Le sujet part de l'inégalité de Hölder pour des variables aléatoires puis établit une inégalité de déviation pour une somme de variables suivant une loi de Rademacher. Il développe ensuite les inégalités de Khintchine, qui comparent les normes Lp d'une telle somme, avant d'en tirer deux conséquences : un produit scalaire et une équivalence de normes sur un espace de suites, puis la construction d'un sous-espace vectoriel de dimension k où les normes 1 et 2 sont comparables à un facteur en racine de n près.

1Inégalité de HölderDémonstration de l'inégalité de Hölder pour deux variables aléatoires positives, avec le cas particulier p=q=2.
2Une inégalité de déviationMajoration de la probabilité de déviation d'une somme pondérée de variables de Rademacher, via l'inégalité de Markov.
3Inégalités de KhintchineComparaison des normes Lp d'une somme de variables de Rademacher, pour p supérieur ou inférieur à 2.
4Une première conséquenceConstruction d'un produit scalaire sur L0(Ω) et démonstration de l'équivalence des normes Lp sur un sous-espace engendré par les variables de Rademacher.
5Une deuxième conséquenceConstruction d'un sous-espace vectoriel de dimension k de R^n où les normes 1 et 2 sont comparables à un facteur en racine de n près.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet était un peu long mais raisonnable, avec des questions difficiles et suffisamment de questions abordables pour permettre un étalement correct des notes, ce qui a permis de classer correctement les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,85 / 20 · écart-type 4,42 · 5 348 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,85/ 20
Écart-type: 4,42
Présents: 5 348
Coefficient: 4
Durée: 3 h
1er quartile: 8,4
Médiane: 11,8
3e quartile: 15,5

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Démonstration de Cauchy-Schwarz rarement rédigée (Q3) · Question 8 sur la convergence de l'intégrale mal traitée · Questions techniques délaissées au profit de la question 17 (Q14-Q15)

Le problème portait sur les probabilités en mobilisant plusieurs chapitres du reste du programme : séries entières, intégration et algèbre euclidienne. Toutes les questions étant fermées, beaucoup de candidats ont balayé l'ensemble du sujet en sautant plus ou moins de questions, et quelques-uns l'ont traité en entier. La première partie, sur l'inégalité de Hölder, a donné des résultats plutôt décevants malgré des questions classiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Démonstration de Cauchy-Schwarz rarement rédigée (Q3)Q3
Le cas particulier p=q=2 de l'inégalité de Hölder redonne Cauchy-Schwarz, mais sa démonstration directe attendue n'a été vue que dans une minorité de copies.
« que nous n’avons pas vue dans plus d’une copie sur deux »
2
Question 8 sur la convergence de l'intégrale mal traitéeQ8
La justification de la convergence aux deux bornes (fonction continue par morceaux, intégrande nulle à partir d'une certaine valeur) a posé problème, tout comme la fin de la question, peu abordée.
« Cette question a été en général très mal traitée. »
3
Questions techniques délaissées au profit de la question 17 (Q14-Q15)Q14, Q15
Ces deux questions très techniques ont été peu abordées, les candidats préférant la question 17, plus familière ; certains ont invoqué l'équivalence des normes en dimension finie sans la démontrer.
« les candidats étant attirés par la question 17, ce qui est tout à fait normal puisqu’on se retrouvait en terrain plus familier »
4
Présentation des copies jugée trop négligée
Le manque de soin général des candidats a surpris les correcteurs, certaines copies ressemblant davantage à un brouillon qu'à une épreuve de concours.
« Les correcteurs ont été étonnés par le manque de soin, beaucoup de copies ressemblent plus à un brouillon qu’à une épreuve de concours. »
5
Calculs à indices peu lisibles
Les nombreux calculs avec indices de ce problème étaient parfois illisibles, ce qui a coûté des points faute de pouvoir être suivis par le correcteur.
« les calculs avec des indices présents dans de nombreuses questions de ce problème pouvaient être carrément illisibles »

Ce qui a été bien réussi

La question 17 a été abordée par presque tous les candidats, qui ont quasiment tous justifié correctement le caractère bilinéaire, symétrique et positif de l'application étudiée.
Le calcul algébrique initial de la question 10 a été souvent fait correctement.

