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CCINP Mathématiques 2 MP 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Accessible
Informatique (graphes, SQL), polynômes de Tchebychev et réduction des matrices de rang 1
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Le sujet comporte un exercice d'informatique commune sur les graphes orientés et le langage SQL, un exercice sur un produit scalaire faisant apparaître les polynômes de Tchebychev, et un problème sur la réduction des matrices de rang 1. Le problème commence par des exemples construits avec des variables aléatoires puis établit des résultats théoriques généraux sur la diagonalisabilité de ces matrices. Le rapport indique que ces trois parties étaient indépendantes entre elles.

  1. 1Exercice 1 : graphes et SQLÉcriture de fonctions Python sur des graphes orientés représentés par dictionnaires d'adjacence, puis deux requêtes SQL.
  2. 2Exercice 2 : polynômes de TchebychevÉtude d'un produit scalaire sur les polynômes et construction d'une base orthonormée à l'aide des polynômes de Tchebychev.
  3. 3Problème, partie I : exemplesÉtude de matrices aléatoires de rang 1 construites à partir de variables aléatoires de Bernoulli puis de Poisson.
  4. 4Problème, partie II : résultats générauxÉtablissement des résultats théoriques sur la diagonalisabilité et la similitude des matrices de rang 1.

Accessible. Le rapport indique que le sujet était très abordable, de longueur très raisonnable, avec des thèmes classiques, tout en proposant quelques questions difficiles permettant de bien classer les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,09 / 20 · écart-type 4,94 · 6 871 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,09/ 20
Écart-type
4,94
Présents
6 871
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,0905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreurs de syntaxe Python sur les dictionnaires · Impasse sur les questions d'informatique et de SQL · Convergence de l'intégrale mal justifiée
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Le sujet a été globalement bien compris par les candidats, une majorité ayant pu le traiter entièrement. Le jury regrette toutefois qu'une partie non négligeable des candidats ait fait l'impasse totale sur l'informatique ou ait bâclé ces questions en fin d'épreuve, alors qu'elles rapportent autant de points que les questions de mathématiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs de syntaxe Python sur les dictionnairesQ1

    À la question 1, de grosses erreurs de syntaxe sur les dictionnaires et des confusions entre clés et valeurs ont nui à la réussite de la question.

  2. 2
    Impasse sur les questions d'informatique et de SQLQ5

    Certains candidats ont fait l'impasse sur le langage SQL à la question 5, une question pourtant facile.

  3. 3
    Convergence de l'intégrale mal justifiéeQ9

    À la question 9, la continuité par morceaux de l'intégrande et la positivité ont souvent été oubliées, et de nombreux équivalents se sont avérés aberrants.

    « beaucoup d’équivalents se sont avérés aberrants »
  4. 4
    Nullité du polynôme mal justifiéeQ10

    À la question 10, le caractère défini du produit scalaire a été mal justifié, beaucoup de candidats n'ayant pas pensé à l'argument du nombre de racines pour conclure à la nullité du polynôme.

  5. 5
    Loi binomiale mal justifiéeQ14

    À la question 14, les correcteurs attendaient simplement l'explication du fait que les Xi au carré ont la même loi que les Xi et que les Xi sont indépendantes.

  6. 6
    Calculs truqués pour retrouver un résultat donnéQ20

    À la question 20, dont la formule était donnée dans l'énoncé, certains candidats ont truqué leur calcul pour arriver au résultat demandé, ce qui a été sanctionné.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 7, classique, a été très bien réussie.
  • La consigne de mettre en valeur les résultats a été globalement bien respectée.
  • La question 6 de SQL, qui demandait une jointure, a été plutôt bien réussie par les candidats ayant appris leur cours.

Conseils du jury

  • Ne pas faire l'impasse sur les questions d'informatique, qui rapportent autant de points que les mathématiques et se traitent rapidement.
  • Traiter les questions dans l'ordre de l'énoncé et numéroter les copies correctement.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment où elles sont utilisées.
  • Éviter de trafiquer un calcul pour retrouver un résultat donné par l'énoncé, ce qui est fortement sanctionné.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
    ◻
    Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé d'un exercice d'informatique du tronc commun, d'un exercice et d'un problème de mathématiques.

