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SESSION 2007

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

Avertissement

La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. On invite donc le candidat à produire des raisonnements clairs, complets et concis. Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes; il veillera toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.
Les parties I à V sont essentiellement indépendantes les unes des autres, à l'exception près de la dernière question de la partie III.

Objectif

Ce problème est consacré à l'étude des solutions entières d'équations de la forme
X_1^d + ⋯ + X_m^d = t
où d et m sont des entiers strictement positifs et t un entier positif ou nul.

Notations

On note N l'ensemble des entiers positifs ou nuls, Z l'anneau des entiers relatifs, Q le corps des nombres rationnels, R le corps des réels et C le corps des complexes. Pour tout n ⩾ 2, (Z/nZ)^×désigne l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ; la multiplication munit (Z/nZ)^×d'une structure de groupe. On note ℳ_n(C) l'algèbre des matrices n × n sur C.
Pour tout nombre réel α, on note ⌊α⌋ la partie entière de α, définie par :
⌊α⌋ = max{t ∈ Z|t ⩽ α}.
Pour tout ensemble fini X, on note ♯X son cardinal. Si Y est une partie d'un ensemble X, on note X − Y le complémentaire de Y dans X. Pour tout entier n de N − {0}, on note 𝔖_n le groupe des permutations de {1, …, n}. Pour tout entier n de N et tout élément p de Z, on note
(n/p) = {(n!)/(p!(n − p)!) si 0 ⩽ p ⩽ n; 0 sinon
Soit X une partie de N. Si X n'est pas vide, on note min(X) le plus petit élément de X et on dit que min(X) est fini; par contre, si X est vide, on pose min(X) = + ∞.

Partie I Étude de cas particuliers

  1. Soient m un entier strictement positif et t un élément de N.
    a. Montrer que l'ensemble
{(x_1, …, x_m) ∈ N^m|∑_(i = 1)^m x_i = t}
est fini.
On note dans la suite N_1^m(t) son cardinal.
b. Montrer que pour tout entier m ⩾ 2 et tout t de N on a la relation
N_1^m(t) = ∑_(k = 0)^t N_1^(m − 1)(k)
c. Montrer la formule
N_1^m(t) = ((t + m − 1)/(m − 1))
pour tout m de N − {0} et tout t de N.
d．En déduire pour tout entier strictement positif m ，l＇équivalence
N_1^m(t), ∼ (t^(m − 1))/((m − 1)!); t, → + ∞
2．On s＇intéresse maintenant au cas où d = 2 et m = 3 ．
a．Déterminer l＇image des applications
(Z/8Z)^×, ⟶ (Z/8Z)^×, et, Z/8Z ⿺⿻⿻一㇂㇒丶x^2 Z/8Z, x ⟼ x^2.
b．Donner l＇ensemble des solutions de l＇équation
X^2 + Y^2 + Z^2 + T^2 = 0
dans (Z/8Z)^× × (Z/8Z)^3 ．
c．Soit b un entier strictement positif．Montrer que l＇équation
X^2 + Y^2 + Z^2 = 8b − 1
n＇a pas de solution dans Q^3 ．
d．Soient b un entier strictement positif et a un entier positif ou nul．Montrer que l＇équation
X^2 + Y^2 + Z^2 = 4^a(8b − 1)
n＇admet pas de solution dans N^3 ．