Conseils du jury

Apprendre le cours de mathématiques de première et de deuxième année en profondeur pour maîtriser les notions et théorèmes du programme.
S'entraîner intensivement au calcul, en particulier à la manipulation des inégalités.
Aborder et rédiger les questions dans l'ordre de l'énoncé, et bien traiter une partie des questions plutôt que de produire un discours inconsistant sur toutes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

Dans tout le sujet, $n$ est un entier naturel fixé non nul.
Dans tout le sujet, ( $Ω, P(Ω), P$ ) est un espace probabilisé fini.
On note $L^0(Ω)$ le $R$ -espace vectoriel des variables aléatoires réelles definies sur $Ω$ . On notera que si $X \in L^0(Ω), X(Ω)$ est une partie finie de $R$ . On confondra systématiquement variable aléatoire nulle et variable aléatoire presque sûrement nulle.
Si $X \in L^0(Ω)$ , on note $E(X)$ son espérance.
Une variable aléatoire $X \in L^0(Ω)$ suit une loi de Rademacher si :

X(Ω) = { - 1, 1} et P(X = 1) = P(X = - 1) = 1/2.

Si $p \in [1, + \infty[$ et $X \in L^0(Ω)$ , on note $‖X‖_p = (E(|X|^p))^(1/p)$ . On admet que l'application $X \mapsto ‖X‖_p$ est alors une norme sur $L^0(Ω)$ .
Si $m \in N^⋆, p \in [1, + \infty[$ et $(x_1, \dots, x_m) \in R^m$ , on définit la quantité $‖(x_1, \dots, x_m)‖_p^(R^m)$ par :

‖(x_1, \dots, x_m)‖_p^(R^m) = (\sum_(i = 1)^m|x_i|^p)^(1/p)

On admet que l'application

(x_1, \dots, x_m) \in R^m \mapsto ‖(x_1, \dots, x_m)‖_p^(R^m)

est une norme sur

R^m

On note $R^((N))$ l'ensemble des suites de $R$ nulles à partir d'un certain rang. On admet alors que l'application $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définie par

\forallu, v \in R^((N)), ⟨u, v⟩ = \sum_(i = 0)^(+ \infty)u_i v_i

est un produit scalaire sur

R^((N))

Inégalité de Hölder

Soient

p, q \in ]1, + \infty[

tels que

1/p + 1/q = 1

. Soient

X, Y \in L^0(Ω)

que l'on suppose toutes les deux positives.

1 - Montrer que

\forallx, y \in R_+, xy \leq (x^p)/p + (y^q)/q

2▹

En déduire l'inégalité suivante (inégalité de Hölder) :

E(XY) \leq (E(X^p))^(1/p)(E(Y^q))^(1/q)

On pourra commencer par traiter le cas où

E(X^p) = E(Y^q) = 1

3▹

Quelle inégalité retrouve-t-on lorsque

p = q = 2

? En donner alors une preuve directe.

Une inégalité de déviation

Soit

(X_i)_(i \in [ [1, n] ])

une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher.

4▹

Montrer que

\forallt \in R, ch(t) \leq e^(t^2/2)

5▹

Montrer que : pour tout

t \geq 0

, pour tout

(c_1, \dots, c_n) \in R^n

E(exp(t\sum_(i = 1)^n c_i X_i)) \leq exp((t^2)/2\sum_(i = 1)^n c_i^2)

6▹

En déduire que : pour tout

t \geq 0

, pour tout

x \geq 0

et pour tout

(c_1, \dots, c_n) \in R^n

P(exp(x|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|) > e^(tx)) \leq 2e^(- tx)exp((x^2\sum_(i = 1)^n c_i^2)/2)

On pourra utiliser l'inégalité de Markov.

7▹

Montrer que : pour tout

t \geq 0

et pour tout

(c_1, \dots, c_n) \in R^n

non nul,

P(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i| > t) \leq 2exp(- (t^2)/(2\sum_(i = 1)^n c_i^2))

Inégalités de Khintchine

Soit

p \in [1, + \infty[

. Soit

(X_i)_(i \in [ [1, n] ])

une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Rademacher. Soit

(c_1, \dots, c_n) \in R^n

8▹

Soit

X

une variable aléatoire réelle positive et finie. Soit

F_X

la fonction définie pour tout

t \geq 0

, par

F_X(t) = P(X > t).

