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CCINP Mathématiques 2 MP 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Réduction des endomorphismes appliquée à des suites récurrentes couplées, groupes de permutations en Python, et critères de définie-positivité des matrices symétriques réelles
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Le sujet de mathématiques 2 du CCINP filière MP, session 2024, comporte deux exercices indépendants suivis d'un problème. Le premier exercice diagonalise une matrice pour étudier la convergence de suites définies par un système de récurrences. Le second, appuyé sur l'informatique commune, fait manipuler en Python des sous-groupes du groupe des permutations. Le problème explore plusieurs critères de définie-positivité des matrices symétriques réelles, dont le critère de Sylvester.

  1. 1Exercice 1 : réduction et suites récurrentesDiagonalisation d'une matrice 3x3 puis étude de la convergence d'un système de suites couplées défini par récurrence.
  2. 2Exercice 2 : groupes de permutations en PythonReprésentation en Python de permutations et de sous-groupes du groupe symétrique, avec écriture de fonctions de composition, d'inversion et de test d'appartenance.
  3. 3Problème : définie-positivité des matrices symétriquesDémonstration de la caractérisation spectrale, d'un critère en dimension 2 sur la trace et le déterminant, puis du critère de Sylvester en dimension quelconque, avec applications numériques.

Accessible. Le rapport qualifie le sujet de très abordable, avec une longueur raisonnable et des thèmes classiques ; un candidat de niveau moyen ayant travaillé devait pouvoir obtenir au moins la moyenne.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,26 / 20 · écart-type 4,57 · 6 431 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,26/ 20
Écart-type
4,57
Présents
6 431
Coefficient
12
Durée
4 h
moyenne 10,2605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calcul de l'inverse de la matrice de passage : temps perdu · Notion de sous-groupe mal maîtrisée · Ordre d'une permutation confondu avec le cardinal de l'ensemble
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Le sujet, jugé très abordable et de longueur raisonnable, couvrait une bonne partie du programme d'algèbre avec de nombreuses questions de cours, ce qui a permis de valoriser le travail régulier des candidats. Les difficultés variées des questions ont offert un classement adéquat, avec une moyenne de 10,26 et un écart-type de 4,57. Le jury déplore toutefois des copies très mal écrites ou raturées, et une impasse totale sur l'informatique ou les groupes chez une partie non négligeable des candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calcul de l'inverse de la matrice de passage : temps perduQ2

    Peu de candidats traitent la question 2 entièrement, du temps étant parfois perdu à calculer l'inverse de la matrice de passage alors que ce n'était pas nécessaire.

    « Peu de candidats traitent cette question entièrement. »
  2. 2
    Notion de sous-groupe mal maîtriséeQ6

    Les candidats oublient fréquemment de vérifier la non-vacuité de l'ensemble étudié, signe que la notion de sous-groupe n'est pas comprise par tous.

    « Les candidats ont fréquemment oublié de vérifier la non-vacuité »
  3. 3
    Ordre d'une permutation confondu avec le cardinal de l'ensembleQ7

    Peu de candidats obtiennent des points à cette question ; certains pensent à tort qu'une permutation d'un ensemble à n éléments est toujours d'ordre n.

    « Peu de candidats obtiennent des points à cette question. »
  4. 4
    Théorème des valeurs intermédiaires mal appliquéQ10

    Une mauvaise connaissance du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de la bijection est constatée ; le tableau de variation est parfois utilisé comme preuve de l'existence des racines sans plus de précision.

    « Une mauvaise connaissance du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de la bijection a été constatée. »
  5. 5
    Contre-exemple manquant pour la limite du critère en dimension 2Q13

    Environ la moitié des candidats traite correctement cette question ; les autres peinent à trouver un contre-exemple valide ou pensent à tort que le critère reste vrai en dimension 3.

  6. 6
    Calcul du déterminant par récurrence mal menéQ22

    Cette question, abordée par une petite partie des candidats seulement, est réussie entièrement par moins d'un candidat sur dix ; le calcul du déterminant par récurrence est souvent mal mené.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 de l'exercice 1, diagonalisation d'une matrice, a été majoritairement bien traitée.
  • La question 3 de l'exercice 2 a été bien traitée par les candidats.
  • La question 4 de l'exercice 2 a été bien réussie dans l'ensemble, malgré quelques oublis de parenthèses.
  • L'utilisation de la matrice hessienne à la question 14 semble bien maîtrisée par les candidats.
  • Les questions 15 et 16 du problème ont été majoritairement bien traitées.

