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ENS Physique MP 2007, épreuve ULCSujet et corrigé

Pas encore noté
  • Modèle de Drude et conductivité électrique
  • Équation de Schrödinger et puits de potentiel infini
  • Statistique du gaz d'électrons libres (énergie de Fermi)
  • Équations de Maxwell dans un conducteur
  • Effet de peau et propagation dans un métal
  • Ondes de surface et relation de dispersion
  • Réflexion totale atténuée et réseaux de diffraction
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Plasmons dans les métaux : oscillations électroniques de volume et plasmons de surface
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Le sujet étudie les oscillations collectives des électrons libres dans un métal (plasmons). La partie I construit le modèle microscopique des électrons de conduction, un modèle quantique du gaz d'électrons (énergie de Fermi), puis établit la pulsation plasmon de volume. La partie II étudie le couplage onde-plasmons : pénétration dans le métal, plasmons de surface air-métal, et méthodes de couplage (réflexion totale atténuée, réseau de diffraction) avec application aux biocapteurs.

  1. 1I.1 Modèle microscopique du comportement des électronsÉtude statistique des collisions électroniques, calcul de la vitesse de dérive sous champ électrique, expression de la conductivité statique, puis introduction d'un modèle quantique du gaz d'électrons libres et calcul de l'énergie de Fermi.
  2. 2I.2 Plasmons dans un métalÉtude du temps de relaxation des charges, de la conductivité complexe en régime variable, et établissement de la pulsation plasmon de volume à partir des oscillations du gaz d'électrons.
  3. 3II.1 Propagation dans un métalÉtablissement de la relation de dispersion du vecteur d'onde dans le métal, étude de la profondeur de pénétration en basse fréquence (effet de peau) et de la condition de propagation en haute fréquence.
  4. 4II.2 Plasmons de surface sur un métalRecherche d'ondes de surface confinées à l'interface air-métal, établissement de leur relation de dispersion et de la pulsation propre du plasmon de surface.
  5. 5II.3-II.4 Excitation et extraction des plasmons de surfaceÉtude du couplage d'une onde propagative aux plasmons de surface par réflexion totale atténuée (configuration de Kretschmann, application aux biocapteurs) et par réseau de diffraction, puis du problème inverse d'extraction de la lumière confinée.

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SESSION 2007

Filière MP

PHYSIQUE MPI

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 5 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Plasmons dans les métaux

Ce sujet porte sur les phénomènes liés aux oscillations collectives des électrons libres dans le volume et à la surface d'un métal. Ces oscillations, nommées plasmons, sont à l'origine de nombreuses applications en physique, chimie et biologie. La première partie de ce problème décrit la nature des plasmons dans un métal. La deuxième partie étudie les ondes de surface liées aux plasmons sur une interface air-métal. Les deux parties du problème peuvent être traitées de manière indépendante. L'usage des calculatrices de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé.
On considérera que du point de vue de la propagation des ondes électromagnétiques l'air se comporte comme le vide et que le métal est non-magnétique.
Dans tout le problème un métal sera modélisé par un milieu isotrope homogène conducteur, de conductivité statique γ_0, comprenant par unité de volume N électrons mobiles dans un réseau fixe d'atomes. Seul un électron par atome participe à la conduction dans le métal. Chacun de ces électrons est assimilé à une particule de masse m et de charge ( − e ) libre de se mouvoir, les interactions subies se limitant à des chocs dont on ne cherchera pas à préciser la nature.

