X ENS Mathématiques A MP MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Décomposition de Jordan des endomorphismes nilpotents et applications

Le sujet établit la classification des endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel de dimension finie à l'aide des blocs de Jordan, en utilisant l'algèbre des séries de Laurent comme outil de démonstration. Il prouve ensuite une version graduée de ce théorème de décomposition, puis en tire deux applications : la classification d'endomorphismes vérifiant des inclusions successives entre sous-espaces, et la classification à équivalence près de couples d'applications linéaires entre deux espaces vectoriels.

1Partie I : questions préliminairesÉtude de la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable et introduction d'un invariant matriciel.
2Partie II : algèbre linéaire sur les polynômes de LaurentÉtude de l'application linéaire et de l'endomorphisme ξ, image et noyau de ses puissances, sous-espaces cycliques.
3Partie III : prolongements compatiblesConstruction d'un prolongement compatible avec un endomorphisme u donné par un vecteur, via l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme.
4Partie IV : théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotentsScindage d'un sous-espace cyclique maximal, existence puis unicité de la taille des blocs dans le théorème de décomposition.
5Partie V : version graduée du théorème de décompositionÉtude des propriétés d'un endomorphisme diagonalisable h, recherche d'un supplémentaire stable simultanément par u et h, et version graduée du théorème.
6Partie VI : classification des couples de matrices rectangulairesClassification à équivalence près de couples d'applications linéaires entre deux espaces vectoriels, distinguant le cas inversible et le cas nilpotent.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était très long, que la partie 6 n'a quasiment jamais été traitée, de même que la question 14, et qu'il n'était pas nécessaire de traiter le sujet dans sa totalité pour avoir une excellente note.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,15 / 20 · écart-type 3,74 · 1 462 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,15/ 20
Écart-type: 3,74
Présents: 1 462
Coefficient: 8
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Manipulations incorrectes des polynômes d'un endomorphisme · Confusion entre idéal et sous-espace vectoriel engendrés · Références vagues aux résultats antérieurs

Le jury juge le niveau global des copies satisfaisant, avec des questions bien posées et précises dont les réponses, sans être évidentes, ne nécessitaient en général pas de rédactions complexes ni de calculs fastidieux. Il souligne cependant des erreurs très problématiques sur l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme et insiste sur la nécessité d'une rédaction rigoureuse, y compris pour les résultats élémentaires.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Manipulations incorrectes des polynômes d'un endomorphisme
Il a été affirmé à tort que pour deux polynômes P, Q, un endomorphisme u et un vecteur v, (PQ)(u)(v) était égal à P(Q(u)(v)) ou à P(u)(v)Q(u)(v), sans qu'un sens soit cherché pour ces quantités.
2
Confusion entre idéal et sous-espace vectoriel engendrés
Le jury a observé plusieurs fois une confusion entre l'idéal engendré par un polynôme et le sous-espace vectoriel engendré par celui-ci.
3
Références vagues aux résultats antérieurs
Une formulation vague du type « d'après les résultats précédents » ou « d'après les résultats de la partie 1 » n'est pas suffisamment précise pour être valorisée.
« n’est pas suffisamment précise pour être valorisée »
4
Question 1 souvent mal raisonnéeQ1
Le jury a été trop souvent confronté à des raisonnements erronés sur la question 1 ; le plus rapide était d'introduire le polynôme minimal de h.
5
Justifications trop courtes non acceptéesQ7
À la question 7, une justification trop courte comme « On voit bien qu'il est possible... » n'est pas considérée comme correcte.
« n’est pas considérée comme correcte »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 2abc n'ont pas posé de difficulté et ont été globalement bien traitées.
La question 8a a été très bien traitée.
Les questions 11a, 11b, 11c et 12a ont été bien traitées et n'ont pas posé de problème particulier.

