CCINP Mathématiques 1 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2011 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales CCINP MP Mathématiques CCINP MP 2011 MP Mathématiques Mathématiques 2011

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Séries entières, prolongement de solutions d'équations différentielles et transformation de Laplace

Le sujet comporte deux exercices, l'un sur les séries entières et l'autre sur le prolongement des solutions d'une équation différentielle, suivis d'un problème sur les propriétés élémentaires de la transformation de Laplace. Le problème se termine par un calcul classique de l'intégrale de Dirichlet à l'aide des outils précédemment établis.

1Exercice 1Étude d'une série entière et de sa somme.
2Exercice 2Étude d'une équation différentielle et du prolongement de ses solutions.
3Problème : Autour de la transformation de Laplace, Partie IExemples et propriétés élémentaires de la transformée de Laplace, notamment celle d'une dérivée et sa régularité.
4Problème, Partie IIComportements asymptotiques de la transformée de Laplace, dont le théorème de la valeur finale.
5Problème, Partie IIIApplication au calcul de l'intégrale de Dirichlet.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet comportait des questions assez simples permettant à tous les candidats de s'exprimer, ainsi qu'un nombre suffisant de questions plus délicates permettant de départager les meilleurs.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Prolongement par simple continuité · Hypothèses de domination mal maîtrisées · Confusion entre croissance bornée et dérivée bornée

Les deux exercices, plutôt faciles, ont été abordés par une grande majorité des candidats mais peu traités en totalité. Le problème, relativement court, a été bien compris dans son ensemble et souvent abordé dans sa quasi-totalité. Le sujet a bien joué son rôle de tri des candidats, un candidat de niveau moyen ayant travaillé devant pouvoir obtenir au moins la moyenne.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Prolongement par simple continuitéExercice 2, Q2
Pour le prolongement des solutions d'une équation différentielle, beaucoup de candidats se contentent de prolonger par continuité, sans étudier la dérivabilité.
« beaucoup de candid ats se contentent de prolonger par continuité »
2
Hypothèses de domination mal maîtriséesQ6
Les hypothèses de domination dans le théorème de convergence dominée et dans le théorème de Leibniz sont mal maîtrisées, par exemple une fonction dominante qui dépend encore de la variable qu'elle est censée éliminer.
3
Confusion entre croissance bornée et dérivée bornéeQ5
De nombreux candidats affirment à tort que si une fonction dérivable est croissante et majorée, alors sa dérivée est bornée.
4
Règle de d'Alembert appliquée sans soinExercice 1, Q1
La règle de d'Alembert sur les séries entières est souvent appliquée sans soin, en particulier sur la valeur absolue et le dénominateur.
5
Caractérisation séquentielle de la limite oubliéeQ8.d
La caractérisation séquentielle de la limite est très souvent oubliée à la question 8.d du problème.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 de l'exercice 2 a été traitée convenablement quand elle a été abordée.
Les deux sous-questions de la question 3 du problème ont été généralement traitées correctement.
La question 7.b du problème a été bien traitée en général.

Conseils du jury

Apprendre précisément les démonstrations des points importants du cours ainsi que les exercices et exemples de base.
Soigner la rigueur et la clarté de l'exposition attendues d'un futur ingénieur.
Savoir manipuler sa calculatrice.
Soigner la présentation de sa copie, un critère qui pénalise les copies négligées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.

Exercice 1

On considère la série de fonctions

\sum_(n ⩾ 2)(2x^n)/(n^2 - 1)

Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
On note $S$ la fonction somme de la série $\sum_(n ⩾ 2)(2x^n)/(n^2 - 1)$ . Déterminer $S$ sur $] - R, R[$ .
Démontrer que $S(x)$ admet une limite lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs strictement inférieures et déterminer cette limite.

Exercice 2

On considère l'équation différentielle

(E)2xy^' - 3y = \sqrtx

Résoudre ( $E$ ) sur $]0, + \infty[$ .
Déterminer l'ensemble des solutions de ( $E$ ) sur l'intervalle $[0, + \infty[$ .

