Mines Mathématiques 2 MP MPI 2026Sujet et rapport du jury

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Préambule

I. Quelques propriétés de O_n(R)

• 1▹ Pour tout θ ∈ R, on note :
  R_θ = (cos(θ), − sin(θ); sin(θ), cos(θ)).
  Examiner sa diagonalisabilité sur R, puis sur C.
• 2▹ Prouver que SO_2(R) = {R_θ, θ ∈ R}, autrement que par une simple référence au cours.
• 3▹ Montrer que O_n(R) est un ensemble compact et non connexe par arcs.
• 4▹ Prouver que SO_n(R) est connexe par arcs (on pourra commencer par le cas n = 2 ).
• 5▷ Prouver que, si H est un sous-groupe multiplicatif de O_n(R) contenant SO_n(R), alors H = SO_n(R) ou H = O_n(R).
• 6▷ Soient p ∈ ]0, 1[, Y = (Y_(i, j))_((i, j) ∈ (N^∗)^2) une famille de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, T, P), indépendantes et de même loi donnée par Y_(1, 1) ∼ B(p). On définit alors la matrice à coefficients aléatoires :
  ∀ω ∈ Ω, Z_n(ω) = (Y_(i, j)(ω))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(R).
  Calculer les probabilités : P(Z_2 ∈ GL_2(R)), P(Z_n ∈ O_n(R)), puis P(Z_n ∈ SO_n(R)).

• 7▷ Soient x, y dans E tels que ‖x‖ = ‖y‖. Montrer qu'il existe une matrice de réflexion A telle que Ax = y.
• 8▷ Soit G un sous-groupe compact de (GL_n(R), ×), tel que O_n(R) ⊂ G. Soient G ∈ G et x ∈ E tel que ‖x‖ = 1. Prouver que, pour tout p ∈ Z, il existe G_p ∈ G tel que :
  G_p x = ‖Gx‖^p ⋅ x
  (on pourra tout d'abord traiter le cas p = 1 ).
• 9▷ Conclure que G = O_n(R).

II. Calcul différentiel sur O_n(R) et SL_n(R)

• 10▹ On note f : M ∈ M_n(R) ↦ M^⊤M ∈ M_n(R). Prouver que f est de classe C^1 et exprimer sa différentielle df(M) en tout M ∈ M_n(R).
• 11▹ On note T l'espace tangent à O_n(R) en I_n, c'est-à-dire l'ensemble des matrices H ∈ M_n(R) telles qu'il existe ε > 0 et γ : ] − ε; ε[ → O_n(R) dérivable en 0 vérifiant γ(0) = I_n et γ^′(0) = H. Montrer que T est inclus dans l'ensemble des matrices antisymétriques.
• 12▷ Prouver que T est stable par somme, puis qu'il possède une structure d'espace vectoriel.
• 13□ Déterminer l'ensemble T.
• 14▷ On introduit g (carré de la norme euclidienne usuelle sur M_n(R) ) :
  g : M ∈ M_n(R) ↦ tr(M^⊤M) ∈ R.
  Prouver que la restriction de g à SL_n(R) ne possède pas de maximum global.
• 15▷ Prouver que g et l'application det : M ∈ M_n(R) ↦ det(M) ∈ R sont de classe C^1 sur M_n(R) et déterminer leur gradient en tout M ∈ M_n(R) (en particulier, on justifiera que ∇det(M) = Com(M) : comatrice de M ).
• 16▷ On suppose que la restriction de g à SL_n(R) admet un extremum local en M. Prouver qu'il existe λ ∈ R tel que M = λ ⋅ Com(M), puis que M ∈ SO_n(R).
• 17▷ Prouver que la restriction de g à SL_n(R) possède un minimum global, puis calculer ce minimum ainsi que les points où il est atteint.

III. Morphismes continus de U dans GL_n(R)

• 18▷ Déterminer les sous-groupes bornés du groupe multiplicatif R^∗. En déduire que φ(U) ⊂ SL_n(R).
• 19▹ Soit z ∈ U. Prouver que Sp_C(φ(z)) ⊂ U.
• 20▹ On note Ψ : x ∈ R ↦ φ(e^(ix)). Prouver que :
  ∀(x, y) ∈ R^2, Ψ(x + y) = Ψ(x)Ψ(y).
  Le but de ce qui suit est de donner (question 29 ▷) une forme générale pour Ψ, impliquant l'ensemble O_n(R).
• 21▷ On introduit :
  F : x ∈ R ↦ ∫_0^x Ψ(t)dt ∈ M_n(R).
  Prouver que F est une application C^1 sur R et qu'il existe α > 0 tel que F(x) est inversible si x ∈ [ − α; α]∖{0} - on pourra, en justifiant, utiliser le fait que GL_n(R) est un ouvert de M_n(R).
• 22▷ Prouver que, pour tout x ∈ R,
  Ψ(x) = (∫_x^(x + α)Ψ(t)dt)(F(α))^(− 1),
  en déduire que Ψ est C^1 sur R.
• 23▷ On pose M = Ψ^′(0). Montrer que :
  ∀x ∈ R, Ψ(x) = φ(e^(ix)) = exp(xM).

IV. Morphismes de (R, +) dans (GL_n(R), ×)

• 24▹ Soient A, B dans M_n(R). On suppose que A et B sont semblables dans M_n(C). Prouver que A et B sont semblables dans M_n(R).
• 25▹ Soit N ∈ M_n(C) une matrice nilpotente et non nulle. Montrer que ker(N) ≠ ker(N^2).

• 26▹ Calculer exp(2πM), en déduire que Sp_C(M) ⊂ {ik, k ∈ Z}.
• 27▷ Justifier que M est semblable dans M_n(C) à une matrice de la forme D + N avec : D diagonale, N nilpotente, DN = ND et Sp_C(D) = Sp_C(M).
• 28▹ Calculer exp(2πD) et exp(2πN), puis montrer que N est nulle.
• 29Prouver qu'il existe Q ∈ GL_n(R), p ∈ N, k_1, …, k_p dans Z∖{0}, tels que :
  ∀x ∈ R, Ψ(x) = Q(R_(xk_1), (0); ⋱; R_(xk_p); 1; ⋱; (0), 1)Q^(− 1),
  la matrice du milieu étant diagonale par blocs et la notation R_θ ayant été définie à la question 1.
• 30▷ Réciproquement, prouver que la définition précédente fait de Ψ un morphisme de groupes de (R, +) dans (GL_n(R), ×).