Conseils du jury

  • Soigner la présentation et la tenue des copies, prises en compte dans le barème.
  • Apporter de la rigueur aux calculs et aux raisonnements présentés.
  • Connaître précisément les théorèmes du programme ainsi que les preuves des points importants.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler à chaque fois toutes les hypothèses nécessaires.
  • Éviter, dans une démonstration, d'utiliser le résultat qui doit être prouvé.
  • Ne pas faire l'impasse sur l'informatique commune ou sur les questions d'algèbre générale comme les groupes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE 1

Q1. Justifier que la matrice A = (− 4, 2, − 2; − 6, 4, − 6; − 1, 1, − 3) est diagonalisable et déterminer une matrice P telle que P^(− 1)AP soit diagonale.
Q2. Application : On considère trois suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ), et (w_n)_(n ∈ ℕ) telles que :
{u_(n + 1) = − 4u_n + 2v_n − 2w_n; v_(n + 1) = − 6u_n + 4v_n − 6w_n pour tout n ∈ ℕ.; w_(n + 1) = − u_n + v_n − 3w_n
Pour tout n ∈ ℕ, on pose X_n = (u_n; v_n; w_n) et Y_n = P^(− 1)X_n = (α_n; β_n; γ_n).
Pour tout n ∈ ℕ, exprimer Y_n en fonction de α_0, β_0, γ_0 et n.
À quelle condition sur (u_0, v_0, w_0) les suites (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ) et (w_n)_(n ∈ ℕ) convergent-elles simultanément? Expliciter alors ces suites.

EXERCICE 2

Pour n ∈ ℕ^∗, on note S_n le groupe des permutations de l'ensemble [ [0, n − 1] ]. Une permutation de S_n sera représentée en Python par une liste, dont l'élément d'indice i est l'image de i par cette permutation. Par exemple, la liste [3, 1, 0, 2] représente la permutation σ ∈ S_4 définie par σ(0) = 3, σ(1) = 1, σ(2) = 0 et σ(3) = 2.
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser librement les tests Python du type x in L (respectivement x not in L) permettant de vérifier si x est présent dans la liste L (respectivement de vérifier si x n'est pas présent dans la liste L ).
Q3. Si s est une liste Python représentant une permutation de S_4, quelle instruction Python permet de trouver l'image de 1 par cette permutation ?
Quelle liste Python représente la transposition (23) ∈ S_4 ?
Q4. Écrire une fonction Python comp(s1, s2) prenant en entrée deux listes représentant des permutations σ_1 et σ_2 du même groupe de permutations et renvoyant la liste représentant la permutation σ_1 ∘ σ_2.
Q5. Écrire une fonction Python inv (s) prenant en entrée une liste représentant une permutation σ et renvoyant la liste représentant σ^(− 1).
Q6. On souhaite tester si un sous-ensemble G de S_n est ou non un sous-groupe de S_n. Écrire une fonction Python groupe (G) prenant en entrée une liste de listes, où chaque sous-liste représente une permutation de S_n et renvoyant True s'il s'agit bien d'un sous-groupe de S_n, False sinon.
Q7. Écrire une fonction Python cyclique(s) prenant en entrée une liste s représentant une permutation σ de S_n et renvoyant le sous-groupe de S_n engendré par σ sous la forme d'une liste de listes.

PROBLÈME

Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu'une matrice symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel non nul n, une matrice symétrique M ∈ M_n(ℝ) est dite définie positive si et seulement si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, X^⊤MX > 0
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la matrice A = (2, 1; 1, 1) est définie positive.

Caractérisation spectrale

Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.
Q10. Application: Démontrer que le polynôme P(X) = X^3 − 6X^2 + 9X − 3 admet trois racines réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer).
Démontrer alors que la matrice B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3) est définie positive grâce à la caractérisation spectrale.