Conseils du jury

Faire référence précisément à la question et au résultat utilisé lorsqu'on invoque un résultat antérieur, sans formulation vague.
Ne pas négliger la rédaction rigoureuse des questions élémentaires, la pondération étant proportionnelle à la difficulté mais la rédaction correcte restant nécessaire partout.
Bien connaître la définition d'un idéal et l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme pour éviter les confusions classiques.
Ne pas chercher à survoler l'intégralité du sujet : il vaut mieux traiter rigoureusement une partie des questions que d'aller vite sur l'ensemble.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n

^\circ1

MATHEMATIQUES A (XULSR)

Notations

On note $ℕ^*$ l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
$▹$ On note $ℂ$ le corps des nombres complexes. Tous les espaces vectoriels sont sur $ℂ$ .
$▹$ On note $ℂ[X]$ l'anneau des polynômes en une indéterminée $X$ à coefficients complexes et $ℂ(X)$ le corps des fractions rationnelles en $X$ .
$▹$ Pour $m$ et $n$ entiers naturels, on note $M_(m, n)(ℂ)$ l'espace des matrices de taille $m \times n$ . Lorsque l'on a $m = n$ on le note simplement $M_m(ℂ)$ . On note $GL_m(ℂ)$ le groupe des matrices inversibles dans $M_m(ℂ)$ .
$▹$ On note $0_(m, n)$ la matrice nulle de $M_(m, n)(ℂ)$ . On note $0_m$ (resp. $I_m$ ) la matrice nulle (resp. la matrice identité) de $M_m(ℂ)$ .
$▹$ Étant donné deux matrices carrées $M_1$ et $M_2$ , on construit une matrice diagonale par blocs:

diag(M_1, M_2) = (M_1, 0; 0, M_2)

où les « 0 » désignent des matrices nulles de tailles convenables. La notation s'étend naturellement à un nombre fini de matrices carrées (

M_1, \dots, M_s

) appelées alors blocs diagonaux de la matrice ainsi construite.

▹

Étant donné un entier naturel

s

non nul et une

s

-liste

(λ_1, \dots, λ_s) \in ℂ^s

, on note

diag(λ_1, \dots, λ_s)

la matrice diagonale

s \times s

dont les coefficients diagonaux sont, dans l'ordre,

λ_1, \dots, λ_s

▹

Dans ce problème, étant donné un entier naturel

r

non nul, on appelle bloc de Jordan de taille

r

la matrice

r \times r

J_r = (0, 0, \dots, \dots, 0; 1, ⋱, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, 1, 0)

(tous les coefficients de

J_r

sont nuls sauf ceux d'indice

(j + 1, j)

pour

1 ⩽ j ⩽ r - 1

, qui valent 1 ). La matrice

J_1

est la matrice nulle (0).

▹

Une matrice est dite diagonale par blocs de Jordan si elle est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux qui sont des blocs de Jordan.

▹

Étant donné un espace vectoriel

V

, on note id

_V

l'identité de

V

▹

Étant donné un espace vectoriel

V

et un endomorphisme

u

V

, un sous-espace

W

V

est dit stable par

u

u(W) \subset W

. On note alors

u_W

l'endomorphisme de

W

induit par

u

, c'est-à-dire

u_W : W \to W, v \mapsto u(v)

Objectifs et structure du problème

Le premier objectif du problème est de donner une démonstration du fait qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont des blocs de Jordan. Après la partie [1], qui regroupe quelques résultats utiles pour la suite, la démonstration occupe les parties II à IV.
Une fois ce théorème établi, on en démontre dans la partie Vune version dite «graduée», c'est-à-dire en présence d'une matrice diagonalisable satisfaisant à certaines relations particulières. Ce résultat est utilisé pour donner une forme normale pour les matrices des couples d'applications linéaires ( $u_1 : V_1 \to V_2, u_2 : V_2 \to V_3$ ).
$▹$ Enfin, dans la partie VI, on utilise la version «graduée» de la partie précédente pour classer les couples de matrices rectangulaires à équivalence simultanée près.