Problème

Autour de la transformation de Laplace

Dans tout ce problème, on note :

$F(ℝ^+, ℝ)$ l'ensemble des applications de $ℝ^+$ dans $ℝ$ ;
$E$ l'ensemble des fonctions $f : ℝ^+ \to ℝ$ , continues, telles que, pour tout $x > 0$ réel, la fonction $t \mapsto f(t)e^(- xt)$ soit intégrable sur $ℝ^+$ ;
$F$ l'ensemble des fonctions continues et bornées sur $ℝ^+$ .

Pour tout

f

dans

E

, on appelle transformée de Laplace de

f

et on note

L(f)

la fonction définie pour tout

x > 0

réel par :

L(f)(x) = \int_0^(+ \infty)f(t)e^(- xt) dt

1. Question préliminaire

Soient

a \in ℝ

f : [a, + \infty[ \to ℝ

une fonction continue par morceaux. Pour tout

x

dans

[a, + \infty[

, on pose :

F(x) = \int_a^x f(t)dt

On considère les propositions suivantes :
(i)

f

est intégrable sur

[a, + \infty[

;
(ii)

F

admet une limite finie en

+ \infty

Donner, sans démonstration, toutes les implications possibles entre (i) et (ii) lorsque :
(a)

f

est positive sur

[a, + \infty[

;
(b)

f

n'est pas positive sur

[a, + \infty[

Partie I : Exemples et propriétés

(a) Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $F(ℝ^+, ℝ)$ .
(b) Démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
(c) Justifier que $L$ est une application linéaire de $E$ dans $F(ℝ_*^+, ℝ)$ , espace vectoriel des applications de $]0, + \infty[$ dans $ℝ$ .
(a) On considère la fonction $U : ℝ^+ \to ℝ$ définie par $U(t) = 1$ . Déterminer $L(U)$ .
(b) Soit $λ ⩾ 0$ réel. On considère la fonction $h_λ : [0, + \infty[ \to ℝ$ définie pour tout $t ⩾ 0$ réel par:

h_λ(t) = e^(- λt)

Démontrer que

h_λ

est dans

E

et déterminer

L(h_λ)

.
4. Soient

f

dans

E

n

dans

ℕ

. On considère

g_n : t \mapsto t^n f(t)

[0, + \infty[

dans

ℝ

Pour

x > 0

, justifier de l'existence de

A > 0

tel que

t^n e^(- xt) ⩽ e^(- (xt)/2)

pour tout

t ⩾ A

.
En déduire que

g_n

est un élément de

E

5. Transformée de Laplace d'une dérivée

Soit

f

dans

E

de classe

C^1

, croissante et bornée sur

[0, + \infty[

. Démontrer que

f^'

est encore dans

E

et que l'on a:

\forallx \in ]0, + \infty[, L(f^')(x) = xL(f)(x) - f(0)

6. Régularité d'une transformée de Laplace

(a) Démontrer que pour tout

f

dans

E

, la fonction

L(f)

est de classe

C^1

sur

]0, + \infty[

et que l'on a

L(f)^' = - L(g_1)

où

g_1

a été définie à la question 4 .
(b) Démontrer que pour tout

f

dans

E

, la fonction

L(f)

est de classe

C^\infty

sur

]0, + \infty[

et pour

x > 0

n \in ℕ

, déterminer

L(f)^((n))(x)

à l'aide d'une transformée de Laplace.

Partie II : Comportements asymptotiques de la transformée de Laplace

Dans toute cette partie,

f

est un élément de

E

.
7. On suppose dans cette question que

f

est dans

F

.
(a) Déterminer la limite en

+ \infty

L(f)

.
(b) Théorème de la valeur initiale

On suppose, de plus, que

f

est de classe

C^1

et croissante sur

ℝ^+

, avec

f^'

bornée sur

ℝ^+

.
Démontrer que

lim_(x \to + \infty)xL(f)(x) = f(0)