Un critère en dimension 2

Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique M ∈ M_2(ℝ) est définie positive si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive M de taille quelconque vérifie toujours Tr(M) > 0 et det(M) > 0.
Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique M ∈ M_2(ℝ), dont la trace et le déterminant sont strictement positifs, est définie positive.
Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices symétriques de M_3(ℝ) ?
Q14. Application: Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que f : (ℝ_+^∗)^2 → ℝ définie par f(x, y) = x + y + 1/(xy) admet un extremum local. Préciser s'il s'agit d'un minimum local ou d'un maximum local.

Le critère de Sylvester

Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute dimension.
Pour une matrice carrée quelconque M = (m_(i, j))_(i, j ∈ [ [1, n] ]) ∈ M_n(ℝ) et un entier k ∈ [ [1, n] ], on définit le
k-ième mineur principal comme étant le déterminant de la matrice M_k = (m_(i, j))_(i, j ∈ [ [1, k] ]) ∈ M_k(ℝ). On précise qu'une matrice carrée de taille n possède n mineurs principaux.
Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3) de la question Q10. sont les déterminants des matrices B_1 = (1), B_2(1, 0; 0, 2) et B_3 = B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3).
On dit qu'une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs. On souhaite alors démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle vérifie le critère de Sylvester.
Par exemple, pour la matrice B de la question Q10., on constate que:
det(B_1) = 1 > 0, det(B_2) = 2 > 0 et det(B_3) = 3 > 0.
La matrice B vérifie le critère de Sylvester, elle est donc définie positive.
Q15. On fixe une matrice M ∈ M_n(ℝ), un entier k ∈ [ [1, n] ], ainsi qu'un vecteur colonne X_k = (x_1; ⋮; x_k) ∈ M_(k, 1)(ℝ). Déterminer un vecteur colonne X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, tel que :
X_k^⊤M_k X_k = X^⊤MX.
Q16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le critère de Sylvester.
Dans les deux questions suivantes, il s'agit de démontrer la réciproque, c'est-à-dire que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive. Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la taille n de la matrice.
Q17. Soit n ≥ 2 et soit une matrice symétrique M ∈ M_n(ℝ) telle que det(M) > 0. On écrit cette matrice par blocs sous la forme suivante :
M = (M_(n − 1), U; U^⊤, α) avec M_(n − 1) ∈ M_(n − 1)(ℝ), U ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ) et α ∈ ℝ.
On suppose que la matrice M_(n − 1) est définie positive.
Justifier l'existence d'un vecteur colonne V ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ) tel que M_(n − 1)V + U = 0.
En notant Q = (I_(n − 1), V; 0_(1, n − 1), 1), démontrer alors que Q^⊤MQ s'écrit par blocs (M_(n − 1), 0_(n − 1, 1); 0_(1, n − 1), β) avec β > 0.
Q18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.
Q19. Pour quelles valeurs de x ∈ ℝ la matrice C(x) = (2, 1, 0; 1, 1, x; 0, x, 1) est-elle définie positive ?
Q20. La matrice (2, 2, 1, 4, 5; 2, 3, − 1, 1, − 1; 1, − 1, 1, 3, 1; 4, 1, 3, 5, 0; 5, − 1, 1, 0, 1) est-elle définie positive ? Justifier.
Q21. Démontrer que pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^3∖{0} :
4x^2 + y^2 + z^2 + 2xy − 3xz > 0
Q22. Pour quelles valeurs de n ∈ ℕ^∗ la matrice S_n = (√3, 1, 0, ⋯, 0; 1, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1; 0, ⋯, 0, 1, √3) ∈ M_n(ℝ) est-elle définie positive ?

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2024 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2024 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes appliquée à des suites récurrentes, les groupes de permutations traités en Python, et les critères de définie-positivité des matrices symétriques réelles, dont le critère de Sylvester.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2024 ?

La moyenne est de 10,26/20, avec un écart-type de 4,57.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2024 ?

Le jury relève des confusions sur la notion de sous-groupe, une mauvaise maîtrise du théorème des valeurs intermédiaires, des contre-exemples manquants et des erreurs de calcul, notamment dans le calcul de déterminants par récurrence.

Cette épreuve de mathématiques 2 CCINP MP 2024 est-elle difficile ?

Le rapport la qualifie de très abordable et de longueur raisonnable, mais une partie non négligeable des candidats a fait l'impasse sur l'informatique commune ou sur les groupes.

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