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SESSION 2005

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

Soit

n \geq 1

un entier. Soit

ℝ[X_1, \dots, X_n]

l'algèbre des polynômes en

n

variables à coefficients réels, c'est-à-dire l'algèbre des fonctions polynomiales sur

ℝ^n

. Pour tout entier

d \geq 0

on note

ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

le sous-espace vectoriel des polynômes homogènes de degré

d

. Une base de ce sous-espace vectoriel est formée des monômes

X_1^(a_1)\dotsX_n^(a_n)

, où

a_1, \dots, a_n

sont des entiers positifs de somme

d

. Lorsque

n = 1

, on pose

X = X_1

et alors

ℝ[X]_d = {αX^d|α ∈ ℝ}

On note (

e_1, \dots, e_n

) la base canonique de

ℝ^n

.
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. Il est possible d'utiliser les résultats de questions antérieures, même lorsque celles-ci n'ont pas été traitées.

Les parties I, II et III sont indépendantes, sauf mention explicite du contraire.

Partie I

Cette partie étudie un opérateur qui déforme la dérivation des fonctions d'une variable réelle.

On fixe

k \in ℝ

.
Pour

f : ℝ \to ℝ

de classe

C^1

, on note

T(f)

la fonction définie par

T(f)(x) = f^'(x) + k(f(x) - f(- x))/x pour x \neq 0

a) Démontrer que $T(f)$ se prolonge par continuité en 0 et déterminer $T(f)(0)$ .
b) Calculer $T(X^d)$ pour $d \geq 0$ entier.
c) Démontrer que $T$ est une application linéaire et que $degT(P) \leq (degP) - 1$ pour tout $P \in ℝ[X]$ .
d) Démontrer qu'il existe une unique application linéaire $ψ : ℝ[X] \to ℝ[X]$ vérifiant les conditions suivantes :

$ψ(ℝ[X]_d) \subset ℝ[X]_d$ pour tout $d \geq 1$ ;
pour tout $P \in ℝ[X]$ , on a $(ψ(P))^' = ψ(T(P))$ ;
$ψ(1) = 1$ .

Soit $M_1$ l'ensemble des réels $k$ pour lesquels il existe un polynôme $P \in ℝ[X]$ non constant tel que $T(P) = 0$ (on rappelle que l'application $T$ dépend de $k$ ).
a) Démontrer que $ψ$ est un isomorphisme si et seulement si $k \notin M_1$ .
b) Déterminer $M_1$ et démontrer que $M_1 \subset ℝ_-^*$ .

Partie II

Dans cette partie, on introduit des déformations des opérateurs différentiels en

n

variables construites à l'aide du groupe symétrique. On prouve que ces opérateurs commutent entre eux.

On fixe dans la suite un entier

n \geq 2

. On note

S_n

le groupe symétrique des permutations de

{1, \dots, n}

. La transposition qui échange

i

j

est notée

(ij)

. Un élément

w \in S_n

définit un automorphisme

ρ_w

de l'algèbre des fonctions de

ℝ^n

dans

ℝ

donné par

ρ_w(f)(x_1, \dots, x_n) = f(x_(w(1)), \dots, x_(w(n)))

pour

f : ℝ^n \to ℝ

(x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n

On note

C^1(ℝ^n)

l'espace des fonctions de classe

C^1

ℝ^n

dans

ℝ

. Soit

f \in C^1(ℝ^n)

. Pour

u = (u_1, \dots, u_n) \in ℝ^n

, on définit la fonction

D_u(f) : ℝ^n \to ℝ

par

D_u(f)(x) = lim_(t \to 0)(f(x + tu) - f(x))/t

. Pour

1 \leq i \neq j \leq n

, on définit la fonction

Δ_(ij)(f) : ℝ^n \to ℝ

par

Δ_(ij)(f) = {(f − ρ_((ij))(f))/(X_i − X_j), sur U_(ij); D_(e_i − e_j)(f), sur Z_(ij)

où

Z_(ij)

est le fermé de

ℝ^n

formé des

(x_1, \dots, x_n)

tels que

x_i = x_j

U_(ij)

est l'ouvert complémentaire.
On fixe

k \in ℝ

. On définit

T_u = D_u + k\sum_(i = 1)^(n - 1)\sum_(j = i + 1)^n(u_i - u_j)Δ_(ij)

a) Démontrer que si $f \in C^1(ℝ^n)$ , alors $T_u(f)$ est continue. Démontrer que si $d \geq 1$ et $f \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ , alors $D_u(f)$ et $T_u(f)$ sont dans $ℝ[X_1, \dots, X_n]_(d - 1)$ .
b) Démontrer les égalités suivantes entre endomorphismes de l'espace vectoriel $ℝ[X_1, \dots, X_n]$ :

