Mines Physique 1 MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Impulsion mécanique et mesures optiques

5,0(1 vote)

Faisable en sup ?

Faisable en partie en MP2I : 6 questions sur 25. Autres questions faisables en MP2I

Autres premières années : TSI1 3 questions.

Détail par partie

Partie I : Impulsion de particules élémentaires4/5En partie
Partie II : Le spectre d’émission des atomes d’hydrogène2/3En partie
- Question 7
- Question 8
Partie III : Mesures interférométriques de longueurs d’onde0/112e année
Partie IV : L’équation de Klein–Gordon0/62e année

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Difficile

Impulsion mécanique et mesures optiques : relativité restreinte, spectre de l'hydrogène et effet tunnel relativiste

Le sujet part de l'énergie et de l'impulsion en relativité restreinte pour faire le pont entre mécanique classique et physique quantique. Une courte partie introduit le spectre de l'hydrogène, puis une partie très classique étudie l'interféromètre de Michelson pour mesurer ces raies. La dernière partie, indépendante des précédentes, compare les équations de Schrödinger et de Klein-Gordon et conclut sur un effet tunnel relativiste.

1Partie I : relativité restreinte, énergie et impulsionÉtablit les expressions de l'énergie et de l'impulsion en relativité restreinte.
2Partie II : spectre de l'hydrogènePartie courte qui introduit le sujet d'étude, le spectre de l'hydrogène.
3Partie III : mesure des raies par interféromètre de MichelsonPartie très classique d'optique ondulatoire sur un dispositif de mesure des raies spectrales.
4Partie IV : Schrödinger contre Klein-GordonCompare les deux équations d'onde et discute la possibilité d'un effet tunnel relativiste avec transmission totale.

Difficile. Le rapport signale plusieurs questions peu ou très mal traitées (Q7, Q8, Q16, Q18, Q24, Q25) et une question qualifiée de « difficile, très peu traitée ».

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,85 / 20 · écart-type 3,92 · 939 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,85/ 20
Écart-type: 3,92
Présents: 939
Coefficient: 3
Durée: 3 h
1er quartile: 8,2
Médiane: 10,9
3e quartile: 13,6

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Homogénéité des équations non vérifiée · Bilans d'énergie et d'impulsion non posés · Confusion entre énergie d'un niveau et différence d'énergie

Le jury déplore qu'une trop grande proportion de candidats ne maîtrise pas les connaissances du cours, notamment sur l'interféromètre de Michelson et la distinction entre état stationnaire et onde stationnaire. Les questions de début de sujet (unités, relation impulsion-vitesse) ont plutôt été bien traitées, mais plusieurs questions plus avancées ont été peu ou mal réussies.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Homogénéité des équations non vérifiéeQ1-Q4, Q20-Q22
Des grandeurs dimensionnellement simples comme les vitesses, énergies et impulsions ont été manipulées de façon incohérente, en particulier aux questions 1 à 4 et 20 à 22.
2
Bilans d'énergie et d'impulsion non posésQ6
Sur une question portant sur les niveaux d'énergie internes de l'atome, peu de copies ont su écrire un bilan d'énergie et un bilan d'impulsion ; beaucoup ont plutôt cherché à recopier une expression de la partie I.
« Cette question a été contre toute attente très sélective. »
3
Confusion entre énergie d'un niveau et différence d'énergieQ8
La longueur d'onde du photon émis est associée à une différence d'énergie entre deux niveaux, et non à un niveau d'énergie seul ; cet élément a souvent manqué dans les copies.
« Cette question a été le plus souvent très mal traitée. »
4
Question de fin de sujet peu abordéeQ18
Une question jugée difficile par le jury a été très peu traitée par les candidats.
« Question difficile, très peu traitée. »
5
Schéma manquant ou réponse non rédigée
L'absence de schéma quand il est demandé est systématiquement sanctionnée, de même que les réponses réduites à une suite de formules sans phrase de raisonnement.
« Lorsqu’un schéma est demandé, l’absence de schéma est systématiquement sanctionnée. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions sur les unités et la relation entre impulsion et vitesse ont été bien traitées dans l'ensemble.
L'existence d'une onde évanescente associée à l'effet tunnel est bien connue des candidats.

