X ENS Physique MPI 2025 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Difficile

Ondes électromagnétiques à la surface des plasmas : plasmons de surface localisés et plasmons de surface

Le sujet modélise les électrons de conduction d'un métal comme un plasma dilué pour étudier deux familles de plasmons. La première partie détermine les pulsations d'oscillation de plasmons localisés dans des nanostructures métalliques (plaque, sphère, cylindre), avec une application au traitement médical par nanoparticules d'or. La seconde étudie les plasmons de surface à l'interface plane entre un métal et le vide, jusqu'à l'onde évanescente et la vitesse de groupe.

1Partie I : plasmons de surface localisésOscillations électroniques dans une plaque, une sphère puis un cylindre métallique nanométrique, avec une application aux nanoparticules d'or utilisées en médecine.
2Partie II : plasmons de surfaceConductivité complexe et relation de dispersion dans le métal, puis réflexion, transmission et onde évanescente à l'interface plane métal-vide.

Difficile. Sur 393 candidats, la moyenne n'est que de 9,24/20 avec un écart type de 4,02, et plusieurs questions sont qualifiées de relativement discriminantes ou de très peu réussies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,24 / 20 · écart-type 4,02 · 393 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,24/ 20
Écart-type: 4,02
Copies: 393

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Erreur de signe dans l'équation du mouvement des électrons · Erreurs d'homogénéité sur la pulsation propre · Symétries non invoquées pour justifier le champ

Le sujet comportait des questions de cours ou d'application directe ainsi que des questions nécessitant une réflexion plus approfondie, de difficulté assez comparable entre les deux parties. Une grande majorité des candidats a pu aborder chacune des deux parties du problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreur de signe dans l'équation du mouvement des électronsQ2
De nombreuses copies comportent une erreur de signe qui aurait pu être évitée en vérifiant que l'équation obtenue correspond bien à celle d'un oscillateur harmonique.
« de nombreuses copies comportaient une erreur de signe »
2
Erreurs d'homogénéité sur la pulsation propreQ3
Certaines copies omettent la masse ou donnent le carré de la pulsation propre à la place de la pulsation elle-même.
« certaines copies présentent des erreurs d'homogénéité »
3
Symétries non invoquées pour justifier le champQ4
De nombreux candidats perdent des points pour ne pas avoir explicitement invoqué les symétries et l'invariance par rotation justifiant le caractère radial du champ.
« de nombreux candidat(e)s ont perdu des points pour ne pas avoir invoqué les symétries »
4
Théorème de Gauss mal appliqué à la discontinuité du champQ7
Peu de candidats comprennent qu'il faut appliquer le théorème de Gauss au voisinage de la surface chargée en tenant compte de la discontinuité du champ électrique.
« Peu de candidat(e)s ont compris qu'il fallait appliquer le théorème de Gauss au voisinage de la surface »
5
Orientation des lignes de champ électrique omiseQ9
La convention selon laquelle les lignes de champ électrique partent des charges positives vers les charges négatives est souvent omise ou mal appliquée.
« les lignes de champ électrique partent des »
6
Signe des vecteurs d'onde imaginaires purs mal identifiéQ31
Pour l'onde évanescente, une grande majorité des copies affirme à tort que les deux vecteurs d'onde selon z, dans le vide et dans le métal, sont des imaginaires purs de même signe.
« une grande majorité des copies affirme à tort que ces deux »

Ce qui a été bien réussi

La première question, application directe du cours, a été relativement bien traitée.
La question 17 sur la conductivité complexe a reçu une réponse satisfaisante de l'immense majorité des candidats l'ayant abordée.
La première partie de la question 12, sur le champ à l'intérieur d'un cylindre chargé, a été traitée correctement par la quasi-totalité des candidats ayant réussi la question 11.