Constantes physiques et données numériques:

Permittivité du vide : ε_0 = 8, 8510^(− 12) F.m^(− 1)
Permabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π10^(− 7)H.m^(− 1)
Constante de Boltzmann : k_B = 1, 3810^(− 23) J.K^(− 1)
Constante de Planck: h = 6, 6310^(− 34) J.s
Nombre d'Avogadro: N_A = 6, 0210^(23) mol^(− 1)
Masse de l'électron : m = 9, 1110^(− 31) kg
Charge de l'électron : e = 1, 6010^(− 19)C
Masse molaire atomique de l'or : M = 197 g mol^(− 1)
Masse volumique de l'or : d = 19, 3 g.cm^(− 3)
Conductivité statique de l'or: γ_0 = 45, 510^6 S.m^(− 1)
Notation des nombres complexes : i^2 = − 1

Relation d'analyse vectorielle :

rot^(→−)(rot^(→−)(U⃗)) = grad^(→−)(div(U⃗)) − △(U⃗)

I. Oscillations électroniques dans un métal

I.1. Modèle microscopique du comportement des électrons

On suppose que les électrons du métal subissent de nombreux chocs affectant leur mouvement de telle manière que leur vitesse après un choc est totalement indépendante de la vitesse avant ce choc, en module et en direction. Pour un électron donné les chocs surviennent aux temps t_q avec q = 1…n, la durée Δt entre deux chocs successifs obéissant à la loi de probabilité P(Δt) = 1/τexp(− Δt/τ). On considérera que la moyenne statistique d'une grandeur G sur un grand nombre de chocs, notée ⟨G⟩, coïncide avec sa moyenne
temporelle G¯ définie par G¯ = ∫_0^∞G(t)P(t)dt.
  1. Justifier que τ peut-être considéré comme la durée moyenne entre deux collisions, et calculer Δt^2^–.
  2. Quelle est la valeur moyenne du vecteur vitesse d'un électron en l'absence de champ extérieur?
  3. Définir et calculer la valeur quadratique moyenne v_c de la vitesse d'agitation d'un électron en fonction de son énergie cinétique moyenne E. Calculer v_c pour E = 5eV et commenter son ordre de grandeur.
  4. Montrer, en comparant la vitesse v_c à la vitesse thermique des électrons, que l'énergie des électrons dans le métal n'est pas d'origine thermique.
  5. On place maintenant le matériau dans un champ électrique uniforme E_0^(→−) = E_0 ⋅ u_x^(→−). On note v_q→ la vitesse de l'électron immédiatement après le choc survenu au temps t_q. Déterminer la vitesse instantanée v⃗ à tout instant t ∈ ]t_q, t_(q + 1)[ puis la grandeur (v_(q + 1)^(→−) − v_q→).
  6. La moyenne ⟨(v_(q + 1)^(→−) − v_q→)⟩ est appelée vitesse de dérive v_d^(→−) d'un électron sous l'effet du champ électrique. Exprimer v_d^(→−) en fonction de E_0^(→−), e, τ, et m.
  7. Montrer qu'on obtiendrait la même expression de v_d^(→−) qu'en 6. en ignorant le mouvement désordonné des électrons mais en supposant que chacun d'eux est soumis à une force supplémentaire de friction F⃗ = − ζv⃗. Donner l'expression de v_d^(→−) et en déduire que ζ = m/τ.
  8. On adopte par la suite cette description utilisant la force de friction F⃗. On rappelle qu'un seul électron par atome contribue à la conductivité de l'or. Exprimer la conductivité γ_0 en fonction de N, e, τ, m. Donner les valeurs numériques de N et τ pour l'or.
  9. On applique une différence de potentiel de 1 V sur 1 mm de métal. Comparer les valeurs numériques de v_c et v_d.
  10. Les observations précédentes montrent que l'énergie d'agitation E provient d'une origine non thermique. Une approche quantique est nécessaire pour expliquer le comportement énergétique d'un gaz d'électrons libres dans le métal. En physique quantique, l'énergie E associée au mouvement d'un électron dans une structure ordonnée d'ions fixes ne peut être quelconque : elle prend des valeurs discrètes E_p (avec p entier) auxquelles sont associées des fonctions d'onde de matière ψ_p(x, y, z) qui traduisent le comportement spatial de l'électron dans l'état excité d'énergie E_p. L'électron est soumis à un potentiel périodique dans les trois dimensions x, y et z s'écrivant comme un produit U(x, y, z) = U_x(x)U_y(y)U_z(z). On admet que la fonction ψ(x, y, z) peut s'écrire comme