Conseils du jury

Toujours vérifier l'homogénéité des équations obtenues, y compris pour des grandeurs dimensionnellement simples.
Bien lire l'énoncé pour répondre exactement à la quantité demandée (par exemple une grandeur vectorielle et non scalaire, ou E et non E²).
Rédiger chaque réponse sous forme de phrase complète avec un raisonnement explicite, et non une simple suite de formules.
Tracer un schéma dès qu'il est demandé par l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

25 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

25 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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A2025 - PHYSIQUE I MPI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MPI

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Impulsion mécanique et mesures optiques

Le sujet comporte quatre parties I, II, III et IV qui, bien que liées les unes aux autres, peuvent être abordées de manière totalement indépendante sous réserve d'admettre éventuellement les résultats affirmés par l'énoncé. Dans les questions posées, exprimer signifie donner une expression littérale et calculer signifie donner une valeur numérique; toutes les applications numériques seront réalisées avec seulement deux chiffres significatifs. Les vecteurs seront surmontés d'une flèche,

p⃗

v⃗

. Les grandeurs complexes seront soulignées,

Ψ_-

z_-

, sauf i , tel que

i^2 = - 1

.
Dans le langage général, le sens usuel du mot impulsion désigne l'élan initial qu'on peut donner à une particule élémentaire ou à un projectile macroscopique qui poursuit ensuite son mouvement. Le même mot a un sens plus spécifique en physique ; l'impulsion, d'abord définie en mécanique classique comme la quantité de mouvement dans de très nombreux cas, se retrouve en mécanique quantique comme en mécanique relativiste avec un sens étendu.
Nous admettrons dans tout ce qui suit que l'impulsion

p⃗

d'une particule ponctuelle libre (non engagée dans une liaison), de masse

m

et d'énergie

E

est, dans le cadre général de la théorie d'Einstein (1905), donnée par la relation dite du triangle relativiste :

E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4

où

p = ‖p⃗‖

c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

est la célérité de la lumière dans le vide; par ailleurs, cette même impulsion

p⃗

est, dans la description ondulatoire des particules, associée à la longueur d'onde

λ

de l'onde associée à la particule par la relation de De Broglie (1924) :

λ = h/p

où

h = 6, 6 \times 10^(- 34) J \cdot Hz^(- 1)

est la constante de Planck (19oo).

I Impulsion de particules élémentaires

1. Quel est, à votre avis, la nature du «triangle relativiste» évoqué par la relation (1)?

Représenter celui-ci.
Quelle est l'unité usuelle, dans le système international, de l'impulsion

p

? du produit

pc

?
L'énergie des systèmes macroscopiques s'exprime usuellement en joule (J) ou en kilowatt-heure (

1 kW \cdot h = 3, 6MJ

). Dans toute la suite de la partie

I

, l'énergie des particules élémentaires sera donnée en MeV (méga-électron volt) où

1MeV = 10^6 eV

1eV = 1, 6 \times 10^(- 19) J

. Les masses des particules seront données en

MeV/c^2

et leurs impulsions en

MeV/c

. Par exemple la masse de l'électron vaut

m_e = 0, 51MeV/c^2

et celle du proton vaut

m_p = 940MeV/c^2

(ou, si on préfère,

m_e c^2 = 0, 51MeV

m_p c^2 = 940MeV

1. On appelle énergie de repos d'une particule la valeur $E_0$ de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer $E_0$ pour un proton et calculer sa valeur numérique.
  Pour une particule en mouvement, le supplément d'énergie $E_c = E - E_0$ porte le nom d'énergie cinétique.
1. On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque $E_c≪E_0$ . En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de $E_c$ en fonction de l'impulsion $p$ et de la masse $m$ de la particule. Quelle est alors la relation entre l'impulsion $p⃗$ et la vitesse $v⃗$ d'une particule?
  Quelle vitesse maximale peut-on donner à un proton pour rester dans la limite classique telle que $E_c/E_0 < 1%$ ? Même question pour un électron.