Conseils du jury

Soigner son expression écrite et éviter un langage approximatif.
Vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats obtenus pour éviter les erreurs grossières.
Présenter les résultats numériques avec les unités correctes et un nombre de décimales cohérent avec les données de l'énoncé.
Toujours justifier les hypothèses formulées et définir explicitement les variables introduites.
Ne pas négliger les applications numériques demandées, qui comptent pour une part importante des points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

37 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

37 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025 08h00-12h00

FILIERE MPI - Epreuve n $^\circ5$

PHYSIQUE MPI (XUL)

Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Ondes électromagnétiques à la surface des plasmas

On se contentera de réponses courtes, sauf à la question 29 où on détaillera le calcul. Les parties I et II sont largement indépendantes.

Dans de nombreuses situations, les électrons de conduction d'un métal peuvent être modélisés comme les électrons d'un plasma dilué. Ils présentent des modes d'oscillation, qu'on désigne sous le terme générique de plasmons. Ce problème étudie deux catégories de plasmons : ceux qui apparaissent dans des petites billes ou tiges métalliques de taille nanométrique, dits plasmons de surface localisés, et ceux qu'on observe au voisinage de la surface plane d'un métal de grande dimension, dits simplement plasmons de surface. Ces plasmons ont de nombreuses applications tirant parti du fait qu'ils absorbent la lumière à des fréquences précises.

Dans tout ce problème, on modélise le métal comme un plasma dilué. On note

N

la densité volumique des électrons de masse

m

et de charge

- e

. Les ions sont supposés immobiles, avec une densité volumique de charges uniforme

Ne

.

I - Plasmons de surface localisés

On considère une plaque de métal d'épaisseur négligeable par rapport à ses dimensions transversales. Elle porte sur une face une densité de charges surfacique uniforme $σ$ , et sur l'autre une densité $- σ$ (figure $1(a)$ ). On suppose dans toute cette partie que le métal est placé dans le vide. En appliquant les lois de l'électrostatique, déterminer le champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur de la plaque en un point éloigné du bord.

Figure 1 - Illustration des oscillations de charge à la surface d'une plaque mince (a) et d'une sphère ou d'un cylindre (b).

La densité surfacique de charges est créée par une translation globale des électrons par rapport aux ions, dans une direction perpendiculaire à la plaque. Exprimer $σ$ en fonction de l'amplitude $x$ de cette translation, de $N$ et de $e$ .
On admet que le résultat obtenu à la question 1 reste valable lorsque la densité de charges dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement d'un électron de la plaque, de masse $m$ , sous l'effet du champ électrique. En déduire que l'amplitude $x$ du déplacement des électrons oscille à une pulsation $ω_p$ dont on donnera l'expression en fonction de $N, e, m$ , et de la permittivité du vide $ε_0$ .

Nous allons maintenant étudier les oscillations des électrons dans une sphère métallique, représentées sur la figure 1 (b).
4. Dans un premier temps, considérons une sphère uniformément chargée en volume, avec une densité volumique de charge notée

ρ

. Déterminer le champ électrique à l'intérieur de la sphère.
5. On suppose que l'ensemble des électrons du métal a un petit déplacement de translation d'amplitude

x⃗

global par rapport aux ions, comme à la question 2. Donner l'expression du
champ électrique obtenu par superposition des champs créés par les ions et les électrons, et montrer qu'il est uniforme.
6. Comme pour la plaque, on admet que le résultat obtenu reste valable lorsque

x⃗

dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement des électrons sous l'effet du champ électrique, et en déduire que l'amplitude

x⃗

oscille à une pulsation

ω_s

qu'on exprimera en fonction de

ω_p

.