Partie II

Somme de quatre carrés

Dans cette partie on s＇intéresse au cas d = 2 et m = 4 ．
1．Soit p un nombre premier impair．
a．Déterminer le noyau du morphisme de groupes
(Z/pZ)^×, ⟶ (Z/pZ)^×; x, ⟼ x^2
b．En déduire le cardinal de son image et le cardinal de l＇ensemble
{x^2, x ∈ Z/pZ}.
c．Montrer que les ensembles
{x^2, x ∈ Z/pZ} et { − 1 − y^2, y ∈ Z/pZ}
s＇intersectent．
d. Montrer qu'il existe des entiers positifs ou nuls x, y et m avec 0 < m < p tels que
1 + x^2 + y^2 = mp
  1. On note H le R-sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel ℳ_2(C) engendré par les matrices
1 = (1, 0; 0, 1), I = (i, 0; 0, − i), J = (0, − 1; 1, 0) et K = IJ.
On identifie R avec son image par l'application a ↦ a1. En particulier, on note a pour a1.
a. Montrer que (1, I, J, K) forme une base de H et que
∀a, b ∈ H, ab ∈ H.
b. Montrer que l'application τ : H → H définie par
∀a, b, c, d ∈ R, τ(a + bI + cJ + dK) = a − bI − cJ − dK
est R-linéaire et vérifie
∀x, y ∈ H, τ(xy) = τ(y)τ(x).
c. Montrer qu'il existe une application N : H → R telle que
∀z ∈ H, N(z) = zτ(z) = τ(z)z
On exprimera cette fonction en termes des coordonnées dans la base (1, I, J, K).
d. Montrer que
∀z_1, z_2 ∈ H, N(z_1 z_2) = N(z_1)N(z_2)
Dans le reste de cette partie, on note
𝒩_2^4 = {t ∈ N|∃(x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ N^4, t = ∑_(i = 1)^4 x_i^2}.
  1. Montrer que
∀a, b ∈ 𝒩_2^4, ab ∈ 𝒩_2^4
  1. Soit p un nombre premier impair.
    a. Montrer qu'il existe m ∈ {1, …, p − 1} tel que mp appartienne à 𝒩_2^4.
On note m_0 le plus petit entier strictement positif tel que m_0 p ∈ 𝒩_2^4.
b. Soit m un entier pair tel qu'il existe (x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ N^4 avec
mp = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2
(i) Montrer qu'il existe une permutation σ de 𝔖_4 telle que les entiers
x_(σ(1)) + x_(σ(2)), x_(σ(1)) − x_(σ(2)), x_(σ(3)) + x_(σ(4)) et x_(σ(3)) − x_(σ(4)) soient tous les quatre pairs et positifs.
(ii) En déduire que (mp)/2 appartient à 𝒩_2^4.
c. Montrer que m_0 est impair.
d. On suppose que m_0 ≠ 1. On se donne (x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ N^4 tels que
m_0 p = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2.
(i) Montrer qu'il existe des entiers b_1, b_2, b_3 et b_4 tels que les entiers donnés par y_i = x_i − b_i m_0 pour i ∈ {1, 2, 3, 4} satisfassent les trois conditions suivantes :
|y_i| < 1/2m_0 pour i ∈ {1, 2, 3, 4}; 0 < y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 < m_0^2
et
y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 ≡ 0 modulo m_0.
On note m_1 = (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2)/m_0.
(ii) Montrer qu'il existe (z_1, z_2, z_3, z_4) ∈ N^4 tels que
z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = m_0^2 m_1 p
et
z_i ≡ 0 modulo m_0 pour i ∈ {1, 2, 3, 4}.
(On pourra considérer le produit (x_1 + x_2 I + x_3 J + x_4 K)(y_1 − y_2 I − y_3 J − y_4 K).)
e. Montrer que m_0 = 1.
5. Montrer que N = 𝒩_2^4.

Partie III Les fonctions g et G

Pour tout entier d strictement positif, on note
g(d) = min{m ∈ N|∀t ∈ N, ∃(x_1, …, x_m) ∈ N^m, t = ∑_(i = 1)^m x_i^d}
et
G(d) = min{m ∈ N|∃t_0 ∈ N, ∀t ∈ N, t ⩾ t_0 ⇒ ∃(x_1, …, x_m) ∈ N^m, t = ∑_(i = 1)^m x_i^d}.
  1. Soit d un entier strictement positif.
    a. Soit t = 2^d⌊(3/2)^d⌋ − 1. Soit m un entier strictement positif. Montrer que si (x_1, …, x_m) ∈ N^m vérifie
t = ∑_(i = 1)^m x_i^d
alors
x_i ∈ {0, 1, 2} pour i ∈ {1, …, m}.
b. Montrer la relation
g(d) ⩾ 2^d + ⌊(3/2)^d⌋ − 2.
  1. Y a-t-il équivalence entre la finitude de g(d) et celle de G(d) ? Dans le cas où ils sont tous les deux finis, donner une inégalité entre G(d) et g(d).
  2. Déterminer g(2) et comparer la valeur obtenue avec la borne donnée dans la question 1.b. Déterminer G(2).