Si on ne se limite pas aux faibles vitesses, on peut montrer, et on l'admettra, la relation générale entre la masse

m

, la vitesse

v⃗

de norme

v = ‖v⃗‖

, l'impulsion

p⃗

de la particule et la célérité

c

de la lumière :

p⃗ = (mv⃗)/(\sqrt(1 - v^2/c^2))

1. En déduire l'expression générale de l'énergie totale $E = f(E_0, v, c)$ d'une particule de masse $m$ .
1. Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à $c$ . Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation $E = f(E_0, v, c)$ établie à la question précédente?
  Déduire de (2) l'expression de l'énergie $E$ d'un photon en fonction de la longueur d'onde $λ$ puis de la fréquence $ν$ de l'onde. Faire l'application numérique dans les cas des ondes lumineuses des domaines bleu ( $λ \sim 400 nm$ ) puis rouge ( $λ \sim 600 nm$ ). On pourra exploiter le fait que $hc ≃ 1, 2eV \times μm$ et on exprimera $E$ en eV.

II Le spectre d'émission des atomes d'hydrogène

On s'intéresse ici à l'émission d'un photon, d'énergie

E

et d'impulsion

p = E/c

, par un atome initialement au repos, de masse

m

. Au cours de cette émission, l'atome passe de l'énergie initiale

E_i

à l'énergie finale

E_f = E_i - ΔE < E_i

et il recule avec, dans le cadre d'une description classique, l'impulsion

mv⃗

et l'énergie cinétique

1/2mv^2

(figure 1) de sorte que l'impulsion totale du système complet reste nulle après l'émission, comme elle l'était avant émission. La direction de l'impulsion

p⃗

du photon est donc opposée à la vitesse

v⃗

de l'atome qui recule.

Figure 1 - Émission d'un photon par un atome au repos

1. On admet que l'énergie totale du système après émission est identique à celle de l'atome au repos avant l'émission. En déduire la relation $E = mc^2(\sqrt(1 + 2η) - 1)$ et exprimer $η$ en fonction de $ΔE, m$ et $c$ .
1. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, $ΔE$ est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre $ΔE = E_i - E_f$ et l'énergie $E$ du photon émis.
  La résolution de l'équation de Schrödinger (1922) dans le cas de l'atome d'hydrogène montre que les valeurs de l'énergie $E_n$ de l'atome sont quantifiées en fonction du nombre quantique principal $n \in ℕ^*$ et de la grandeur $H = 27, 2eV$ selon la relation : $E_n = - H/(2n^2)$ . Cette expression est confirmée par l'étude des ondes lumineuses, de longueur d'onde $λ$ , émises par un ensemble d'atomes d'hydrogène qui rayonnent par désexcitation depuis un état initial quantifié par $n_i$ vers l'état final quantifié par $n_f < n_i$ .
  $◻ - 8$ . Lorsque l'état final est $n_f = 1$ , montrer qu'il existe une $λ_(max)$ telle que $λ ⩽ λ_(max)$ et donner une estimation de $λ_(max)$ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission? Lorsque l'état final est $n_f > 2$ , montrer qu'il existe une $λ_(min)$ que l'on estimera, telle que $λ ⩾ λ_(min)$ . Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission?
  Les raies d'émission de l'hydrogène dans le domaine visible (les raies de Balmer) ont été étudiées à partir de 1853 par $Å Å$ NGSTR $\emptyset$ M ; à quelles valeurs de $n_f$ correspondent-elles?

