Centrale Mathématiques 1 MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout le problème, ℝ^2 est muni du produit scalaire euclidien canonique noté ⟨, ⟩etdelanorme‖‖ associée.
Si Ω est un ouvert non vide de ℝ^2 et si (k, n) ∈ (ℕ^∗)^2, on note C^k(Ω, ℝ^n) l'espace des fonctions de classe C^k de Ω dans ℝ^n.
Si f ∈ C^1(Ω, ℝ^n), la différentielle de f au point p de Ω est notée df_p; sa matrice relativement aux bases canoniques de ℝ^2 et de ℝ^n est appelée matrice jacobienne de f en p et est notée Jac f(p).
Si f est dans C^2(Ω, ℝ), on dit que f vérifie (1) si et seulement si

On note P_2 l'ensemble des fonctions polynomiales de degré ⩽ 2 de ℝ^2 dans ℝ c'est-à-dire les applications de ℝ^2 dans ℝ de la forme

Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (1) sur ℝ^2 appartiennent à P_2.

Soient f et g dans C^1(ℝ^2, ℝ) vérifiant les équations, dites de Cauchy-Riemann,

On définit deux fonctions sur ℝ_+^∗ × ℝ par

Pour n ∈ ℤ, on note E_n l'espace des fonctions f de C^2(ℝ_+^∗, ℂ) telles que

I.A.1) Exprimer (∂f˜)/(∂r)(r, θ) et (∂f˜)/(∂θ)(r, θ) en fonction de r, θ, (∂f)/(∂x)(rcosθ, rsinθ) et (∂f)/(∂y)(rcosθ, rsinθ).
I.A.2) Pour tout (r, θ) ∈ ℝ_+^∗ × ℝ, montrer (∂f˜)/(∂r)(r, θ) = 1/r × (∂g˜)/(∂θ)(r, θ) et (∂g˜)/(∂r)(r, θ) = − 1/r × (∂f˜)/(∂θ)(r, θ).
I.B - Pour α ∈ ℝ, soit φ_α la fonction de ℝ_+^∗ dans ℝ définie par

I.B.1) Pour tout n ∈ ℤ^∗, déterminer les réels α tels que φ_α appartienne à E_n.
I.B.2) Déterminer E_n pour n ∈ ℤ. On discutera séparément le cas n = 0.
I.C - Pour n ∈ ℤ, soient c_(n, f) et c_(n, g) les fonctions de ℝ_+^∗ dans ℂ définies par

I.C.1) Montrer que c_(n, f) est de classe C^1 sur ℝ_+^∗ et vérifie

I.C.2) Montrer que c_(n, f) appartient à E_n et que c_(n, f) est bornée au voisinage de 0 . En déduire l'existence de a_n ∈ ℂ tel que

I.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir

I. D - Dans cette question, on suppose que les fonctions (∂f)/(∂x) et (∂f)/(∂y) sont bornées sur ℝ^2.
I.D.1) Si n ∈ ℤ, montrer que la fonction (c_(n, f))^′ est bornée sur ℝ_+^∗.
I.D.2) Montrer que les fonctions (∂f)/(∂x) et (∂f)/(∂y) sont constantes.

Si I est un intervalle de ℝ, on dit que u ∈ C^1(I, ℝ) vérifie (II.1) sur I si et seulement si

II. A - Déterminer les fonctions de P_2 vérifiant (1) sur ℝ^2.
II. B - En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si (t_0, u_0) est dans (ℝ^∗)^2, l'existence d'un intervalle ouvert I de ℝ contenant t_0 et d'une fonction u ∈ C^1(I, ℝ) telle que u soit solution de (II.1) sur I et vérifie u(t_0) = u_0.
II. C - Soit J un intervalle ouvert non vide de ℝ. Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (II.1) sur J ?
II.D - Soient J un intervalle ouvert non vide de ℝ, Ω(J) = {(x, y) ∈ ℝ^2, xy ∈ J}, w dans C^2(J, ℝ) et W la fonction définie par