ρ_w \circ ρ_(w^') = ρ_(ww^'), ρ_w \circ D_(e_l) = D_(e_(w(l))) \circ ρ_w et ρ_w \circ T_(e_l) = T_(e_(w(l))) \circ ρ_w

pour

1 \leq l \leq n

w, w^' \in S_n

.
2. Pour

a

b

deux éléments de l'anneau des endomorphismes de l'espace vectoriel

ℝ[X_1, \dots, X_n]

, on pose

[a, b] = a \circ b - b \circ a

.
Démontrer les égalités suivantes entre endomorphismes de l'espace vectoriel

ℝ[X_1, \dots, X_n]

:
a)

[D_(e_1) + D_(e_2), Δ_(12)] = 0

.
b)

[Δ_(1i), Δ_(2i)] + [Δ_(1i), Δ_(21)] + [Δ_(12), Δ_(2i)] = 0

pour

i

entier,

3 \leq i \leq n

.
c)

D_u \circ D_(u^') = D_(u^') \circ D_u

T_u \circ T_(u^') = T_(u^') \circ T_u

pour tous

u, u^' \in ℝ^n

(on pourra commencer par le cas

u = e_1, u^' = e_2

Partie III

Dans cette partie, on compare différentes normes sur les polynômes homogènes.

On munit

ℝ^n

de la norme euclidienne

‖(x_1, \dots, x_n)‖^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2

. On note

S

l'ensemble des éléments de

ℝ^n

de norme 1.

Pour

d \geq 0

, on définit sur

ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

la norme

‖P‖ = sup_(x \in S)|P(x)|.

Pour

d \geq 1

, on définit deux autres normes sur

ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

‖P‖_1, = 1/dsup_(u, x \in S)|D_u(P)(x)|; ‖P‖_D, = 1/(d!)sup_(u_1, \dots, u_d, x \in S)|D_(u_1)\dotsD_(u_d)(P)(x)|

où

D_u

est la dérivée partielle dans la direction

u

comme dans la partie II.

Soit $P \in ℝ[X_1, X_2]_d$ un polynôme non nul en deux variables avec $d \geq 1$ .
a) Démontrer que la fonction $P~ : ] - π, π] \to ℝ, P~(θ) = P(cosθ, sinθ)$ admet au plus $2d$ zéros.
b) Démontrer que si $|P~(θ)| < 1$ pour tout $θ$ , alors $P~^'(0) \leq d\sqrt(1 - P~(0)^2)$ (on pourra introduire $β \in ]0, π/d[$ tel que $P~(0) = cos(dβ)$ et appliquer la question précédente à $Q(θ) = cos(dθ) + P~(θ - β)$ ).
c) En déduire que pour tout $θ$ , on a

P~^'(θ)^2 + d^2 P~(θ)^2 \leq d^2 sup_(θ^')P~(θ^')^2

d) En déduire que

‖P‖_1 \leq ‖P‖

.
2. Soit

d \geq 1

.
a) Soit

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

. Démontrer que

\sum_(i = 1)^n X_i D_(e_i)(P) = dP

.
b) Démontrer que pour tout

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

, on a

‖P‖_1 = ‖P‖

.
c) Démontrer que pour tout

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

, on a

‖P‖_D = ‖P‖_1

(on pourra utiliser II.1.a).

Partie IV

Le but de cette partie est d'étudier le noyau commun des

T_u

Soit $φ = \sum_(i = 1)^(n - 1)\sum_(j = i + 1)^n ρ_((ij))$ , vu comme endomorphisme de $ℝ[X_1, \dots, X_n]$ , et soit $N = (n(n - 1))/2$ . Pour $d \geq 0$ , on note $L_d$ l'ensemble des valeurs propres de $φ$ vu comme endomorphisme de $ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ . Soit $L = ⋃_(d \geq 0)L_d$ .
a) Démontrer que $φ \circ ρ_w = ρ_w \circ φ$ pour tout $w \in S_n$ .
b) Démontrer que les éléments de $L_d$ sont rationnels et contenus dans $[ - N, N]$ , pour tout $d \geq 0$ (on pourra étudier la trace de $φ$ sur un sous-espace propre).
c) Démontrer que $(ρ_w)_(w \in S_n)$ est une famille libre d'endomorphismes de $ℝ[X_1, \dots, X_n]$ et que l'espace vectoriel qu'elle engendre est une sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes de $ℝ[X_1, \dots, X_n]$ .
d) Démontrer que le cardinal de $L$ est inférieur ou égal à $n$ !.
Soit $M$ l'ensemble des réels $k$ tels qu'il existe un polynôme $P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]$ non constant vérifiant $T_(e_i)(P) = 0$ pour tout $i$ (on rappelle que $T_(e_i)$ a été défini à la partie II et qu'il dépend de $k$ ).

