_j(t − [t]) pour tout t ∈ ℝ.
Montrer que
|∫_n^(+ ∞)A_(2p + 1)^∗(t)f^((2p + 2))(t)dt| ⩽ |(a_(2p))/2||f^((2p + 1))(n)|
III.B.3) Montrer que, dans l'expression de R_n(α) du II.B.2, le terme O(1/(n^(2p + α − 1))) peut s'écrire sous forme d'une intégrale.

IV Compléments sur l'erreur

Dans cette partie, on fixe un réel α > 1 et on considère la fonction f définie sur ℝ_+^∗ par f(x) = 1/((1 − α)x^(α − 1)).

IV.A - Encadrement de l'erreur

IV.A.1) Soit g une fonction continue par morceaux croissante sur [0, 1].
En remarquant ∫_0^1 = ∫_0^(1/2) + ∫_(1/2)^1, montrer que
  • si n ≡ 1mod4, alors ∫_0^1 A_n(t)g(t)dt ⩾ 0;
    − sin ≡ 3mod4, alors ∫_0^1 A_n(t)g(t)dt ⩽ 0.
    IV.A.2) En reprenant les notations de II.B.2, montrer que pour tout entier naturel p ⩾ 1
S˜_(n, 4p)(α) ⩽ S(α) ⩽ S˜_(n, 4p + 2)(α)
et que
S˜_(n, 4p)(α) ⩽ S(α) ⩽ S˜_(n, 4p − 2)(α)
En déduire que l'erreur |S(α) − S˜_(n, 2p)(α)| est majorée par |a_(2p + 2)f^((2p + 2))(n)|.
IV.A.3) Dans cette question, on reprend le cas de II.B.3. Sachant que 6!a_6 = 1/(42), retrouver que l'erreur |S(3) − S˜_(100, 4)(3)| est majorée par une expression de l'ordre de 10^(− 17).

IV.B - Séries de Fourier

Pour tout entier naturel p ⩾ 1 et tout réel x, on pose A˜_p(x) = A_p(x/(2π) − [x/(2π)]).
IV.B.1) Montrer que A˜_p est 2π-périodique et continue par morceaux.
IV.B.2) À l'aide de la question III.B.1, déterminer les coefficients de Fourier de A˜_p :
Aˆ_p(n) = 1/(2π)∫_0^(2π)A˜_p(t)e^(− inx)dx
IV.B.3) Étudier la convergence de la série de Fourier de A˜_p.
IV.B.4) Pour p ∈ ℕ^∗, en déduire que a_(2p) = A_(2p)(0) = (− 1)^(p + 1)(S(2p))/(2^(2p − 1)π^(2p)).

IV.C - Comportement de l'erreur

IV.C.1) Montrer que, pour tous entiers n, p ⩾ 1
|(a_(2p + 2)f^((2p + 2))(n))/(a_(2p)f^((2p))(n))| = ((α + 2p)(α + 2p − 1)S(2p + 2))/(4n^2 π^2 S(2p))
IV.C.2) Que dire de l'approximation de S(α) par S˜_(n, 2p)(α) lorsque, n étant fixé, p tend vers + ∞ ? Pour le calcul numérique de S(α), comment doit-on choisir n et p ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2011 ?
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Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 1 MP 2011 ?

Il porte sur le développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes, à l'aide de la formule de Taylor, des nombres et polynômes de Bernoulli, de la formule d'Euler-Maclaurin et des séries de Fourier.

Le sujet Centrale Maths 1 MP 2011 est-il faisable en première année ?

D'après le jury, la plus grande partie du problème repose sur le programme de première année et de nombreuses questions sont abordables par des étudiants de MPSI. La dernière partie utilise en revanche les séries de Fourier.

Quelles erreurs le jury de Centrale Maths 1 MP 2011 a-t-il relevées ?

Des hypothèses de la formule de Taylor omises, des affirmations non justifiées, l'argument « par produit de Cauchy » utilisé comme preuve, et l'oubli de l'existence quand l'énoncé demandait existence et unicité.

Jusqu'où les candidats sont-ils allés dans Centrale Maths 1 MP 2011 ?

La question III.A.2 a été la fin de copie de la majorité des candidats. La partie IV a rarement été abordée et seule une poignée a réussi la question IV.B.2.

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