II.D.1) Montrer que Ω(J) est un ouvert non vide.
II.D.2) Montrer que W est dans C^2(Ω(J), ℝ) et que l'on a équivalence entre
i. W vérifie (1) sur Ω(J),
ii. w^′ vérifie (II.1) sur J.
II.D.3) Montrer que W est la restriction à Ω(J) d'une fonction de P_2 si et seulement si w est affine.
II.E - Soient Ω un ouvert non vide de ℝ^2, f dans C^2(Ω, ℝ) vérifiant (1) sur Ω, (a, b) ∈ ℝ^2, Ω_(a, b) l'image de Ω par la translation de vecteur (a, b) et f_(a, b) la fonction définie sur Ω_(a, b) par

Montrer que f_(a, b) vérifie (1) sur Ω_(a, b).
II. F - Si (x_0, y_0) est dans ℝ^2, montrer qu'il existe un ouvert U de ℝ^2 contenant ( x_0, y_0 ) tel que l'ensemble des fonctions de C^2(U, ℝ) vérifiant (1) sur U et ne coïncidant sur U avec aucun élément de P_2 soit infini.

III. A - Rappeler la définition d'un C^1-difféomorphisme de ℝ^2 sur ℝ^2 et le théorème caractérisant un tel difféomorphisme parmi les applications de classe C^1 de ℝ^2 dans ℝ^2.

Dans la suite de cette partie, on considère α ∈ ℝ_+^∗ et F ∈ C^1(ℝ^2, ℝ^2). On suppose que pour tout (p, h) ∈ ℝ^2 × ℝ^2

Le but de cette partie est de montrer que F est un C^1-difféomorphisme.
III. B - Soient p et q dans ℝ^2.
III.B.1) Vérifier

III.B.2) Montrer

III. C - Soient a ∈ ℝ^2 et G^a l'application de ℝ^2 dans ℝ définie par

III.C.1) Si p et h sont dans ℝ^2, calculer dG^a_p(h).
III.C.2) Montrer que G^a(p) → + ∞ quand ‖p‖ → + ∞.
III.C.3) En déduire que G^a atteint un minimum global sur ℝ^2 en un point p_0.
III.C.4) Montrer que F(p_0) = a.
III.D - Montrer que F réalise un C^1-difféomorphisme de ℝ^2 sur ℝ^2.

Soit f dans C^2(ℝ^2, ℝ) vérifiant (1) sur ℝ^2.
Pour (x, y) ∈ ℝ^2, soient u(x, y) = x + (∂f)/(∂x)(x, y), v(x, y) = y + (∂f)/(∂y)(x, y) et F(x, y) = (u(x, y), v(x, y)).
On suppose dans les questions IV.A et IV.B que (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y) > 0 pour tout (x, y) ∈ ℝ^2.
IV.A - Si(x, y) ∈ ℝ^2, montrer que JacF(x, y) − I_2 (où I_2 désigne la matrice identité d'ordre 2) est symétrique positive. En déduire que F est un C^1-difféomorphisme de ℝ^2 sur ℝ^2.

Dans la suite, soient, pour (x, y) ∈ ℝ^2, r(x, y) = (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y), s(x, y) = (∂^2 f)/(∂x∂y)(x, y) et t(x, y) = (∂^2 f)/(∂y^2)(x, y) de sorte que, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, r(x, y) > 0 et r(x, y)t(x, y) − s(x, y)^2 = 1.
IV.B -
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions φ et ψ dans C^1(ℝ^2, ℝ) telles que

IV.B.2) Calculer (∂φ)/(∂u)(u(x, y), v(x, y)), (∂φ)/(∂v)(u(x, y), v(x, y)), (∂ψ)/(∂u)(u(x, y), v(x, y)) et (∂ψ)/(∂v)(u(x, y), v(x, y)) (que l'on abrégera en (∂φ)/(∂u), (∂φ)/(∂v), (∂ψ)/(∂u) et (∂ψ)/(∂v) ) en fonction de r(x, y), s(x, y) et t(x, y) (que l'on abrégera en r, s et t ).
IV.B.3) Montrer que (∂φ)/(∂u) et (∂φ)/(∂v) sont bornées sur ℝ^2.
IV.B.4) Montrer, en utilisant la première partie, que (∂φ)/(∂u) et (∂φ)/(∂v) sont constantes.
IV.B.5) En déduire que r, s et t sont constantes.
IV.C - Montrer que les seules fonctions de C^2(ℝ^2, ℝ) vérifiant (1) sur ℝ^2 appartiennent à P_2.