Mines Mathématiques 1 MP MPI 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Calcul des variations : équation d'Euler-Lagrange, identité de Beltrami, ligne droite, cycloïde et caténoïde

La première épreuve de mathématiques MP-MPI des Mines 2026 (3 heures) porte sur le calcul des variations, qui cherche le minimum d'une application associant une intégrale à une fonction. Après le lemme fondamental du calcul variationnel, le sujet établit l'équation d'Euler-Lagrange et l'identité de Beltrami, puis les applique au plus court chemin, à la courbe de descente la plus rapide et à la forme d'un film de savon.

1Partie I : lemme fondamental du calcul variationnel (Q1 à Q4)Régularité C∞ de la fonction valant e^(-1/x) pour x > 0, construction d'une fonction C∞ strictement positive sur un intervalle et nulle ailleurs, puis nullité d'une fonction orthogonale à toutes ces fonctions tests.
2Partie II : équation d'Euler-Lagrange (Q5 à Q10)Perturbation d'un extremum local, dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre, intégration par parties, équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami.
3Partie III : le chemin le plus court est la ligne droite (Q11)Application de l'identité de Beltrami à la longueur d'un graphe pour montrer que l'extremum est une fonction affine.
4Partie IV : le chemin le plus rapide est la cycloïde (Q12 à Q15)Équation vérifiée par la courbe de temps minimal, étude de la fonction arccotan et paramétrage de la trajectoire par une cycloïde.
5Partie V : la caténoïde (Q16 à Q18)Équation différentielle vérifiée par le profil d'un film de savon entre deux cercles, étude de argch et expression explicite du profil.

Difficulté moyenne. Selon le jury, la longueur et la difficulté étaient raisonnables puisque les meilleurs candidats ont pratiquement terminé l'épreuve.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Dérivée d'une composée fausse · Prolongement de la dérivée sans hypothèse de continuité · Domination oubliée

Les cinq parties n'étaient pas indépendantes mais tous les résultats utiles étaient donnés, ce qui évitait les blocages. Le classement a été convenable avec des résultats très contrastés, car les questions 11, 12 et 16 reposent sur la même technique. Le jury regrette la faiblesse des copies sur les questions de niveau première année et une présentation encore dégradée, qui rendait parfois les dérivées partielles illisibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Dérivée d'une composée fausseQ1
Une proportion non négligeable de copies dérive x ↦ P(1/x) en x ↦ P'(1/x), oubliant le facteur venant de la fonction intérieure.
« Nous avons été très surpris par la faiblesse des copies sur ces questions »
2
Prolongement de la dérivée sans hypothèse de continuitéQ2
Le théorème exige des hypothèses précises, dont la continuité, souvent absente.
« Il y a eu très peu de solutions complètes. »
3
Domination oubliéeQ7
Pour dériver l'intégrale à paramètre, la régularité est souvent justifiée mais pas la domination.
« l'hypothèse de domination, pour laquelle les hypothèses de l'énoncé étaient légèrement insuffisantes a souvent été carrément oubliée. »
4
Règle de Beltrami appliquée sans vérificationQ11, Q12, Q16
Il fallait définir une fonction (x, y, z) ↦ f(x, y, z), préciser son domaine et vérifier que la dérivée partielle en x est nulle, puis résoudre l'équation avec des arguments de continuité et de non-nullité.
« Obtenir la bonne équation sans les précisions précédentes ne rapportait pas la totalité des points »
5
Bluff sur des résultats donnésQ8, Q14, Q15
Quand la réponse figure dans l'énoncé, le correcteur est particulièrement attentif aux justifications ; une intégration par parties passée sous silence peut tourner à la tentative d'escroquerie.
« il y a eu beaucoup de tentatives de bluff, puisque les réponses étaient indiquées dans l'énoncé. »
6
Dérivée d'une fonction réciproqueQ13, Q17
Ces questions de niveau première année ont souffert de défauts de rédaction : oublier l'hypothèse de continuité invalide la démonstration.
« les performances sur le calcul de la dérivée de la réciproque d'une fonction ont été décevantes. »

Ce qui a été bien réussi

La question 5 est plus satisfaisante, à condition de justifier la continuité de l'intégrande sur le segment.
La question 9 est souvent réussie.
À la question 4, les bons candidats ont mené le raisonnement par l'absurde attendu.
Les candidats qui ont compris la technique commune aux questions 11, 12 et 16 se sont assuré une avance confortable.