    le produit de trois fonctions de variables indépendantes ψ(x, y, z) = f(x)g(y)h(z). A la fonction f(x) (respectivement g(y), h(z) ) on peut associer une énergie E_x (respectivement E_y, E_z).
A une dimension x, les grandeurs ( f(x), E_x ) obéissent à l'équation de Schrödinger :
(− ℏ^2)/(2m)Δf(x) + U_x(x)f(x) = E_x f(x)
Les grandeurs (g(y), E_y) et (h(z), E_z) obéissent à des équations similaires.
On considère un domaine élémentaire de la structure cristalline périodique du métal dans la direction x, défini par x ∈ [0, L_x], avec U_x(x) = 0 à l'intérieur de ce domaine, et U_x(x) = ∞ sur ses bords. De plus f(x) s'annule sur ces bords.
Montrer que la fonction f(x) s'écrit sous la forme: f(x) = f_0 sin(K_x x), où f_0 et K_x sont des constantes.
11. Préciser l'unité de K_x et montrer que E_x = ℏ^2 K_x^2/(2m).
12. Montrer que les conditions aux limites imposent des valeurs particulières pour K_x notées K_(xp) (avec p entier) et exprimer ces valeurs. Justifier que l'on peut se restreindre aux valeurs K_(xp) > 0.
13. Les conditions aux limites de U_y(y) et U_z(z) sont identiques à celles de U_x(x) sur les domaines respectifs y ∈ [0, L_y] et z ∈ [0, L_z]. Montrer qu'à trois dimensions la fonction d'onde totale peut s'écrire :
ψ(x, y, z) = ψ_0 sin(K_x x)sin(K_y y)sin(K_z z)
avec ψ_0 une constante positive ou négative, E_y = ℏ^2 K_y^2/(2m) et E_z = ℏ^2 K_z^2/(2m).
14. L'énergie E associée à la fonction d'onde ψ(x, y, z) vaut E = E_x + E_y + E_z. En déduire les valeurs d'énergie E possibles pour l'électron.
15. On souhaite calculer l'énergie totale du gaz d'électrons à partir de leurs énergies quantifiées E_p. On se place dans l'espace des K⃗, vecteurs d'onde de matière de composantes K_x, K_y, K_z. Cet espace est défini graphiquement par le repère ( K_x, K_y, K_z ). Comment sont disposées dans cet espace les valeurs possibles de K⃗ imposées par les conditions aux limites de ce problème ?
Donner les valeurs de ΔK_x, ΔK_y, ΔK_z, entre deux points consécutifs dans chacune des directions respectives K_x, K_y, K_z. Justifier que le produit ΔK_x ⋅ ΔK_y ⋅ ΔK_z représente dans cet espace le volume occupé par un état électronique.
16. Représenter dans l'espace des K⃗ la zone correspondant à des états d'énergie inférieure à une énergie E donnée. Soit n(E) le nombre d'états d'énergie inférieure à E. On admet que la prise en compte du spin de l'électron revient à multiplier par 2 le nombre d'états calculés.
Donner l'expression de dn(E), nombre d'états correspondant à un vecteur d'onde de norme comprise entre K et K + dK, où K est la norme du vecteur d'onde associé à l'énergie E. On supposera n(E) très grand, si bien que dK_(x, y, z)≫ΔK_(x, y, z).
17. En intégrant dn(E) entre E = 0 et E, montrer que :
n(E) = (L_x L_y L_z)/(3π^2 ℏ^3)(2mE)^(3/2)
  1. L'énergie du gaz d'électrons dans le métal E_F (appelée énergie de Fermi) est calculée par analogie avec la chimie : de la même façon que les propriétés des atomes sont définies par les électrons de plus haute énergie, l'énergie E_F correspond à celle du dernier niveau rempli. En déduire que :
E_F = (ℏ^2)/(2m)(3π^2 N)^(2/3)
Donner la valeur numérique de E_F dans l'or et justifier la valeur de l'énergie cinétique d'agitation E donnée dans la question 3.