Partie IV

Expression intégrale

Soient d et m des entiers strictement positifs. Pour tout entier t de N, on note
N_d^m(t) = ♯{(x_1, …, x_m) ∈ N^m|∑_(i = 1)^m x_i^d = t}.
Pour tout nombre réel B ∈ [1, + ∞[, on note
N_d^m(t, B) = ♯{(x_1, …, x_m) ∈ N^m ∩ [0, B]^m|∑_(i = 1)^m x_i^d = t}.
On désigne par f_d^m la fonction
R^m, ⟶ R; (x_1, …, x_m), ⟼ ∑_(i = 1)^m x_i^d
  1. Montrer que pour tout n de Z, on a
∫_0^1 e^(2iπnα) dα = {1 si n = 0; 0 sinon
  1. Montrer la relation
N_d^m(t, B) = ∫_0^1∑_(x ∈ Z^m ∩ [0, B]^m)e^(2iπ(f_d^m(x) − t)α)dα
  1. Comparer N_d^m(t, B) et N_d^m(t) si B ⩾ t^(1/d).
Le reste du problème est consacré aux premières étapes de la démonstration de la finitude de G(d), qui passe par une minoration de N_d^m(t).

Partie V

Majoration de sommes d'exponentielles

Soient (G, +) et (H, +) des groupes commutatifs. Pour toute application φ de G dans H et tout entier k ⩾ 1, on définit
φ_k : G^k, ⟶ H; (g_1, …, g_k), ⟼ ∑_((ε_1, …, ε_k) ∈ {0, 1}^k)(− 1)^(ε_1 + ⋯ + ε_k)φ(∑_(i = 1)^k ε_i g_i).
En particulier,
∀g ∈ G, φ_1(g) = φ(0) − φ(g)
  1. a. Calculer φ_2.
    b. Montrer que, pour tout entier k strictement positif,
∀(g_1, …, g_(k − 1)) ∈ G^(k − 1), φ_k(g_1, …, g_(k − 1), 0) = 0
c. Montrer que, pour tout entier k de N − {0} et tout (g_1, …, g_(k + 1)) ∈ G^(k + 1), on a la relation
φ_(k + 1)(g_1, …, g_(k + 1)); = φ_k(g_1, …, g_(k − 1), g_k) + φ_k(g_1, …, g_(k − 1), g_(k + 1)) − φ_k(g_1, …, g_(k − 1), g_k + g_(k + 1))
d. Montrer que, pour tout entier k ⩾ 1 et toute permutation σ de 𝔖_k, on a
∀(g_1, …, g_k) ∈ G^k, φ_k(g_(σ(1)), …, g_(σ(k))) = φ_k(g_1, …, g_k)
  1. On se place dans le cas où G est le groupe additif d'un anneau commutatif A. Soit n un entier strictement positif et soit
φ : A, ⟶ A; x, ⟼ x^n.
a. Calculer φ_2.
b. Montrer que l'on a
∀(a_1, …, a_n) ∈ A^n, φ_n(a_1, …, a_n) = (− 1)^n n!a_1⋯a_n
Si U est une partie du groupe abélien G, on note pour tout g de G,
U − g = {h − g, h ∈ U}
On pose également
U^D = {g − h, g ∈ U et h ∈ U}
et pour tout entier k ⩾ 1 et tout (g_1, …, g_k) ∈ G^k,
U(g_1, …, g_k) = ⋂_((ε_1, …, ε_k) ∈ {0, 1}^k)(U − (ε_1 g_1 + ⋯ + ε_k g_k))
Par convention, si k = 0, U(g_1, …, g_k) désigne U.