I Questions préliminaires

$1^\circ$ Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie, soit

h

un endomorphisme de

V

et soit

W

un sousespace stable par

h

. On note

h_W

l'endomorphisme de

W

induit par

h

, c'est-à-dire

h_W : W \to W

v \mapsto h(v)

. Démontrer que si

h

est diagonalisable, alors

h_W

est aussi diagonalisable.

$2^\circ$ Un invariant matriciel

Pour une matrice carrée

M

et un entier naturel

k

non nul, on note

δ_k(M) = - dimkerM^(k - 1) + 2dimkerM^k - dimkerM^(k + 1).

a) Démontrer que si deux matrices carrées

M

M^'

sont semblables, alors

δ_k(M) = δ_k(M^')

pour tout

k

.
b) Soit

r

un entier naturel non nul. Vérifier que pour tout entier

k

non nul,

δ_k(J_r)

vaut 1 si

k = r

et 0 sinon.
c) Soient

M_1

M_2

deux matrices carrées et soit

M = diag(M_1, M_2)

. Démontrer la relation

dimkerM = dimkerM_1 + dimkerM_2

puis que pour tout entier

k

non nul,

δ_k(M) = δ_k(M_1) + δ_k(M_2).

On pourra utiliser sans le démontrer le fait que toutes ces relations s'étendent à une matrice diagonale par blocs

diag(M_1, \dots, M_s)

II Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent

L'espace des polynômes de Laurent est le sous-espace vectoriel noté

ℂ[X^(\pm 1)]

ℂ(X)

engendré par la famille

(X^k)_(k \in ℤ)

. C'est une sous-algèbre de

ℂ(X)

. On note

𝔇 = X^(- 1)ℂ[X^(- 1)]

le sous-espace vectoriel de

ℂ[X^(\pm 1)]

engendré par la famille libre

(X^(- j))_(j \in ℕ^*)

: c'est un supplémentaire de

ℂ[X]

dans

ℂ[X^(\pm 1)]

ℂ[X^(\pm 1)] = D \oplus ℂ[X].

On note

Π : ℂ[X^(\pm 1)] \to D

la projection sur

D

parallèlement à

ℂ[X]

. Ainsi, pour

F \in ℂ[X^(\pm 1)]

si F = \sum_(k = - p)^q f_k X^k \in ℂ[X^(\pm 1)] avec p et q entiers naturels, alors Π(F) = \sum_(k = - p)^(- 1)f_k X^k.

L'application linéaire $ξˆ$ et l'endomorphisme $ξ$

On note

ξˆ : ℂ[X^(\pm 1)] \to D

l'application linéaire qui à un polynôme de Laurent

F

associe

ξˆ(F) = Π(XF) et ξ = ξˆ_D,

c'est-à-dire l'endomorphisme de

D

induit par

ξˆ

(la lettre

ξ

(«xi») évoque le produit par

X

).
a) Soit

F

un élément de

ℂ[X^(\pm 1)]

. Démontrer que

ξˆ(Π(F)) = ξˆ(F)

.
b) Soit

P

un polynôme et soit

F

un élément de

D

. Démontrer que

P(ξ)(F) = Π(PF)

$4^\circ$ Image et noyau des puissances de $ξ$

Soit

n

un entier naturel. Démontrer que

ξ^n

est surjectif et donner une base du noyau de

ξ^n

$5^\circ$ Sous-espaces cycliques

Soit

r

un entier naturel non nul. Démontrer que le plus petit sous-espace vectoriel

D_r

D

contenant

X^(- r)

et stable par

ξ

admet pour base

(X^(k - r))_(0 ⩽ k ⩽ r - 1)

. Écrire la matrice de l'endomorphisme

ξ_(D_r)

induit par

ξ

sur

D_r

dans cette base.

III Prolongements compatibles

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie muni d'un endomorphisme

u

nilpotent. On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel

W

V

stable par

u

et une application linéaire

φ : W \to D

tels que

ξ \circ φ = φ \circ u_W.