I.2. Plasmons dans un métal

Dans cette partie on modélise les collisions subies par les électrons par une force de frottement fluide − mv⃗/τ introduite dans la section précédente, v⃗ étant la vitesse de l'électron et τ la constante de temps des collisions. Le champ électrique appliqué au métal est maintenant dépendant du temps et s'écrit E⃗(t).
19. Montrer que s'il existe à l'instant t = 0 une densité volumique de charges ρ_0 en un point du conducteur de conductivité γ_0, celle-ci disparaît très rapidement. On calculera le temps de relaxation correspondant.
20. Dans un régime forcé dans lequel le champ appliqué au métal est sinusoïdal et s'écrit en notation complexe E⃗(t) = E_0^(→−)exp(iωt), déterminer la vitesse d'un électron en régime permanent. En déduire, à partir de la loi d'Ohm locale, que la conductivité γ(ω) complexe en régime variable s'écrit :
γ(ω) = (γ_0)/((1 + iωτ))
  1. Montrer que ce régime autorise pour la densité de charge ρ(t) des oscillations amorties dont on donnera la pseudo-pulsation ainsi que le temps de décroissance en fonction de τ et de la pulsation ω_p = √(γ_0/ε_0 τ). Celle-ci est appelée pulsation plasmon par analogie à la pulsation plasma dans les gaz.
  2. En comparant les ordres de grandeur de ω_p et de 1/τ, commenter le comportement de ρ(t).
  3. La pulsation plasmon provient d'une oscillation spatiale des charges propre au métal dont on peut retrouver l'origine en l'assimilant à un gaz d'électrons de densité ( − Ne ) se superposant à un support de charges positives de densité ( Ne ). Justifier que l'on peut considérer les ions du métal comme fixes par rapport aux électrons. Montrer que sous l'action d'un déplacement δx du gaz d'électron dans la direction x, il se crée un champ électrique induit que l'on exprimera en fonction de N, e et δx.
  4. Retrouver la pulsation propre des oscillations du gaz d'électrons sous la forme ω_p = √(Ne^2/mε_0). On notera que dans cette oscillation, ρ reste nul à l'intérieur du métal. Seule une charge surfacique apparaît à la surface du métal.

II. Couplage champ - plasmons

II.1. Propagation dans un métal

Dans cette partie on étudie le couplage d'une onde électromagnétique avec les oscillations plasmons décrites dans la partie précédente. Le conducteur métallique est parcouru par une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de vecteur d'onde k⃗ suivant le sens positif de l'axe z. On notera le champ électrique complexe associé à cette onde: E→(z, t) = E_0^(→−)exp(i(ωt − kz)). On négligera l'effet du champ magnétique sur le mouvement des électrons de telle manière que l'expression γ(ω) donnée en equation (5) reste valable.
25. A partir des équations de Maxwell, démontrer la relation de dispersion du vecteur d'onde:
k^2(ω) = (ω^2)/(c^2)(1 − i(γ(ω))/(ωε_0))
  1. On suppose dans un premier temps que la pulsation de l'onde est faible devant la fréquence des collisions dans le métal de telle manière que ω≪1/τ. Justifier pourquoi la conductivité est la même qu'à champ d'excitation constant. A quelle longueur d'onde dans le vide ce domaine de fréquences correspond-il ?
  2. En utilisant une expression simplifiée pour k(ω), montrer que dans ces conditions le champ s'écrit :
E→(z, t) = E_0^(→−)exp(− z/δ)exp(i(ωt − z/δ))
Exprimer la profondeur de pénétration δ en fonction de γ_0, ω et μ_0. Représenter graphiquement la dépendance en z de l'amplitude spatiale du champ (en considérant
z = 0 à l'entrée du métal). Calculer δ pour des ondes de fréquences 50 Hz et 100 MHz .
28. On se place maintenant dans le cas ω≫1/τ. Montrer qu'en première approximation : k^2(ω) = ω^2/c^2 − ω_p^2/c^2. Sous quelle condition l'onde peut-elle se propager dans le métal ?
29. Dans le domaine de fréquence dans lequel il n'y a pas propagation, donner l'expression de la distance de pénétration δ_p dans le métal en fonction de ω, ω_p et c. Calculer cette distance pour une fréquence dans le visible.