3. Montrer que pour tout entier k ⩾ 1, on a
∀(g_1, …, g_k) ∈ G^k, U(g_1, …, g_k) = U(g_1, …, g_(k − 1)) ∩ (U(g_1, …, g_(k − 1)) − g_k)
Soit φ : G → R une application. On note
e : R, ⟶ C; θ, ⟼ e^(2iπθ)
Soit U une partie finie de G; on considère la somme
S = ∑_(g ∈ U)e(φ(g))
  1. a. Montrer que
|S|^2 = ∑_(g ∈ U)∑_(h ∈ U)e(φ(g) − φ(h))
b. Montrer que
|S|^2 = ∑_(g_1 ∈ U^D)∑_(g_2 ∈ U(g_1))e(φ(g_1 + g_2) − φ(g_2)).
c. Montrer que
|S|^2 ⩽ ∑_(g_1 ∈ U^D)|∑_(g_2 ∈ U(g_1))e(φ_2(g_1, g_2))|.
  1. a. Soit n un entier strictement positif. Montrer que pour tout (x_1, …, x_n) de R^n,
(∑_(i = 1)^n x_i)^2 ⩽ n∑_(i = 1)^n x_i^2
b. Montrer que pour tout entier k ⩾ 2,
|S|^(2^(k − 1)) ⩽ (♯U^D)^(2^(k − 1) − k)∑_((g_1, …, g_(k − 1)) ∈ (U^D)^(k − 1))|∑_(g_k ∈ U(g_1, …, g_(k − 1)))e(φ_k(g_1, …, g_k))|.
(On pourra raisonner par récurrence en utilisant le cas k = 2.)
Dans la suite de cette partie, on fixe des entiers d ⩾ 2 et m ⩾ 1. Soit α un nombre réel. Pour tout nombre réel B de [1, + ∞[, on pose
S_B^1(α) = ∑_({n ∈ N|0 ⩽ n ⩽ B})e(αn^d)
  1. a. Montrer que pour tous a, b de Z avec a ⩽ b, tout α de R et tout n de Z, on a l'inégalité
|∑_(j = a)^b e(αnj)| ⩽ min(2/(|1 − e(αn)|), b − a + 1)
avec la convention que le terme de droite vaut b − a + 1 si e(αn) = 1.
On note pour tout x de R
‖x‖ = inf{|x − n|, n ∈ Z}
b. Montrer que
∀a, b ∈ R, ‖a + b‖ ⩽ ‖a‖ + ‖b‖.
c. Montrer que pour tout nombre réel x, |1 − e(x)| ⩾ ‖x‖.
d. Montrer que
|S_B^1(α)|^(2^(d − 1)) ⩽ (2B + 1)^(2^(d − 1) − d)∑_((n_1, …, n_(d − 1)) ∈ ([ − B, B] ∩ Z)^(d − 1))min_((2/(‖d!n_1⋯n_(d − 1)α‖), B + 1).)
e. On note
N_B^α = ♯{(n_1, …, n_(d − 1)) ∈ ([ − B, B] ∩ Z)^(d − 1)| ‖d!n_1⋯n_(d − 1)α‖ < 1/B}
et pour tout (n_1, …, n_(d − 2)) de ([ − B, B] ∩ Z)^(d − 2), on note M_B^α(n_1, …, n_(d − 2)) l'entier
♯{n_(d − 1) ∈ [ − B, B] ∩ Z| ‖d!n_1⋯n_(d − 1)α‖ < 1/B}.
(i) Exprimer N_B^α en termes des M_B^α(n_1, …, n_(d − 2)).
(ii) Pour tout t de R, on note {t} = t − ⌊t⌋. Montrer que pour tout (n_1, …, n_(d − 2)) de ([ − B, B] ∩ Z)^(d − 2), et tout entier δ de N ∩ [0, B[,
♯{n_(d − 1) ∈ [ − B, B] ∩ Z|{d!n_1⋯n_(d − 1)α}, ∈ [δ/B, (δ + 1)/B[}; ⩽ 2M_B^α(n_1, …, n_(d − 2)).
(On pourra se donner des éléments convenables n_(d − 1)^0 et n_(d − 1)^1 de cet ensemble et considérer les différences n_(d − 1) − n_(d − 1)^i.)