C'est la connaissance précise de ce spectre qui a permis l'étude de la quantification de l'énergie des atomes donc l'introduction de la mécanique quantique au début de XX

^e

siècle. Cette connaissance a été par la suite améliorée au moyen de la spectrométrie interférentielle.

III Mesures interférométriques de longueurs d'onde

En 1907, Michelson est le premier américain à recevoir le prix Nobel de physique pour ses instruments optiques de précision et les mesures spectroscopiques et métrologiques réalisées au moyen de ceux-ci. En particulier, il publiera en 1892 des mesures relatives aux spectres d'émission de plusieurs sources, obtenues par spectroscopie interférentielle, et notamment pour les raies

H_α

(rouge) et

H_β

(bleue) d'émission par les atomes d'hydrogène.

III.A L'interféromètre de Michelson

Le schéma du montage utilisé par Michelson est proposé figure 2. Le dispositif monochromateur, formé d'un prisme de verre dispersif et d'une fente étroite, éclaire l'appareil en sélectionnant une raie quasi-monochromatique de longueur d'onde

λ_0

, appartenant au domaine visible. L'observation est réalisée au moyen d'un oculaire afocal, réglé à l'infini : il donne d'un objet situé à grande distance une image également à grande distance, mais agrandie.

Figure 2 - Dispositif de mesure en spectroscopie interférentielle

1. L'interféromètre comporte deux lames de verre $L_1$ et $L_2$ , parallèles, de même épaisseur $e$ et de même indice optique $n$ , inclinées d'un angle $π/4$ relativement à l'axe ( $O, e⃗_x$ ) normal au miroir fixe. La lame $L_1$ est munie d'une couche semi-réfléchissante sur une seule de ses faces; laquelle? Justifier, en vous appuyant sur un schéma.
1. Après réglage des vis $V_1$ et $V_2$ les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l'axe optique ( $O, e⃗_z$ ) de l'oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et l'opérateur observe, au moyen de cet oculaire réglé à l'infini, des franges d'interférence. Quelle est la forme de ces franges?
  Peut-on encore les observer si l'oculaire est déréglé?
1. Tout en observant les franges, l'observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan $(O, e⃗_x, e⃗_y)$ , le long de l'axe ( $O, e⃗_z$ ). Relier le nombre $ΔN$ de franges sombres qui défilent au centre du champ et le décalage $Δz$ du miroir mobile.
1. Exprimer, au moyen d'un schéma approprié, la différence de marche observée à l'infini dans une direction donnée, en fonction de l'écart séparant les deux miroirs.
  Le déplacement maximal de la vis micrométrique à partir du contact optique est noté $Δz_(max)$ . Déterminer, après ce déplacement, l'angle $Δθ$ qui sépare le centre de la figure de la première frange de même nature.
1. Dans le cas d'une des raies de l'hydrogène atomique, on observe le défilement de $N = 3156$ franges pour un décalage $Δz = 1035 \pm 2μ m$ . S'agit-il de la raie $H_α$ ou $H_β$ ?
  Avec quelle précision relative mesure-t-on sa longueur d'onde $λ_0$ ?
  Que vaut alors $Δθ$ ? Commenter.

III.B Cohérence spectrale d'une source

Une source de lumière éclaire avec la même intensité

I_0

les deux voies d'un interféromètre; l'observation est réalisée en un point où la différence de marche est

δ

◻ - 14

. Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde

λ_0

, exprimer l'intensité

I(δ)

en fonction de

I_0, λ_0

δ

. Définir et calculer le facteur de contraste

C

des franges.
Certaines sources lumineuses sont en fait bichromatiques : elles émettent deux radiations de longueurs d'onde très proches

λ_1

λ_2

et on pose alors

λ_0 = 1/2(λ_1 + λ_2)