II.2. Plasmons de surface sur un métal

On étudie dans cette partie l'effet des oscillations électroniques à la surface d'un métal sur la propagation des ondes électromagnétiques. De la même manière que précédemment, il n'y a pas d'accumulation de charges à l'intérieur du métal. On considère une interface entre le métal occupant l'espace z > 0 et l'air occupant l'espace z < 0. Sur cette interface, on cherche les ondes électromagnétiques sous la forme d'ondes planes inhomogènes de champs électrique et magnétique complexes :
E_l→(x, z, t) = E_l^(→−)(z)exp(i(ωt − k_x x)); B_l^(→−)(x, z, t) = B_l^(→−)(z)exp(i(ωt − k_x x))
avec l = 1 dans l'air et l = 2 dans le métal. k_x est la composante suivant x du vecteur d'onde dans les deux milieux et E⃗_l(z) l'amplitude spatiale du champ.
30. Exprimer dans le cas présent les équations de Maxwell satisfaites par les champs électriques et magnétiques dans l'air et le métal de conductivité γ(ω).
31. On suppose que les champs E_l^(→−)(z)(l = 1, 2) sont polarisés dans le plan (x, z). Montrer qu'alors le champ magnétique associé B_l^(→−)(z) est dirigé suivant l'axe y, et que le problème se ramène à la recherche de la fonction scalaire E_(lx)(z) dans chacun des deux milieux.
32. Montrer que E_(lx)(z) vérifie l'équation différentielle pour l = 1, 2 :
(d^2 E_(lx)(z))/(dz^2) − (k_x^2 − ω^2 μ_0 ε_l)E_(lx)(z) = 0
avec ε_1 = ε_0 la permittivité de l'air et ε_2 = ε_0 − iγ(ω)/ω celle du métal.
Dans toute la suite on considère les ondes de pulsation ω telle que ω≫1/τ. Montrer qu'alors ε_2 est réel.
33. Montrer que la forme générale des solutions de cette équation différentielle s'écrit E_(lx)(z) = α_l exp(z/δ_l) + β_l exp(− z/δ_l) pour l = 1, 2, avec des constantes δ_l dont on donnera l'expression en fonction de k_x et ε_l.
34. On cherche des solutions sous la forme d'ondes de surface : ces ondes se propagent dans la direction x, restent confinées au voisinage z = 0 de part et d'autre de l'interface ( 1 − 2 ), et s'annulent pour z infini. Montrer qu'alors nécessairement δ_l est réel. On choisit δ_l positif pour l = 1, 2 : donner l'expression simplifiée de E_(lx)(z) pour l = 1, 2.
35. Donner la forme des autres composantes E_(lz)(z) et B_(ly)(z). Quel est l'état de polarisation du champ électrique dans le plan (x, z) ?
36. Représenter la dépendance en x des amplitudes des vecteurs E_l→ de chaque coté de l'interface. Représenter de même l'amplitude de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting ⟨Π_l^(→−)⟩(x, z) en fonction de x puis de z.
37. On admet que dans la description présente il n'y a pas lieu d'introduire de courant de surface. En utilisant les relations de continuité des champs sur l'interface z = 0, montrer que :
ε_1 δ_1 + ε_2 δ_2 = 0
En déduire le signe de ε_2.
38. Montrer que la relation de dispersion liant k_x à ω s'écrit :
k_x^2(ω) = (ε_1 ε_2)/(ε_1 + ε_2)μ_0 ω^2
  1. Exprimer k_x^2(ω) en fonction de ω, ω_p et c. En prenant en compte les caractéristiques des ondes de surface définies en 34., en déduire le domaine de fréquences autorisant la propagation d'une telle onde le long de l'interface ( 1 − 2 ). Donner les expressions des profondeurs de pénétration de l'onde δ_l(ω, ω_p)(l = 1, 2) de part et d'autre de l'interface et calculer ces distances pour une longueur d'onde dans le vide de 500 nm .
  2. Représenter graphiquement k_x(ω) dans le domaine de fréquences défini en 39.. Discuter les cas : ω≪ω_p, ω → ω_p/√2.
  3. La solution à la pulsation ω = ω_p/√2 est appelée pulsation propre du plasmon de surface. En étudiant la limite du rapport E_(lx)(z = 0)/E_(lz)(z = 0) pour ω → ω_p/√2, donner la polarisation de cette onde dans le plan (x, z).