Conseils du jury

Réviser le programme de première année, qui fait partie du programme du concours.
Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer.
Pour réutiliser un résultat antérieur, en vérifier les hypothèses au lieu d'écrire « d'après la première partie ».
Rédiger explicitement l'intégration par parties plutôt que de s'affranchir du formalisme.
Soigner l'écriture : une question illisible reçoit zéro.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES

I

- MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Équation d'Euler-Lagrange et quelques applications

Préambule

-Les lettres N et R désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres réels.
-Soit $(E, ‖ \cdot ‖)$ un R espace vectoriel normé. Soit $A$ une partie non vide de $E$ . Soit $T : A \to R$ une application. Soit $x_0 \in A$ . On dit que $T$ admet un minimum local (resp. un maximum local) en $x_0$ si :
$\existsr > 0, \forallx \in A, (‖x - x_0‖ \leq r) ⟹ (T(x) \geq T(x_0) (resp. T(x) \leq T(x_0))).$
Un minimum ou un maximum local sera appelé un extremum local de $T$ .
-Dans tous les espaces fonctionnels rencontrés dans le sujet, la norme utilisée est la norme $‖ \cdot ‖_\infty$ .

I - Lemme fondamental du calcul variationnel

Soient

a, b \in R

deux réels tels que

a < b

. Soit

f : [a, b] \to R

une fonction continue telle que pour toute fonction

h \in C^\infty([a, b], R)

vérifiant

h(a) = h(b) = 0

, on a :

\int_a^b f(x)h(x)dx = 0.

Le but de cette partie est de montrer que

f

est nulle sur

[a, b]

.
Soit la fonction

φ

définie sur

R

par : pour tout

x ∈ R, φ(x) = {e^(− 1/x), si x > 0; 0, si x ≤ 0

1▷ Justifier que $φ$ est de classe $C^\infty$ sur $R_+^⋆$ . Montrer que pour tout $n \in N$ , il existe une fonction polynomiale $P_n$ définie sur $R_+^⋆$ telle que
$\forallx \in R_+^⋆, φ^((n))(x) = P_n(1/x)e^(- 1/x).$
2▷ En déduire que $φ$ est de classe $C^\infty$ sur R.

3▷ Soient $c < d$ deux réels. Construire une fonction $ψ_(c, d)$ définie et de classe $C^\infty$ sur $R$ , telle que $ψ_(c, d)(x) > 0$ pour tout $x \in ]c, d[$ et $ψ_(c, d)(x) = 0$ pour tout $x \in R∖]c, d[$ .
4▷ En déduire que $f$ est nulle sur $[a, b]$ .

II - Équation d'Euler-Lagrange

Soient

U

V

deux ouverts de

R

non vides. Soient

x_A

x_B

deux réels tels que

x_A < x_B

. Soit

f : [x_A, x_B] \times U \times V \to R

une fonction, continue sur

[x_A, x_B] \times U \times V

et de classe

C^2

sur l'ouvert

]x_A, x_B[ \times U \times V

. Soient

y_0

y_1

deux réels fixés de

U

On introduit également l'ensemble

C

des fonctions

y : [x_A, x_B] \to R

des fonctions de classe

C^2

sur

[x_A, x_B]

telles que

y(x_A) = y_0, y(x_B) = y_1

\forallx \in [x_A, x_B], y(x) \in U et y^'(x) \in V.

Soit enfin l'application

T

définie sur

C

par :

\forally \in C, T(y) = \int_(x_A)^(x_B)f(x, y(x), y^'(x))dx

5▷ Justifier que $T(y)$ existe bien pour tout $y \in C$ .