Étant donné un sous-espace

W^'

V

qui contient

W

et qui est stable par

u

, on dit que

φ

admet un prolongement à

W^'

compatible avec

u

s'il existe une application linéaire

φ^' : W^' \to D

telle que
(i) la restriction de

φ^'

W

est

φ

;
(ii)

ξ \circ φ^' = φ^' \circ u_(W^')

Le but de cette partie est de démontrer que

φ

admet un prolongement à

V

compatible avec

u

$6^\circ$ Prolongement compatible avec $u$ donné par un vecteur

Dans cette question, on suppose que

W

est strictement inclus dans

V

et on fixe un vecteur

v

V

qui n'appartient pas à

W

.
a) Vérifier que l'ensemble

J = {P \in ℂ[X], P(u)(v) \in W}

est un idéal de

ℂ[X]

.
b) Démontrer qu'il existe un entier naturel

n

tel que

X^n \in 𝔍

. En déduire que

𝔍

est engendré par le monôme

X^r

pour un entier naturel

r

convenable que l'on ne demande pas de préciser.
c) Soit

W^'

le sous-espace de

V

défini par

W^′ = {P(u)(v) + w, P ∈ ℂ[X] et w ∈ W}.

Vérifier que

W^'

contient

W

v

et qu'il est stable par

u

.
On note

G_v = φ(u^r(v))

d) Démontrer qu'il existe un élément

F_v

D

tel que

G_v = ξ^r(F_v)

e) Soit

P

un polynôme et soit

w

un élément de

W

. Démontrer que si

P(u)(v) = w

, alors

P(ξ)(F_v) = φ(w)

.
f) Soit

x

un élément de

W^'

. Soit

P

un polynôme et soit

w

un élément de

W

tels que

x = P(u)(v) + w

. Démontrer que l'élément

φ^'(x) = P(ξ)(F_v) + φ(w)

ne dépend que de

x

et pas du choix de

P

w

. Vérifier alors que l'application

φ^'

ainsi définie est un prolongement de

φ

W^'

compatible avec

u

(il n'est pas demandé de vérifier que

φ^'

est linéaire, ce que l'on admettra).

7^\circ

Prolongement à

V

compatible avec

u

Démontrer que

φ

admet un prolongement

ψ

V

compatible avec

u

IV Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie sur

ℂ

et soit

u

un endomorphisme de

V

. On suppose que

u

est nilpotent d'indice

n

, c'est-à-dire que

u^n = 0

u^(n - 1) \neq 0

$8^\circ$ Scindage d'un sous-espace cyclique maximal

On choisit un vecteur

v_0

tel que

u^(n - 1)(v_0)

n'est pas nul.
a) Vérifier que la famille

(v_0, u(v_0), \dots, u^(n - 1)(v_0))

est libre et que le sous-espace

W

qu'elle engendre contient

v_0

et est stable par

u

. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit

u_W

dans cette base.
b) Démontrer qu'il existe une application linéaire

φ : W \to D

injective telle que

ξ \circ φ = φ \circ u_W

D'après la partie III, cette application linéaire

φ

admet un prolongement

ψ : V \to D

compatible avec

u

.
c) Vérifier que l'image de

ψ

est contenue dans le noyau de

ξ^n

.
d) Démontrer que le noyau de

ψ

est un supplémentaire de

W

stable par

u

$9^\circ$ Théorème de décomposition : existence

Soit

u

un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel

V

de dimension finie.
Démontrer qu'il existe une base de

V

, un entier naturel

s

et des entiers naturels non nuls

r_1 ⩾ \dots ⩾ r_s

dans laquelle la matrice de

u

est diagonale par blocs et dont les blocs diagonaux sont des blocs de Jordan

J_(r_1), \dots, J_(r_s)

de tailles respectives

r_1, \dots, r_s

.
(Les expressions «diagonale par bloc» et «bloc de Jordan» sont définies dans les préliminaires.)