EXERCICE 1

Hormis Q3 et Q4, les questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans cet exercice (informatique du tronc commun), les graphes ont leurs sommets numérotés à partir de 0 et ils sont orientés. On les représente par un dictionnaire d'adjacence.
Par exemple, le graphe :

est représenté par le dictionnaire :
d = {0 : [1, 3], 1 : [2], 2 : [4, 5], 3 : [4], 4 : [1], 5 : [], 6 : [2]}
Q1. Écrire en langage Python une fonction degreMax( d : dict ) -> int qui reçoit en entrée un dictionnaire d'adjacence représentant un graphe orienté et renvoie le degré sortant maximal parmi tous les degrés sortants des sommets du graphe.
Si G est un graphe orienté, on appelle graphe inverse de G le graphe possédant les mêmes sommets ainsi que les mêmes arêtes mais en sens inverse par rapport à celles de G .
Q2. Représenter le graphe inverse du graphe orienté donné en introduction.
Écrire en langage Python une fonction grapheInv( d : dict ) -> dict qui renvoie un dictionnaire d'adjacence du graphe inverse du graphe représenté par d.
On souhaite colorier notre graphe orienté. Les couleurs sont représentées par des entiers naturels. La coloration du graphe est modélisée par une liste L telle que L[s] est égale à la couleur attribuée au sommet s.
Deux sommets du graphe reliés par une arête ne doivent pas être de la même couleur (coloration du graphe valide).
Q3. Écrire en langage Python une fonction colorationValide( d : dict, L : list ) -> bool qui renvoie True si la coloration L du graphe représenté par d est valide et False dans le cas contraire.
Q4. Donner la complexité dans le pire des cas de la fonction précédente en fonction du nombre N de sommets et du nombre M d'arêtes. Justifier votre réponse.
On considère deux tables : FILMS et LOCATIONS. La première contient des informations sur des films et la seconde des informations sur des locations de films par les clients.
La table FILMS contient les attributs suivants :
  • codefilm : code d'un film (entier), clé primaire ;
  • nomfilm (chaîne de caractères).
La table LOCATIONS contient les attributs suivants:
  • codecli : code du client (entier), clé primaire avec l'attribut codefilm ;
  • codefilm : code du film (entier), clé primaire avec l'attribut codecli ;
  • datedebut : date de début de la location (chaîne de caractères) ;
  • duree : durée de la location (flottant).
Q5. Écrire une requête SQL permettant de connaître la plus grande durée de location parmi tous les films.
Q6. Écrire une requête SQL permettant d'extraire le code du film, le nom du film et la durée moyenne de location des films qui ont été en moyenne loués moins de 2 jours. Le résultat doit être classé dans l'ordre décroissant des durées moyennes de location.

EXERCICE 2

On définit une suite (P_n)_(n ∈ ℕ) de ℝ[X] en posant P_0 = 1, P_1 = X et pour tout entier naturel n :
P_(n + 2) = 2XP_(n + 1) − P_n.
Dans les questions suivantes, n et k sont des entiers naturels.
Q7. Donner le degré et le terme dominant de P_n en fonction de n.
Q8. Justifier que pour tout réel θ :
P_n(cos(θ)) = cos(nθ).
Pour P et Q dans ℝ[X], on pose :
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1(P(t)Q(t))/(√(1 − t^2))dt
Q9. Justifier la convergence de cette intégrale.
Q10. Démontrer que ⟨, ⟩estunproduitscalairesurℝ_k[X] (ensemble des polynômes de ℝ[X] de degré inférieur ou égal à k ).
Q11. Calculer pour n et m entiers naturels, ∫_0^π cos(nθ)cos(mθ)dθ.
Q12. Donner une base orthonormale de ℝ_k[X] pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Matrices de rang 1

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices réelles d'ordre n, M_(n, 1)(ℝ) l'ensemble des matrices colonnes réelles d'ordre n et M_(1, n)(ℝ) l'ensemble des matrices lignes réelles d'ordre n.