On suppose que

T

admet un extremum local en

z_0 \in C

. Soit

η : [x_A, x_B] \to R

une fonction de classe

C^2

telle que

η(x_A) = η(x_B) = 0

. Pour

ε \in R

, on introduit la fonction

y_ε

définie sur

[x_A, x_B]

par

y_ε(x) = z_0(x) + εη(x)

$6▹$ Montrer qu'il existe $α > 0$ tel que pour tout $ε \in ] - α, α[, y_ε \in C$ . On pourra raisonner par l'absurde et utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass.

On introduit sur

] - α, α[

la fonction

φ

par

\forallε \in ] - α, α[, φ(ε) = \int_(x_A)^(x_B)f(x, y_ε(x), y_ε^'(x))dx.

7▷ Montrer que $φ$ est de classe $C^1$ sur $] - α, α[$ et que
$\forallε \in ] - α, α[, φ^'(ε) = \int_(x_A)^(x_B)(η(x)(\partialf)/(\partialy)(x, y_ε(x), y_ε^'(x)) + η^'(x)(\partialf)/(\partialz)(x, y_ε(x), y_ε^'(x)))dx.$
8▷ Montrer alors que
$\int_(x_A)^(x_B)((\partialf)/(\partialy)(x, z_0(x), z_0^'(x)) - d/(dx)((\partialf)/(\partialz)(x, z_0(x), z_0^'(x))))η(x)dx = 0.$

9▷ En déduire la relation suivante, appelée équation d'Euler-Lagrange :
$\forallx \in [x_A, x_B], (\partialf)/(\partialy)(x, z_0(x), z_0^'(x)) - d/(dx)((\partialf)/(\partialz)(x, z_0(x), z_0^'(x))) = 0.$
$10▹$ Montrer que si pour tout $(x, y, z) \in ]x_A, x_B[ \times U \times V, (\partialf)/(\partialx)(x, y, z) = 0$ , alors on a l'égalité suivante, appelée identité de Beltrami :
$\existsC \in R, \forallx \in ]x_A, x_B[, f(x, z_0(x), z_0^'(x)) - z_0^'(x)(\partialf)/(\partialz)(x, z_0(x), z_0^'(x)) = C.$

III - Le chemin le plus court est la ligne droite !

R^2

est muni d'un repère orthonormé

(O; ı⃗, ȷ⃗)

pour le produit scalaire usuel. On se donne deux points

A(x_A, y_A)

B(x_B, y_B)

R^2

avec

x_A < x_B

. Pour toute fonction

g : [x_A, x_B] \to R

de classe

C^1

vérifiant

g(x_A) = y_A

g(x_B) = y_B

, on définit la longueur du graphe de

g

, noté

L(g)

, par :

L(g) = \int_(x_A)^(x_B)\sqrt(1 + g^'(x)^2) dx

On note

C

l'ensemble des fonctions

y

de classe

C^2

définies sur

[x_A, x_B]

vérifiant

y(x_A) = y_A

y(x_B) = y_B

. Soit

T

l'application définie sur

C

par :

T : y \in C \mapsto \int_(x_A)^(x_B)\sqrt(1 + y^'(x)^2) dx.

On suppose que

T

admet un extremum en

y_0 \in C

11 ▷ En utilisant l'identité de Beltrami, montrer que

y_0

est une fonction affine.

IV - Le chemin le plus rapide est la cycloïde

R^2

est muni d'un repère orthonormé

(O; ı⃗, ȷ⃗)

pour le produit scalaire usuel. Le but de cette partie est de préciser la trajectoire d'un point

M

minimisant le temps entre deux points

A

B

tous les deux fixés. Le point

M

est uniquement soumis au champ de pesanteur et on néglige les frottements. Le point

M

est initialement en

A

et la vitesse est supposée nulle.

Ls points

A

B

ont pour coordonnées respectives

(x_A, y_A)

(x_B, y_B)

dans le repère

(O; ı⃗, ȷ⃗)

avec

y_A > 0

y_B > 0

. On note

y_0 : [x_A, x_B] \to R_+^⋆

la courbe minimisant le temps de trajet que l'on suppose de classe

C^2

sur

[x_A, x_B]

Les lois de la mécanique montrent que

y_0

minimise l'application

y \in C \mapsto T(y) = \int_(x_A)^(x_B)\sqrt((1 + y^'(x)^2)/(y(x)))dx

où

C

est l'ensemble des fonctions

y

de classe

C^2

sur

[x_A, x_B]

vérifiant

y(x_A) = y_A

y(x_B) = y_B

et telle que pour tout

x \in [x_A, x_B], y(x) > 0

et pour tout

x \in ]x_A, x_B]

y^'(x) < 0

12 ▷ Montrer qu'il existe un réel

C

tel que

\forallx \in [x_A, x_B], y_0(x)(1 + y_0^'(x)^2) = C.