$10^\circ$ Théorème de décomposition : unicité de la taille des blocs

Démontrer que le nombre

s

et les tailles des blocs

r_1, \dots, r_s

qui apparaissent dans la question

9^\circ

ne dépendent que de

u

et pas du choix de la base. On pourra utiliser la question 2 .

V Version «graduée» du théorème de décomposition

Dans cette partie, on se donne :

un espace vectoriel $V$ de dimension finie;
un endomorphisme nilpotent $u$ de $V$ ;
un entier naturel $N$ non nul et le nombre complexe («zêta»)

ζ = exp(2iπ)/N

un endomorphisme inversible $h$ de $V$ tel que

h^N = id_V et h \circ u \circ h^(- 1) = ζu.

$11^\circ$ Propriétés de $h$

a) Démontrer que

h

est diagonalisable.
b) Soit

j

un entier naturel strictement plus petit que

N

. En notant

V_j = ker(h - ζ^j id_V)

V_N = V_0

, vérifier que

u(V_j) \subset V_(j + 1)

.
c) Calculer, pour

k

entier relatif,

h^k \circ u \circ h^(- k)

et, pour

l

entier naturel,

h \circ u^l \circ h^(- 1)

$12^\circ$ Recherche d'un supplémentaire stable

Soit

W

un sous-espace vectoriel de

V

stable par

u

h

. On suppose que

W

admet un supplémentaire

W^'

stable par

u

et on cherche un supplémentaire de

W

stable par

u

h

. Soit

p

le projecteur sur

W

parallèlement à

W^'

.
a) Vérifier que

u

p

commutent.

On note

p¯ = 1/N\sum_(k = 0)^(N - 1)h^k \circ p \circ h^(- k)

b) Démontrer que l'image de

p¯

est incluse dans

W

et que pour

w

dans

W

, on a

p¯(w) = w

.
c) En déduire que

p¯

est un projecteur et que son image est

W

.
d) Démontrer soigneusement que

p¯

commute avec

u

h

.
e) En déduire que le noyau de

p¯

est un supplémentaire de

W

et qu'il est stable par

u

h

$13^\circ$ Version «graduée» du théorème de décomposition

a) Soit

n

l'indice de

u

, c'est-à-dire l'entier tel que

u^(n - 1) \neq 0

u^n = 0

. Démontrer qu'il existe un vecteur

v

tel que

v

est un vecteur propre de

h

u^(n - 1)(v) \neq 0

.
b) Démontrer qu'il existe une base de

V

dans laquelle les matrices de

u

h

sont diagonales par blocs et les blocs diagonaux sont respectivement de la forme

J_r et D_(r, a) = diag(ζ^a, ζ^(a + 1), \dots, ζ^(a + r - 1))

pour

r \in ℕ^*

a \in {0, \dots, N - 1}

convenables.
On appellera (

r, a

) le type d'un tel couple de matrices (

J_r, D_(r, a)

$14^\circ$ Un exemple

Dans cette question, on suppose de plus que

N = 4 et ker(h − id_V) = {0}

Pour

j \in {0, \dots, 3}

, on note

V_j = ker(h - ζ^j id_V)

. D'après

11^\circ

b), la donnée de

u

équivaut à la donnée des deux applications linéaires

u_1 : V_1 \to V_2

u_2 : V_2 \to V_3

induites par

u

.
a) Vérifier que

u^3 = 0

.
b) Construire des couples (

u, h

) qui donnent lieu à six types différents de couples de blocs diagonaux (

J_r, D_(r, a)

) dans la version «graduée» du théorème de décomposition.
c) Démontrer que le nombre de blocs de chaque type est déterminé par la donnée des trois dimensions

d_j = dimV_j(1 ⩽ j ⩽ 3)

et des trois rangs

r_1 = rgu_1, r_2 = rgu_2

r_(21) = rg(u_2 \circ u_1)