(iii) En déduire que
|S_B^1(α)|^(2^(d − 1)) ⩽ 8(2B + 1)^(2^(d − 1) − d + 1)(ln(B) + 1)N_(⌊B⌋)^α
(On pourra se ramener d'abord au cas où B est entier.)
7. Soient α ∈ R, a ∈ Z, q ∈ N − {0} tels que pgcd(a, q) = 1 et
|α − a/q| < 1/(q^2)
a. Fixons x_0 ∈ Z et soient y et y^′ deux entiers tels que 1 ⩽ y ⩽ q, 1 ⩽ y^′ ⩽ q, ‖α(x_0 + y)‖ < 1/B et ‖α(x_0 + y^′)‖ < 1/B. Montrer que
‖a/q(y − y^′)‖ < 2/B + 1/q
b. Montrer que le cardinal de l'image dans Z/qZ de {z ∈ Z| ‖a/qz‖ < 2/B + 1/q} est majoré par 2q(2/B + 2/q).
c. En déduire que
♯{y ∈ {1, …, q}| ‖α(y + x_0)‖ < 1/B} ⩽ 4q(1/B + 1/q).
d．Montrer que
♯{x ∈ Z|1 ⩽ x ⩽ d!B^(d − 1) et ‖αx‖ < 1/B} ⩽ 4d!q(1/B + 1/q)((B^(d − 1))/q + 1).
8．Soit f : N − {0} → R une fonction．On dit que f est multiplicative si elle vérifie les deux conditions suivantes ：
（i） f(1) = 1 ，
（ii） ∀a, b ∈ N − {0}, pgcd(a, b) = 1 ⇒ f(ab) = f(a)f(b) ．
a．Montrer que la fonction τ : N − {0} → R définie par
∀n ∈ Nー{0}, τ(n) = ♯{k ∈ Nー{0}|k divise n}
est multiplicative．
b．Montrer que pour tout nombre réel ε > 0 ，il existe un nombre réel C tel que
∀n ∈ Nー{0}, τ(n) ⩽ Cn^ε
（On pourra d＇abord considérer le cas où n est une puissance d＇un nombre premier．）
9．Montrer que pour tout nombre réel ε > 0 ，il existe un nombre réel C tel que pour tout α de R ，tout a de Z et tout q de N − {0} tels que pgcd(a, q) = 1 et |α − a/q| ⩽ 1/(q^2) ，on ait pour tout B de [1, + ∞[ ，
|S_B^1(α)| ⩽ CB^(1 + ε)(1/B + 1/q + q/(B^d))^(1/2^(d − 1))
10．Soient α ∈ R et N un entier．
a．Montrer qu＇il existe i ∈ {0, …, N − 1} et j, k ∈ {0, …, N} avec j < k tels que
{jα} ∈ [i/N, (i + 1)/N[ et {kα} ∈ [i/N, (i + 1)/N[
b．En déduire qu＇il existe a ∈ Z et q ∈ N − {0} tels que pgcd(a, q) = 1, q ⩽ N et
|α − a/q| < 1/(Nq)
Pour tout Δ ∈ ]0, 1], tout B ∈ [1, + ∞[, tout a ∈ Z et tout q ∈ N − {0}, on pose
𝔐_Δ(B, q, a) = {α ∈ [0, 1[| ‖α − a/q‖ < q^(− 1)B^(Δ − d)}.
On définit alors
𝔐_Δ(B) = ⋃_({(a, q) ∈ N^2|1 ⩽ a ⩽ q ⩽ B^Δ)𝔢𝔱 _(𝔐_Δ pgcd(a, q) = 1})(B, q, a)
et
𝔪_Δ(B) = [0, 1[ − 𝔐_Δ(B)
  1. a. Décrire l'ensemble 𝔐_Δ(B, 1, 1) comme réunion d'intervalles.
    b. Montrer que pour tout Δ ∈ ]0, 1] et tout réel B ⩾ 1, 𝔐_Δ(B)( resp. 𝔪_Δ(B)) est une réunion finie d'intervalles.