Δλ = |λ_2 - λ_1|

en admettant toujours

Δλ≪λ_0

1. Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en III.A. Expliciter l'intensité $I$ observée en fonction de $I_0$ , de la différence de marche $δ$ , de $λ_0$ et de $Δλ$ .
  Exprimer le facteur de contraste $C$ des franges et montrer comment il permet la mesure de $λ_0/Δλ$ .
1. D'autres sources, comme celles émettant la raie $H_α$ de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités $I_1$ et $I_2 < I_1$ émises aux longueurs d'onde $λ_1$ et $λ_2$ sont différentes. Pour quelle(s) valeur(s) de $δ$ le facteur de contraste des franges est-il minimal? Quelle est cette valeur minimale?
  Dans le cas de la raie double $H_α$ , l'écart $Δλ$ est de l'ordre de $1, 4 \times 10^(- 11) m$ . Est-il possible de le mettre en évidence avec le montage proposé ci-dessus?

III.C Les tubes à hydrogène

Pour l'étude du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène, une première technique

^1

, initiée dans les années 1930, a consisté à utiliser un tube

AB

contenant de l'hydrogène moléculaire (dihydrogène, formule

H_2

) sous faible pression ( 150 mbar ) soumis à des décharges électriques de

haute tension entre deux électrodes

E_1

E_2

; l'observation se fait au travers d'une fenêtre de quartz

F

(cf. figure 3). Le spectre d'émission obtenu présente la superposition d'un fond quasicontinu et de raies bien identifiées, comme le montre la figure 4 tirée de l'article présentant la technique originelle.

Figure 3 - Illustration du dispositif : reproduction de la figure 1 de l'article originel

◻ - 17

. Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central?
Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse? Quelle est, à votre avis, l'origine du fond continu (essentiellement dans le proche ultraviolet) marqué en trait pointillé gris?

Figure 4 - Spectre d'émission du tube à hydrogène en échelle logarithmique

On préfère actuellement utiliser des lampes à décharge d'une constitution différente : il s'agit de tubes à décharge remplis de vapeur d'eau permettant l'obtention d'un spectre atomique sans bande continue. En présence des décharges à haute tension, ce type de lampe est le siège des réactions

H_2 O = HO + H

1. Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit?

Ces lampes contiennent une certaine proportion d'eau lourde, molécules HDO dans laquelle un des deux atomes d'hydrogène

_1^1 H

est remplacé par un atome de deutérium

_1^2 D

, dont le noyau est formé d'un proton et d'un neutron. Si on tient compte de la masse

m_N

du noyau atomique, on peut montrer que la longueur d'onde d'émission d'une des raies spectrales de l'hydrogène atomique vérifie la relation :

λ = λ_\infty(m_e + m_N)/(m_N)

où

m_e

est la masse de l'électron et

λ_\infty

la longueur d'onde idéale si

m_N \to \infty

1. Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge?
  De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer pour séparer les raies de l'hydrogène et celles du deutérium ?
  À partir d'une lecture de la courbe de la figure 4, faire l'application numérique dans le cas de la raie $H_β$ .

IV L'équation de Klein-Gordon

Lors du développement de la mécanique quantique (ou mécanique ondulatoire), l'onde de matière

Ψ_-(r⃗, t)

a d'abord été considérée comme solution de l'équation de SCHRÖDINGER (4) :

ù - (ℏ^2)/(2m)ΔΨ_- + V(r⃗)Ψ_-(r⃗, t) = iℏ(\partialΨ_-)/(\partialt) où ℏ = h/(2π) et i^2 = - 1

pour une particule de masse

m

repérée par sa positon

r⃗

et soumise à l'interaction décrite par la fonction potentiel scalaire

V(r⃗)

. En 1926, Klein et Gordon en ont proposé une version modifiée qu'on écrira :

ℏ^2 c^2 ΔΨ_- + (iℏ\partial/(\partialt) - V(r⃗))^2 Ψ_-(r⃗, t) = m^2 c^4 Ψ_-(r⃗, t)

Dans la suite on s'intéressera exclusivement aux solutions de l'une ou l'autre équation, de la forme :

Ψ_-(r⃗, t) = ψ_-_0 exp[ - i/ℏ(Et - p(E)x)]

où

ψ_0

est une certaine constante complexe,

x

est l'une des coordonnées cartésiennes de

r⃗, E > 0

est l'énergie de la particule et

p(E) > 0

son impulsion.