VI Classification des couples de matrices rectangulaires

Dans toute la suite, on fixe deux entiers naturels

m

n

non nuls. On souhaite étudier les classes d'équivalence de couples de matrices

(A, B) \in M_(n, m)(ℂ) \times M_(m, n)(ℂ)

pour la relation suivante : on dit que deux couples (

A, B

) et (

A^', B^'

) sont simultanément équivalents s'il existe deux applications linéaires

α : ℂ^m \to ℂ^n

β : ℂ^n \to ℂ^m

et des bases e et

e^'

ℂ^m

f

f^'

ℂ^n

telles que

A

A^'

soient les matrices de

α

dans (

e, f

) et (

e^', f^'

) et

B

B^'

celles de

β

dans (

f, e

) et (

f^', e^'

) respectivement.
Pour

(A, B)

dans

M_(n, m)(ℂ) \times M_(m, n)(ℂ)

on définit les matrices

(m + n) \times (m + n)

suivantes:

M_(A, B) = (0_m, B; A, 0_n) et H = (I_m, 0_(m, n); 0_(n, m), - I_n).

$15^\circ$ Une réduction

Soient

(A, B)

(A^', B^')

deux couples de matrices dans

M_(n, m)(ℂ) \times M_(m, n)(ℂ)

. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)

(A, B)

(A^', B^')

sont simultanément équivalents;
(ii) il existe

P \in GL_m(ℂ)

Q \in GL_n(ℂ)

telles que

A^' = QAP^(- 1)

B^' = PBQ^(- 1)

;
(iii) il existe

R \in GL_(m + n)(ℂ)

telle que

M_(A^', B^') = RM_(A, B)R^(- 1)

H = RHR^(- 1)

Désormais, on fixe les matrices

A

B

et on note simplement

M

à la place de

M_(A, B)

$16^\circ$ Deux applications linéaires : décomposition

a) Calculer

H^2, HMH^(- 1)

et, pour un polynôme

P

ℂ[X]

, calculer

HP(M)H^(- 1)

.
b) Démontrer que si un nombre complexe

λ

est une valeur propre de

M

, alors

- λ

est aussi une valeur propre de

M

avec la même multiplicité.
c) Soit

χ_M

le polynôme caractéristique de

M

. On l'écrit

χ_M = X^r Q

où

r

est un entier et

Q

est un polynôme dont le coefficient constant n'est pas nul. Justifier brièvement que

ℂ^(m + n) = kerM^r \oplus kerQ(M)

et vérifier que ces sous-espaces sont stables par

H

.
On dit que deux couples de matrices (

M, H

) et (

M^', H^'

), toutes de même taille

p \times p

, sont simultanément semblables s'il existe

R \in GL_p(ℂ)

tel que

M^' = RMR^(- 1)

H^' = RHR^(- 1)

$17^\circ$ Deux applications linéaires : cas nilpotent

Dans cette question, on suppose que

M

est nilpotente.
Démontrer que (

M, H

) est simultanément semblable à un couple de matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux sont respectivement de la forme

(0_r, B_0; A_0, 0_s) et (I_r, 0; 0, - I_s),

où

r

s

sont des entiers naturels avec

|r - s| ⩽ 1

A_0

B_0

forment l'un des couples suivants :

A_0 = (1, 0, \dots, 0, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, ⋮; 0, \dots, 0, 1, 0)_(s \times (s + 1)), et, B_0 = (0, \dots, \dots, 0; 1, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, 1)_((s + 1) \times s); A_0 = (1, 0, \dots, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, 1)_(r \times r) = I_r, et, B_0 = (0, \dots, \dots, 0; 1, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; 0, 0, 1, 0)_(r \times r) = J_r; A_0 = (0, \dots, \dots, 0; 1, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; 0, 0, 1, 0)_(r \times r) = J_r, et, B_0 = (1, 0, \dots, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, 1)_(r \times r) = I_r;; A_0 = (0, \dots, \dots, 0; 1, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, 1)_((r + 1) \times r), et, B_0 = (1, 0, \dots, 0, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, ⋮; 0, \dots, 0, 1, 0)_(r \times (r + 1)).