Nous allons maintenant caractériser brièvement le champ électrique à l'extérieur de la sphère métallique représentée sur la figure 1 (b). Le schéma correspond à un déplacement des électrons parallèle à l'axe

x

et de sens opposé, puisque la charge négative est portée par la partie inférieure de la sphère.
7. Exprimer en fonction du déplacement la densité surfacique de charges au point repéré par la lettre

S

sur la figure 1 (b), où la surface de la sphère est perpendiculaire à l'axe

x

. En déduire le champ électrique juste au-dessus. Comment se compare-t-il au champ à l'intérieur, déterminé à la question 5 ? Comparer au cas de la plaque étudié à la question 1.
8. Quel type de champ connu retrouve-t-on à grande distance de la sphère?
9. Tracer, sans calcul, l'allure des lignes de champ à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère.
10. Nous avons fait tous les calculs dans l'approximation électrostatique. À quelle condition, portant sur la taille de la sphère, est-il légitime de négliger les phénomènes de propagation?
11. Les valeurs de

ω_p

pour l'or et l'argent, qui sont les métaux les plus fréquemment utilisés, correspondent à des fréquences électromagnétiques dans l'ultraviolet proche. L'approximation électrostatique est-elle alors raisonnable pour des billes de 20 nm de diamètre?
12. En utilisant la même méthode que pour la sphère, déterminer la pulsation

ω_c

de l'oscillation des électrons dans un cylindre métallique de révolution infiniment long, en supposant leur déplacement

x⃗

perpendiculaire à l'axe du cylindre (figure 1 (b)). Exprimer

ω_c

en fonction de

ω_p

.
13. On considère enfin le cas d'un cylindre métallique de rayon

R

et de longueur

L

avec

L≫R

, et un mouvement d'oscillation des électrons parallèlement à l'axe du cylindre. La charge surfacique résultant de ce mouvement est alors localisée sur les extrémités du cylindre. Si le cylindre est très allongé, le champ électrique ressenti à une extrémité peut être assimilé au champ créé par une charge ponctuelle située à l'autre extrémité. Déterminer, dans le cadre de cette modélisation simplifiée, la pulsation d'oscillation, qu'on notera

ω_l

, en fonction de

ω_p, R

et

L

.
14. Des expériences réalisées sur des nanoparticules d'or montrent que leurs fréquences d'oscillation dépendent faiblement de leur taille, mais fortement de leur forme. Pour des nanotiges d'or, la pulsation des oscillations longitudinales étudiées à la question précédente est celle d'une onde électromagnétique dans le vide de longueur d'onde 800 nm si

L/R = 8

, et 1300 nm si

L/R = 18

. Commentez ces observations à la lueur des résultats obtenus.
15. Les nanoparticules métalliques peuvent notamment être utilisées pour le traitement des cancers. Elles sont suffisamment petites pour pénétrer dans les cellules de l'organisme, et il se trouve qu'elles sont davantage stockées dans les cellules cancéreuses que dans les cellules saines. Le principe est alors d'envoyer une onde laser dont la pulsation coïncide avec une des pulsations caractéristiques de l'oscillation des électrons dans la nanoparticule. Cette résonance excite le plasmon dont l'amortissement, par des phénomènes qui sortent du cadre de notre étude, produit un dégagement de chaleur qui tue la cellule cancéreuse. Pour que l'onde laser puisse pénétrer dans les tissus biologiques, il faut que sa longueur d'onde soit dans l'infrarouge proche. À la lueur des résultats obtenus plus haut, expliquer pourquoi on utilise des nanotiges d'or, en forme de cylindre allongé, plutôt que des nanosphères d'or.
16. Le chauffage est-il plus efficace si la direction de propagation du laser est parallèle ou perpendiculaire à l'axe du cylindre?

II - Plasmons de surface

Nous allons maintenant nous intéresser aux oscillations électroniques observées au voisinage de la surface plane d'un métal de grande dimension.
17. Écrire l'équation du mouvement des électrons du métal dans un champ électrique uniforme oscillant à la pulsation

ω

. En déduire l'expression de la conductivité complexe

γ

en fonction de

N, e, m

et

ω

. On supposera dans toute cette partie que cette expression reste valable si le champ électrique n'est pas uniforme.
18. Établir la relation de dispersion reliant

ω

au vecteur d'onde

k⃗

pour une onde plane transverse électrique monochromatique se propageant dans le métal. On note

c

la vitesse de la lumière dans le vide. Vérifier que l'expression de la pulsation de coupure coïncide avec celle de

ω_p

obtenue à la question 3.