1. L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire?

Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu?
Exprimer les vitesses de phase

v_φ

et de groupe

v_g

en fonction de

E

, de

p(E)

et de sa dérivée.

1. Exprimer $p(E)$ et $v_g(E)$ dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Schrödinger dans un domaine où $V$ est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation de Schrödinger.
1. Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KleINGordon (5).

On s'intéresse enfin à la résolution du problème physique suivant : la particule étudiée est libre (

V = 0

) pour

x < 0

x > a

et pourvue d'une énergie

E

, tandis que, dans l'intervalle

x \in [0, a]

, elle est soumise à une interaction caractérisée par

V = V_0 > E

(figure 5) et même

V_0 - E > mc^2

. Les solutions de l'équation (de Schrödinger ou de Klein-Gordon) seront donc écrites, pour

x < 0

x > a

, sous les formes respectives :

Ψ_-(x < 0, t) =, ψ_-_0 exp[ - i/ℏ(Et - px)] + R_-ψ_-_0 exp[ - i/ℏ(Et + px)]; Ψ_-(x > a, t) = T_-ψ_-_0 exp[ - i/ℏ(Et - px)]

où

T_-

R_-

sont deux constantes complexes.

Figure 5 - Barrière de potentiel

On se place d'abord dans le cas de l'équation de Schrödinger.

1. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine $x \in [0, a]$ ?

Quelles relations permettent de calculer

R_-

T_-

? On ne demande pas de les exprimer ici!
Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en évidence?
Quelle est l'interprétation physique de

|T_-|^2

?
On se place maintenant dans le cas de l'équation de Klein-Gordon.

1. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine $x \in [0, a]$ ? On notera qu'en introduisant $ε = E - V_0$ , on a $q^2 = ((ε - mc^2)(ε + mc^2))/(c^2) > 0$ .
  Les mêmes relations que dans l'étude de la barrière de potentiel dans le cadre de l'équation de Schrödinger conduisent, pour l'onde de Klein-Gordon, à la relation (que l'on admettra) :

|T_-|^2 = 1/(|cosφ - iαsinφ|^2) avec α = 1/2(p/q + q/p) et φ = (qa)/ℏ

1. Déterminer la valeur maximale de $|T_-|^2$ . Commenter.

FIN DE L'ÉPREUVE

1. D. Chalonge et Ny Tsi Zé, J. Phys. Radium, 1930

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte Physique 1 Mines-Ponts MPI 2025 ?

Le sujet porte sur la relativité restreinte (énergie et impulsion), le spectre de l'hydrogène, l'interféromètre de Michelson, puis une comparaison entre les équations de Schrödinger et de Klein-Gordon avec un effet tunnel relativiste.

Le sujet Physique 1 MPI 2025 des Mines est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme sélectif : plusieurs questions, notamment en fin de sujet, ont été peu ou très mal traitées par les candidats, même si les premières questions ont plutôt été bien réussies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Des problèmes d'homogénéité des équations, une confusion entre l'énergie d'un niveau atomique et une différence d'énergie, et des réponses non rédigées ou sans schéma quand celui-ci était demandé.

Faut-il bien maîtriser l'interféromètre de Michelson pour ce sujet ?

Oui, le rapport indique que le tracé des rayons et la démonstration de la différence de marche en lame d'air n'étaient pas assez maîtrisés par de nombreux candidats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 1 MPI 2025

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