$18^\circ$ Deux applications linéaires : cas inversible

Dans cette question, on suppose que

M

est inversible.
a) Démontrer que

m = n

et que

A

B

sont inversibles.
b) Démontrer que (

M, H

) est simultanément semblable à un couple de matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux sont de taille paire et sont respectivement de la forme

(0_r, B_1; A_1, 0_r) et (I_r, 0_r; 0_r, - I_r)

où

A_1 = I_r et B_1 = λI_r + J_r

pour

r

entier non nul et

λ

complexe non nul convenables.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, en particulier la décomposition de Jordan des endomorphismes nilpotents, l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme, les idéaux de polynômes et les sous-espaces stables.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur maths A X-ENS MP-MPI 2025 ?

Le jury relève des manipulations incorrectes des polynômes d'un endomorphisme, une confusion entre idéal et sous-espace vectoriel engendrés, et des références vagues aux résultats antérieurs plutôt que des citations précises.

Le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 est-il difficile ?

Le rapport indique un sujet très long, dont la partie 6 et la question 14 n'ont quasiment jamais été traitées, et précise qu'il n'était pas nécessaire de tout traiter pour obtenir une excellente note.

Faut-il traiter tout le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 pour avoir une bonne note ?

Non, le rapport précise explicitement qu'il n'était pas nécessaire de traiter le sujet dans sa totalité pour avoir une excellente note, à condition que la rédaction des questions traitées soit rigoureuse.

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Notations

Objectifs et structure du problème

I Questions préliminaires

1^∘ Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable

2^∘ Un invariant matriciel

II Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent

L'application linéaire ξˆ et l'endomorphisme ξ

4^∘ Image et noyau des puissances de ξ

5^∘ Sous-espaces cycliques

III Prolongements compatibles

6^∘ Prolongement compatible avec u donné par un vecteur

IV Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents

8^∘ Scindage d'un sous-espace cyclique maximal

9^∘ Théorème de décomposition : existence

10^∘ Théorème de décomposition : unicité de la taille des blocs

V Version «graduée» du théorème de décomposition

11^∘ Propriétés de h

12^∘ Recherche d'un supplémentaire stable

13^∘ Version «graduée» du théorème de décomposition

14^∘ Un exemple

VI Classification des couples de matrices rectangulaires

15^∘ Une réduction

16^∘ Deux applications linéaires : décomposition

17^∘ Deux applications linéaires : cas nilpotent

18^∘ Deux applications linéaires : cas inversible

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur maths A X-ENS MP-MPI 2025 ?

Le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 est-il difficile ?

Faut-il traiter tout le sujet de maths A X-ENS MP-MPI 2025 pour avoir une bonne note ?

Commentaires• X ENS Mathématiques A MP MPI 2025

Commentaires• X ENS Mathématiques A MP MPI 2025

$1^\circ$ Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable

$2^\circ$ Un invariant matriciel

L'application linéaire $ξˆ$ et l'endomorphisme $ξ$

$4^\circ$ Image et noyau des puissances de $ξ$

$5^\circ$ Sous-espaces cycliques

$6^\circ$ Prolongement compatible avec $u$ donné par un vecteur

$8^\circ$ Scindage d'un sous-espace cyclique maximal

$9^\circ$ Théorème de décomposition : existence

$10^\circ$ Théorème de décomposition : unicité de la taille des blocs

$11^\circ$ Propriétés de $h$

$12^\circ$ Recherche d'un supplémentaire stable

$13^\circ$ Version «graduée» du théorème de décomposition

$14^\circ$ Un exemple

$15^\circ$ Une réduction

$16^\circ$ Deux applications linéaires : décomposition

$17^\circ$ Deux applications linéaires : cas nilpotent

$18^\circ$ Deux applications linéaires : cas inversible