Nous allons maintenant étudier la propagation d'une onde électromagnétique près de la surface d'un métal. On choisit un système de coordonnées cartésiennes tel que cette surface soit le plan

z = 0

, le métal occupant le demi-espace

z < 0

et le vide le demi-espace

z > 0

(figure 2). Nous allons chercher des solutions telles que l'onde électromagnétique soit transverse, plane et monochromatique de chaque côté de la surface. Lorsque cela est nécessaire, on distinguera par des indices 1 et 2 les caractéristiques de l'onde dans le vide et dans le métal.

Figure 2 - Schéma de l'interface vide-métal.

On choisit une onde telle que le champ magnétique $B⃗$ soit dirigé suivant $y$ en tout point. Que peut-on alors dire des directions du vecteur d'onde $k⃗$ et du champ électrique $E⃗$ , dans le vide et dans le métal?
On note $E_x$ et $E_z$ les amplitudes complexes de $E⃗$ suivant $x$ et $z$ , et on suppose $k_z$ non nul. Exprimer $E_z$ en fonction de $E_x, k_x$ et $k_z$ , dans le vide et dans le métal.
On note $B_y$ l'amplitude complexe du champ magnétique en projection sur l'axe $y$ . Exprimer $B_y$ en fonction de $E_x, k_x, k_z$ et $ω$ , dans le vide et dans le métal.
En utilisant la relation de dispersion entre $ω$ et $k⃗$ , éliminer $k_x$ dans l'expression obtenue, et exprimer $B_y$ en fonction de $E_x, k_z$ , et $ω$ . On distinguera les cas du vide et du métal, et on fera intervenir $c$ et $ω_p$ .
On admet que les composantes de $E⃗$ parallèles à la surface du métal sont continues de part et d'autre de l'interface $z = 0$ , et on cherche des solutions telles que ces composantes ne soient pas identiquement nulles. Expliquer brièvement pourquoi ceci implique que $k_x$ et $ω$ soient identiques dans le vide et dans le métal.
Justifier qu'il apparaît en tout point de la surface du métal une densité surfacique de charges $σ$ , reliée à la densité de courant en ce point par $\partialσ/\partialt = j_z$ , où $j_z$ représente la composante suivant $z$ de la densité de courant au même point.
En utilisant l'expression de la conductivité complexe obtenue à la question 17, en déduire la relation entre l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge $σ$ et l'amplitude complexe $E_(z2)$ de la composante suivant $z$ du champ électrique dans le métal.
En utilisant les lois de l'électrostatique, dont on supposera qu'elles restent valables bien que le champ dépende du temps, exprimer $E_(z1) - E_(z2)$ en fonction de $σ$ et $ε_0$ . En utilisant l'expression de $σ$ obtenue à la question précédente, en déduire le rapport $E_(z1)/E_(z2)$ en fonction de $ω$ et $ω_p$ .
En utilisant le résultat de la question 20, en déduire le rapport $k_(z2)/k_(z1)$ en fonction de $ω$ et $ω_p$ .
En utilisant le résultat de la question 22, montrer qu'on obtient la même expression du rapport $k_(z2)/k_(z1)$ si on suppose que $B_y$ est continu en $z = 0$ .
On pose $ε = 1 - ω_p^2/ω^2$ . Les relations de dispersion dans le vide et dans le métal, ajoutées au résultat de la question 27 ou 28 , donnent trois relations entre $k_x, k_(z1), k_(z2)$ et $ω$ , dans lesquelles on éliminera $ω_p$ au profit de $ε$ pour les simplifier. Éliminer $k_(z2)$ et $ω$ entre ces équations et vérifier la relation

k_(z1)^2 = 1/εk_x^2

En déduire la relation entre

k_(z2)