Dans la suite de cette partie, on supposera, pour simplifier,

C = 2

13▹

On définit la fonction cotan par

cotan(x) = (cos(x))/(sin(x))

. Préciser le domaine de définition de la fonction cotan. Montrer que sa restriction à l'intervalle

]0, π[

est bijective sur un intervalle que l'on précisera. On notera arccotan sa bijection réciproque. Calculer arccotan' lorsque cela est possible.

On pose pour tout

x \in [x_A, x_B], θ(x) = 2arccotan(y_0^'(x))

14▹

Montrer que pour tout

x \in [x_A, x_B], y_0(x) = 1 - cos(θ(x))

.
15 ▷ Montrer alors qu'il existe un réel

c

tel que

\forallx \in [x_A, x_B], x = θ(x) - sin(θ(x)) + c.

L'arc paramétré par

θ \mapsto (θ - sin(θ) + c, 1 - cos(θ))

est appelé une cycloïde : c'est la trajectoire suivi par un point fixe sur une roue de vélo en translation uniforme.

V - Une application à une structure optimale : la caténoïde

R^3

est muni d'un repère orthonormé

(O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)

pour le produit scalaire usuel. Dans cette partie, nous nous intéressons à la forme qu'adopte un film de savon s'appuyant sur deux cercles définissant un cylindre droit; la forme adoptée par le film de savon est appelée caténoïde. Sans perte de généralité, on suppose que le premier cercle a pour système d'équation

{y^2 + z^2, = 1; x, = 0

et le second cercle

{y^2 + z^2, = 1; x, = 1

. On peut montrer que

y_0 : [0, 1] \to R

paramétrant l'ordonnée du film de savon, que l'on suppose être de classe

C^2

sur [0, 1], minimise la fonctionnelle

T : y \in C \mapsto 2π\int_0^1 y(x)\sqrt(1 + y^'(x)^2) dx,

où

C

est l'ensemble des fonctions

y : [0, 1] \to R

vérifiant

y(0) = y(1) = 1

et de classe

C^2

sur [0, 1] muni de la norme infini.

16 ▷ Montrer qu'il existe un réel

c

non nul tel que

\forallx \in [0, 1], 1 + y_0^'(x)^2 = c^2 y_0(x)^2.

17 ▷ Montrer que la restriction de la fonction

ch(x) = (e^x + e^(- x))/2

R_+

est une bijection de

R_+

dans

[1, + \infty[

. On note argch sa bijection réciproque. Calculer argch' lorsque cela est possible.

On suppose en outre que pour tout

x \in [0, 1], y_0^'(x) > 0

c^2 y_0(x)^2 > 1

18 ▷ Donner une expression explicite de

y_0

(dépendant éventuellement d'une constante d'intégration).

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 MP-MPI des Mines 2026 ?

Sur le calcul des variations : lemme fondamental, équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami, appliquées à la ligne droite, à la cycloïde et à la caténoïde.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 MP Mines 2026 ?

Dérivées de composées fausses, hypothèses de continuité et de domination oubliées, règle de Beltrami appliquée sans vérifier ses hypothèses, bluff sur les résultats donnés et dérivée de la réciproque mal calculée.

Le sujet de maths 1 MP Mines 2026 est-il faisable en première année ?

En partie : le jury classe les questions 1, 2, 13 et 17 au niveau de première année et insiste sur leur révision. Il ne précise pas le niveau des autres questions.

Le sujet de maths 1 MP-MPI Mines 2026 était-il long ?

Non, le jury juge sa longueur et sa difficulté raisonnables : les meilleurs candidats l'ont pratiquement terminé, et les questions 14, 15 et 18 ont été peu abordées.

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