II.3. Excitation des plasmons de surface

Dans cette partie on cherche les conditions de création d'une onde de surface, confinée de part et d'autre de l'interface air-métal telle que décrite précédemment. On se place dans le domaine de longueurs d'onde telles que ω < ω_p/√2.

II.3.1. Couplage par réflexion

Une onde plane monochromatique se propageant dans un milieu noté 3 parvient à l'interface ( x, y ) sous une incidence θ_3. Le champ électrique en r⃗ de cette onde s'écrit E_3^(→−)(r⃗, t) = E_3^(→−)exp(i(ωt − k_3^(→−) ⋅ r⃗)), où E_3^(→−) et le vecteur d'onde k_3^(→−) appartiennent au plan d'incidence (x, z). On note k_3^′^(→−) et k_2^(→−) les vecteurs d'onde des ondes éventuellement réfléchies ( d'amplitude E_3^′^(→−) ) et transmises (d'amplitude E_2^(→−) ) par l'interface (figure 1).
Figure 1: Couplage par réflexion
  1. Montrer que la relation de continuité des champs à l'interface ( 3 − 2 ) impose que k_3^(→−), k_3^′^(→−) et k_2^(→−) soient coplanaires dans le plan d'incidence ( x, z ), et qu'il y ait continuité des composantes tangentielles des vecteurs d'onde :
k_(3x) = k_(3x)^′ = k_(2x)
Cette onde parvient sur une fine couche de métal (milieu 2) en contact avec l'air (milieu 1) en z = 0 (figure 1). On souhaite faire propager une onde de surface sur l'interface ( 1 − 2 ). L'épaisseur de la couche de métal est considérée comme suffisamment grande pour que la forme précédente des champs dans les milieux 1 et 2 reste valable (equation (8)), et suffisamment fine pour que l'onde de surface sur l'interface ( 1 − 2 ) puisse éventuellement être excitée par couplage avec l'onde propagative du milieu 3. Son vecteur d'onde est alors défini par la relation (11).
43. On suppose dans un premier temps que le milieu 3 est l'air : en exprimant k_(3x) pour une incidence θ_3, montrer que quelle que soit sa pulsation, l'onde propagative du milieu 3 ne peut exciter l'onde de surface : on utilisera pour cela une représentation graphique dans laquelle on utilisera les courbes respectives de k_(lx)(ω) dans l'air ( l = 3 ) et le métal ( l = 2 ).
44. Que devient k_(3x) si 3 est maintenant un milieu d'indice n_3 ? Montrer qu'il est alors possible d'exciter l'onde de surface à condition que l'angle θ_3 dépasse une valeur limite que l'on donnera. On supposera n_3 indépendant de ω.
45. Pour une onde incidente propagative de pulsation ω montrer qu'il existe un unique angle θ_3 = θ_(3p) réalisant le couplage à l'onde de surface. Exprimer θ_(3p) en fonction de ω, ω_p et n_3, et calculer cet angle pour une longueur d'onde incidente de 500 nm dans le vide et un indice n_3 = 1, 541. On suppose que, lorsque l'onde de surface est excitée, l'énergie qu'elle transporte est absorbée. Que peut-on dire qualitativement du coefficient de réflexion de l'onde à θ_3 = θ_(3p) ?
Donner un ordre de grandeur de l'épaisseur maximum à donner au métal pour que le confinement ait bien lieu à cette longueur d'onde.
46. Expliquer pourquoi pour toutes les autres incidences, la réflexion sur l'interface est totale. Quelle est alors la direction du vecteur d'onde k_3^′^(→−) ? Représenter qualitativement en fonction de θ_3, l'amplitude mesurée dans la direction θ_3^′ de l'onde éventuellement réfléchie.
47. Cette configuration, introduite par Erich Kreschmann en 1968, permet de réaliser un dispositif de spectroscopie très sensible à des molécules déposées sur la surface libre du métal. En admettant que le remplacement de l'air (milieu 1) par un milieu d'indice n revient à remplacer ε_1 par n^2 ε_0 dans l'expression (11), donner la relation de dépendance à l'indice de l'angle de couplage θ_(3p)(n).
48. Calculer dθ_(3p)(n)/dn en supposant que la permittivité ε_2 vérifie |ε_2|≫n^2 ε_0. Dans une bio-puce (capteur de molécules biologiques) utilisant ce procédé, le milieu d'indice n est de l'eau ( n = 1, 333 ) dans laquelle on dilue des molécules biologiques en très faible quantité. L'attachement de ces molécules à la surface provoque de faibles variations d'indice au niveau de la surface. Donner la variation d'indice minimum mesurable dn_(min) sachant que la mesure de l'angle θ_(3p) par réflexion peut s'effectuer avec une précision de 10^(− 3) degrés.
49. On souhaite mesurer cette variation d'indice dans une lame d'épaisseur e dans un interféromètre de Michelson de précision de mesure de déphasage de 10^(− 4)rad, travaillant à une longueur d'onde de 500 nm : quelle est l'épaisseur minimum à donner à la lame pour que dn_(min) soit mesurable? Commenter.
50. Un brin d'ADN possède une masse molaire de 310^6 g/mol. Sachant que la variation d'indice du milieu en fonction de la concentration en ADN est de d n/dC = 0, 2 mL/g, quelle est la concentration molaire minimum d'ADN observable en surface de cette bio-puce?