Partie I - Exemples

On suppose que X_1, X_2, …, X_n sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0, 1[. On définit les matrices aléatoires :
U = (X_1; X_2; ⋮; ⋮; X_n) et M = U × U^T = (X_1^2, X_1 X_2, X_1 X_3, ⋯, ⋯, X_1 X_n; X_2 X_1, X_2^2, X_2 X_3, ⋯, ⋯, X_2 X_n; X_3 X_1, X_3 X_2, X_3^2, ⋯, ⋯, X_3 X_n; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; X_n X_1, X_n X_2, X_n X_3, ⋯, ⋯, X_n^2).
Q13. On pose Y = rg(M).
Montrer que la variable aléatoire Y suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 − (1 − p)^n.
Q14. Reconnaître la loi de la variable aléatoire Tr(M).
Q15. Vérifier que M^2 = Tr(M)M et en déduire la probabilité de l'événement « M est une matrice de projection ».
Q16. Dans cette question, on suppose que X_1, X_2, …, X_n sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la matrice aléatoire M comme ci-dessus. Avec ces nouvelles hypothèses, calculer à nouveau la probabilité de l'événement « M est une matrice de projection ».
Q17. On note J la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Donner son rang et sa trace, puis la diagonaliser (on précisera une matrice de passage).
Q18. Donner (en le justifiant) une matrice d'ordre 3 de rang 1 non diagonalisable. Préciser sa trace.

Partie II - Résultats généraux

Dans cette partie, A désigne une matrice de M_n(ℝ) de rang égal à 1 .
Q19. On note C ∈ M_(n, 1)(ℝ) la première colonne non nulle de A. Démontrer qu'il existe une matrice ligne L ∈ M_(1, n)(ℝ) non nulle telle que A = C × L.
Q20. Calculer le réel L × C et en déduire que A^2 = Tr(A)A.
Q21. Déterminer le polynôme caractéristique de A ainsi que son polynôme minimal.
Q22. Établir que :
A est diagonalisable ⇔ Tr(A) ≠ 0.
On note désormais u l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à A.
Q23. On suppose que Im(u) ∩ Ker(u) ≠ {0_(ℝ^n)}.
Justifier que Im(u) ⊆ Ker(u), puis qu'il existe une base de ℝ^n dans laquelle u est représenté par la matrice :
(0, 0, 0; 1, 0, 0, (0); 0, 0, 0; (0), ⋱, ⋱; 0)
Q24. On suppose que Im(u) ∩ Ker(u) = {0_(ℝ^n)}.
Démontrer qu'il existe une base de ℝ^n dans laquelle u est représenté par la matrice :
(a, 0, 0; 0, 0, 0, (0); 0, 0, 0; (0), ⋱; 0)
où a est un réel non nul.
Q25. Conclure que dans M_n(ℝ) deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2025 ?

Il porte sur l'algorithmique des graphes et le langage SQL, sur les polynômes de Tchebychev et un produit scalaire, ainsi que sur la réduction des matrices de rang 1.

Le sujet de mathématiques 2 CCINP MP 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très abordable et de longueur raisonnable, avec des thèmes classiques et quelques questions difficiles, pour une moyenne de 10,09 et un écart-type de 4,94.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP maths 2 MP 2025 ?

Le jury signale des impasses fréquentes sur les questions d'informatique et de SQL, des erreurs de syntaxe Python, ainsi que des justifications insuffisantes sur la convergence d'une intégrale et le caractère défini du produit scalaire.

Faut-il bien préparer l'informatique commune pour ce sujet CCINP MP ?

Oui, le rapport insiste sur le fait qu'une partie non négligeable des candidats a fait l'impasse totale sur l'informatique ou l'a bâclée, alors que ces questions rapportent autant de points que les mathématiques.

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