Les intervalles formant 𝔐_Δ(B) (resp. 𝔪_Δ(B) ) sont appelés les arcs majeurs (resp. les arcs mineurs).
12. Soient Δ ∈ ]0, 1], B ∈ [1, + ∞[ et α ∈ 𝔪_Δ(B)
a. Si a ∈ Z et q ∈ N − {0} vérifient |α − a/q| < (B^(Δ − d))/q, montrer que q > B^Δ.
b. En déduire que pour tout ε > 0, il existe un nombre réel C ne dépendant que de d et ε tel que, pour tout B de [1, + ∞[, on ait
|S_B^1(α)| ⩽ CB^(1 − Δ/2^(d − 1) + ε)
  1. On définit pour tout α de R,
S_B^m(α) = ∑_((x_1, …, x_m) ∈ (N ∩ [0, B])^m)e(α∑_(i = 1)^m x_i^d)
Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un nombre réel C ne dépendant que de d, m et ε tel que, pour tout Δ ∈ ]0, 1], pour tout B de [1, + ∞[ et tout α de 𝔪_Δ(B), on ait
|S_B^m(α)| ⩽ CB^(m − mΔ/2^(d − 1) + ε)
Dans la suite, on notera pour toute fonction f continue sur [0, 1] et toute famille finie (I_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) d'intervalles disjoints contenus dans [0, 1[,
∫_(∪ _(i = 1)^n I_i)f(x)dx = ∑_(i = 1)^n∫_(I_i)f(x)dx
  1. a. Montrer que, pour tout Δ de ]0, 1] et tout réel B ⩾ 1,
∫_(𝔐_Δ(B))1 dx ⩽ 2B^(2Δ − d)
b. Montrer que, pour tout nombre réel ε > 0, il existe un nombre réel C ne dépendant que de d, m et ε tel que, pour tout réel B ⩾ 1,
∫_(𝔪_1(B))|S_B^m(α)|dα ⩽ CB^(m − m/2^(d − 1) + ε)
c. Montrer que si Δ_1, Δ_2 appartiennent à ]0, 1] avec Δ_1 < Δ_2, alors pour tout nombre réel ε > 0 il existe un nombre réel C ne dépendant que de d, m et ε tel que, pour tout réel B ⩾ 1,
∫_(𝔐_(Δ_2)(B) − 𝔐_(Δ_1)(B))|S_B^m(α)|dα ⩽ CB^(m − d − (m/2^(d − 1) − 2)Δ_1 + 2(Δ_2 − Δ_1) + ε)
  1. On suppose que m > d2^(d − 1). Montrer que pour tout Δ ∈ ]0, 1], il existe un nombre réel δ > 0 et un nombre réel C tels que pour tout réel B ⩾ 1,
∫_(𝔪_Δ(B))|S_B^m(α)|dα ⩽ CB^(m − d − δ)
(On pourra considérer des nombres réels Δ = Δ_0 < Δ_1 < ⋯ < Δ_n = 1.)
16. On suppose que m > d2^(d − 1) et qu'il existe un nombre réel Δ ∈ ]0, 1], un entier positif t_0 et un nombre réel strictement positif c tels que, pour tout entier t ⩾ t_0,
|∫_(𝔐_Δ(t^(1/d)))S_(t^(1/d))^m(α)e(− αt)dα| ⩾ ct^(m/d − 1)
Que peut-on en déduire sur G(d) ?

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