Montrer que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^(p - 1)F_X(t)dt

converge, puis que

E(X^p) = p\int_0^(+ \infty)t^(p - 1)F_X(t)dt

9▹

On suppose dans cette question que

\sum_(i = 1)^n c_i^2 = 1

. Montrer que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^3 e^(- t^2/2) dt

converge, puis que

E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^4) \leq 8\int_0^(+ \infty)t^3 e^(- t^2/2) dt.

10▹

Montrer que

E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2) = \sum_(i = 1)^n c_i^2.

11▹

En déduire qu'il existe un réel

β_p > 0

tel que

E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^p)^(1/p) \leq β_p E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2)^(1/2).

12▹

On suppose

p \geq 2

. Montrer que

E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2)^(1/2) \leq E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^p)^(1/p).

Dans les questions numérotées de

13▹

15▹

, on suppose

1 \leq p < 2

13▹

Justifier qu'il existe

θ \in ]0, 1[

tel que

1/2 = θ/p + (1 - θ)/4

▹

Montrer que

E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2) \leq E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^p)^(2θ/p)E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^4)^((1 - θ)/2).

15▹

Montrer qu'il existe

α˜_p > 0

tel que

α˜_p E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2)^(1/2) \leq E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^p)^(1/p)

16▹

En déduire qu'il existe un réel

α_p

tel que

α_p E((\sum_(i = 1)^n c_i X_i)^2)^(1/2) \leq E(|\sum_(i = 1)^n c_i X_i|^p)^(1/p).

Une première conséquence

Soit

(X_i)_(i \in N)

une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une loi de Rademacher.

17▹

Montrer que l'application

φ

définie sur

(L^0(Ω))^2

par

\forallX, Y \in L^0(Ω), φ(X, Y) = E(XY)

est un produit scalaire sur

L^0(Ω)

18▹

Soit l'application

ψ : u \in R^((N)) \mapsto \sum_(i = 0)^(+ \infty)u_i X_i

. Montrer que

ψ

prend ses valeurs dans

L^0(Ω)

, puis que

ψ

conserve le produit scalaire.

19▹

On note

R = ψ(R^((N)))

. Montrer que pour tous

p, q \in [1, + \infty[

, les normes

‖ \cdot ‖_p

‖ \cdot ‖_q

sont équivalentes sur

R

Une deuxième conséquence

Dans cette partie, on suppose que

n

est une puissance de 2 : on écrit

n = 2^k

avec

k \in N^⋆

20▹

Soit

(a_1, \dots, a_k) \in R^k

. Montrer que

α_1 n‖(a_1, …, a_k)‖_2^(R^k) ≤ ∑_((ε_1, …, ε_k) ∈ { − 1, 1}^k)|∑_(i = 1)^k ε_i a_i| ≤ β_1 n‖(a_1, …, a_k)‖_2^(R^k).

On pourra utiliser les questions 11 et 16.

21▹

En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel

F

de dimension

k

R^n

tel que :

\forallx \in F, α_1\sqrtn‖x‖_2^(R^n) \leq ‖x‖_1^(R^n) \leq β_1\sqrtn‖x‖_2^(R^n).

En ordonnant les

n

éléments de

{ − 1, 1}^k

de manière arbitraire, on pourra utiliser l'application

T

définie sur

R^k

par

T(a_1, …, a_k) = (∑_(i = 1)^k a_i ε_i)_((ε_1, …, ε_k) ∈ { − 1, 1}^k)

Fin du problème

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Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 MP/MPI des Mines 2025 ?

Le sujet porte sur les probabilités et mobilise aussi les séries entières, l'intégration et l'algèbre euclidienne, à travers les inégalités de Hölder et de Khintchine.

Le sujet de mathématiques 1 MP/MPI Mines 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un peu long mais raisonnable, avec des questions difficiles et d'autres abordables, ce qui a permis de bien classer les candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury signale des cas particuliers non traités dans l'inégalité de Hölder, une question sur la convergence d'intégrale mal traitée, des questions techniques délaissées, ainsi que des copies peu soignées et des calculs à indices difficiles à lire.

Quelles sont les parties du sujet de mathématiques 1 MP/MPI des Mines 2025 ?

Le sujet s'articule autour de l'inégalité de Hölder, d'une inégalité de déviation, des inégalités de Khintchine, puis de deux conséquences portant sur un produit scalaire et sur un sous-espace vectoriel.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 1 MP MPI 2025

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