8. Théorème de la valeur finale

On suppose dans cette question que

lim_(t \to + \infty)f(t) = ℓ

où

ℓ

est un réel. Soit

(a_n)_(n \in ℕ)

une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0 .
(a) Démontrer que

f

appartient à

F

.
(b) Soit

n

un entier naturel. Démontrer que

a_n L(f)(a_n) = \int_0^(+ \infty)h_n(x)dx

où

h_n

est la fonction définie sur

[0, + \infty[parh_n(x) = e^(- x)f(x/(a_n))

.
(c) En déduire, à l'aide du théorème de convergence dominée, que

lim_(n \to + \infty)a_n L(f)(a_n) = ℓ

.
(d) Lorsque

ℓ \neq 0

, déterminer un équivalent de

L(f)(x)

en 0 .
9. Dans cette question, on suppose que

f

est intégrable sur

ℝ^+

et on pose

R(x) = \int_x^(+ \infty)f(t)dt

pour tout

x

dans

[0, + \infty[

.
(a) Démontrer que

R

est une fonction de classe

C^1

sur

[0, + \infty[

et déterminer

R^'

. En déduire que, pour tout

x > 0

réel, on a :

L(f)(x) = R(0) - xL(R)(x)

.
(b) On fixe

ε > 0

Justifier de l'existence de

A

réel positif tel que pour tout

t ⩾ A

, on ait

|R(t)| ⩽ ε

. En déduire que, pour tout

x > 0

, on a :

|L(f)(x) - R(0)| ⩽ x\int_0^A|R(t)|dt + ε

L(f)

se prolonge par continuité en 0 (on précisera la valeur en 0 de ce prolongement).

Partie III : Application

10. Calcul de l'intégrale de Dirichlet

Ici

f

est la fonction définie par

f(0) = 1

f(t) = (sint)/t

pour

t > 0

réel.
(a) Démontrer que la fonction

F : ℝ^+ \to ℝ

définie par

F(x) = \int_0^x f(t)dt

admet une limite réelle

ℓ

+ \infty

.
(b) En considérant la série

\sum_(n ⩾ 0)u_n

où

u_n = \int_(nπ)^((n + 1)π)|f(t)|dt

, démontrer que

f

n'est pas intégrable sur

ℝ^+

.
(c) Soit

x > 0

. Démontrer, en détaillant les calculs, que pour tout

X > 0

on a :

\int_0^X(sint)e^(- xt) dt = - 1/(1 + x^2)(e^(- xX)(xsinX + cosX) - 1)

Démontrer que la fonction

t \mapsto (sint)e^(- xt)

est intégrable sur

ℝ^+

.
Déterminer alors

\int_0^(+ \infty)(sint)e^(- xt) dt

.
(d) Déterminer, pour

x > 0

, une expression simple de

L(f)(x)

et en déduire

ℓ

Pour cela, on pourra utiliser le résultat suivant (la démarche de la preuve étant identique à celle de la question 9 ) :

é Lorsque f dans E vérifie lim_(x \to + \infty)\int_0^x f(t)dt = ℓ \in ℝ, alors lim_(x \to 0)L(f)(x) = ℓ

On notera que, par rapport à la question

9

, on a remplacé l'hypothèse

f

intégrable sur

ℝ^+

par l'hypothèse

lim_(x \to + \infty)\int_0^x f(t)dt = ℓ \in ℝ

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP MP 2011 ?

Le sujet porte sur les séries entières, le prolongement des solutions d'équations différentielles, le théorème de convergence dominée, le théorème de Leibniz et la transformation de Laplace.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Le prolongement des solutions par simple continuité sans étudier la dérivabilité, une mauvaise maîtrise des hypothèses de domination, et une confusion entre fonction croissante majorée et dérivée bornée.

Ce sujet de maths 1 CCINP MP 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme équilibré, avec des questions assez simples pour tous les candidats et des questions plus délicates pour départager les meilleurs ; un candidat de niveau moyen ayant travaillé pouvait obtenir au moins la moyenne.

Le problème sur la transformation de Laplace du sujet CCINP maths 1 MP 2011 est-il long ?

Non, le rapport le qualifie de relativement court et indique qu'il a été bien compris et souvent abordé dans sa quasi-totalité par les candidats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MP 2011

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...