et

k_x

.
30. Il existe une première catégorie de solutions avec

ω > ω_p

, soit

ε > 0

. Les composantes du vecteur d'onde sont alors réelles dans le vide comme dans le métal. Par ailleurs, nous avons supposé que le champ électromagnétique est une onde plane de chaque côté de l'interface. Cela signifie que l'onde est totalement transmise à l'interface, sans réflexion, puisque le phénomène de réflexion impliquerait qu'il y a, du côté de l'onde incidente, deux ondes planes (incidente et réfléchie) et non une seule. Dans le cas

k_(z1) < 0

, correspondant à une onde se propageant du vide vers le métal, s'il y avait une onde réfléchie, quel serait son vecteur d'onde, d'après les lois de l'optique géométrique? Montrer que les vecteurs d'onde transmis et réfléchi sont orthogonaux entre eux. Représenter sur un schéma les vecteurs d'onde incident, transmis et réfléchi.
31. Le plasmon de surface est une solution dont le champ électrique se propage dans la direction

x

(

k_x

est donc réel), tout en décroissant exponentiellement dans la direction

z

, dans le vide comme dans le métal. Quel est l'adjectif qualifiant une telle onde? Montrer que ces solutions correspondent à des valeurs purement imaginaires de

k_(z1)

et

k_(z2)

, et préciser les signes des parties imaginaires.
32. Montrer qu'une telle solution ne peut exister que si

ω < ω_p

. On supposera cette condition satisfaite jusqu'à la fin du problème.
33. En utilisant le résultat de la question 29 et la relation de dispersion dans le vide, éliminer

k_(z1)

et exprimer

k_x^2

en fonction de

ω/c

et

ε

. Montrer que le plasmon de surface peut exister pour toute valeur de

ω

inférieure à une valeur

ω_(sp)

qu'on exprimera en fonction de

ω_p

.
34. Tracer l'allure de

ω

en fonction de

k_x

(on pourra d'abord tracer

k_x

en fonction de

ω

). Que vaut la vitesse de groupe du plasmon de surface dans les limites

ω≪ω_(sp)

et

ω \to ω_(sp)

?
35. En utilisant les résultats de la question 29, discuter comment les longueurs caractéristiques de décroissance suivant l'axe

z

dans le métal et dans le vide se comparent entre elles, et comment elles se comparent avec la longueur d'onde. Vous discuterez les limites

ω≪ω_(sp)

et

ω \to ω_(sp)

.
36. En prenant la partie réelle de l'amplitude complexe, écrire les composantes suivant

x

et

z

du champ électrique en fonction de

x, z

, et

t

, pour

z > 0

et pour

z < 0

.
37. Montrer que l'inclinaison des lignes de champ est indépendante de

z

à la fois dans le métal et dans le vide. Tracer l'allure des lignes de champ à un instant

t

fixé.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte X-ENS physique MPI 2025 ?

Le sujet, sur les plasmons dans les métaux, mobilise l'électrostatique, l'oscillateur harmonique, les équations de Maxwell et la propagation d'ondes électromagnétiques dans un conducteur.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur X-ENS physique MPI 2025 ?

Des erreurs de signe récurrentes dans les équations du mouvement, des symétries non invoquées pour justifier un champ, et une mauvaise identification du signe des vecteurs d'onde pour l'onde évanescente.

Quelle était la moyenne à X-ENS physique MPI 2025 ?

Sur 393 candidats, la moyenne était de 9,24 sur 20 avec un écart type de 4,02.

X-ENS physique MPI 2025 est-il difficile ?

Oui, plusieurs questions sont qualifiées de relativement discriminantes ou de très peu réussies par le jury, malgré des questions de cours globalement bien traitées en début de sujet.

X ENS Physique MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

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II - Plasmons de surface

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte X-ENS physique MPI 2025 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur X-ENS physique MPI 2025 ?

Quelle était la moyenne à X-ENS physique MPI 2025 ?

X-ENS physique MPI 2025 est-il difficile ?

Commentaires• X ENS Physique MPI 2025

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte X-ENS physique MPI 2025 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur X-ENS physique MPI 2025 ?

Quelle était la moyenne à X-ENS physique MPI 2025 ?

X-ENS physique MPI 2025 est-il difficile ?

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