Soit

k

un réel. Pour

d \geq 1

entier, on définit l'endomorphisme

γ_d = (d + kN)Id - kφdeℝ[X_1, \dots, X_n]

.
a) Déduire de III.2.a que

\sum_(i = 1)^n X_i T_(e_i)(P) = γ_d(P)

pour tous

d \geq 1

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

.
b) En déduire que

M ⊆ {d/(λ − N)| λ ∈ L, λ ≠ N, d ∈ ℕ^∗}

.
3. Soient

k \geq 0

réel et

d \geq 1

entier.
a) Démontrer que

γ_d

est inversible.
b) Démontrer qu'il existe une unique famille

(c_d(w))_(w \in S_n)

de réels telle que

γ_d^(- 1) = \sum_(w \in S_n)c_d(w)ρ_w

.
c) Démontrer que pour tous

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

(x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n

, on a

P(x_1, \dots, x_n) = \sum_(w \in S_n)c_d(w)\sum_(i = 1)^n(X_i T_(e_i)(P))(x_(w(1)), \dots, x_(w(n))).

d) Démontrer que

\sum_(w \in S_n)c_d(w) = 1/d

.
e) Démontrer que

c_d(w) \geq 0

pour tout

w \in S_n

Partie V

On construit un endomorphisme de l'espace des polynômes qui entrelace

T_u

D_u

et on étudie sa norme.

Soit $k$ un réel.
a) Soit $d \geq 0$ . Soient $P_1, \dots, P_n \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ tels que $D_(e_i)(P_j) = D_(e_j)(P_i)$ pour tous $i, j$ . Démontrer qu'il existe un unique $P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_(d + 1)$ tel que pour tout $i$ , on ait $P_i = D_(e_i)(P)$ .
b) En déduire qu'il existe un unique endomorphisme d'espace vectoriel $ψ$ de $ℝ[X_1, \dots, X_n]$ tel que $ψ(ℝ[X_1, \dots, X_n]_d) \subset ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ pour tout $d \geq 0, ψ(1) = 1$ et $D_u \circ ψ = ψ \circ T_u$ pour tout $u \in ℝ^n$ .
c) Démontrer que $ψ$ est un isomorphisme si et seulement si $k \notin M$ (cf IV. 2 pour la définition de $M$ ).
On suppose dans cette question $k \geq 0$ et on reprend les notations de la partie III. On pose $χ = ψ^(- 1)$ . Pour $d \geq 1$ , on définit une norme sur $ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ :

‖P‖_T = 1/(d!)sup_(u_1, \dots, u_d, x \in S)|T_(u_1)\dotsT_(u_d)(P)(x)|

a) Démontrer que pour tout

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

avec

d \geq 1

, on a

‖P‖ \leq ‖P‖_T

(utiliser IV.3.c).
b) Démontrer que pour tout

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

avec

d \geq 1

, on a

‖χ(P)‖_T = ‖P‖_D

.
c) En déduire que pour tout

P \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d

avec

d \geq 0

, on a

‖χ(P)‖ \leq ‖P‖

Partie VI

Cette partie est consacrée à l'étude des fonctions propres des

T_u

On note

B

la boule unité fermée de

ℝ^n

B^∘ = {x ∈ ℝ^n, ‖x‖ < 1}

son intérieur.

Soit $(f_d)_(d \geq 0)$ une suite de polynômes avec $f_d \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ . On suppose que la série $\sum_(d = 0)^\infty‖f_d‖$ est convergente.
a) Démontrer que $\sum_(d = 0)^\inftyf_d$ converge uniformément et absolument sur $B$ vers une fonction $f$ qui est continue sur $B$ et $C^\infty$ sur $B^\circ$ .
b) Démontrer que si $f = 0$ sur $B^\circ$ , alors $f_d = 0$ pour tout $d \geq 0$ .
Soit $H$ l'ensemble des fonctions $f : B^\circ \to ℝ$ de la forme $f = \sum_(d = 0)^\inftyf_d$ où $f_d \in ℝ[X_1, \dots, X_n]_d$ et la série $\sum_(d = 0)^\infty‖f_d‖$ est convergente. On pose $‖f‖ = \sum_(d = 0)^\infty‖f_d‖$ .
a) Démontrer que $H$ est une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions $B^\circ \to ℝ$ et que c'est une algèbre normée unitaire complète.
b) Soit $k \geq 0$ . Démontrer que $χ$ s'étend en un endomorphisme continu de $H$ par $χ(f) = \sum_(d = 0)^\inftyχ(f_d)$ pour $f = \sum_(d = 0)^\inftyf_d$ .
Soit $k \geq 0$ . Soit $y = (y_1, \dots, y_n) \in ℝ^n$ . On considère le système d'équations

T_(e_i)(f) = y_i f pour tout i, avec condition initiale f(0) = 1

d'inconnue

f \in H

(on a étendu les définitions de la partie II aux fonctions de classe

C^1

B^\circ

dans

ℝ

).
a) Démontrer que

E_y = χ(exp(\sum_(i = 1)^n y_i X_i))

est l'unique solution du système (1).
b) Démontrer que

E_y

s'étend en une fonction

f

de classe

C^\infty

sur

ℝ^n

telle que

T_(e_i)(f) = y_i f

pour tout

i

.
4. Relier les résultats de la partie I à ceux de la suite du problème.

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