II.3.2. Couplage par diffraction

Une autre possibilité pour coupler une onde électromagnétique propagative à une onde de surface est de remplacer la surface plane métallique par une structure en réseau de diffraction telle que représentée sur la figure 2 . On considère des bandes métalliques disposées périodiquement avec une période Λ. Ce réseau est éclairé par une onde plane d'angle d'incidence θ_3 dans l'air, et on collecte l'intensité en réflexion. Les bandes du réseau sont d'épaisseur suffisamment petite devant la longueur d'onde pour considérer la structure comme une faible perturbation de l'interface plane.
Figure 2: Couplage par diffraction
  1. Définir les ordres de diffraction q (avec q entier) de ce réseau et donner leurs directions angulaires θ_q en réflexion. En déduire que la composante k_(xq) selon x du vecteur d'onde de l'ordre q diffracté s'écrit :
k_(xq)(ω) = ω/csinθ_3 ± q(2π)/Λ
En utilisant la relation de dispersion k_x(ω) de l'onde de surface déterminée en question 39., montrer qu'il est possible de coupler une onde diffractée à l'onde de surface du métal. On raisonnera graphiquement. Déterminer le pas de réseau minimum Λ_(min) autorisant ce couplage à la longueur d'onde 500 nm dans le vide, pour une incidence de θ_3 = 45^∘.
52. En 1902, Robert W. Wood observe que le spectre de diffraction d'une lumière blanche par un réseau de fines bandes métalliques possède des raies noires : expliquer ce phénomène. Quel est le nombre de raies présentes dans la zone spectrale 750 1500 nm pour un réseau de pas 10μ m illuminé sous une incidence de 45^∘ ? On fera les approximations nécessaires en notant que dans ce domaine de longueurs d'onde ω≪ω_p.

II.4. Extraction de la lumière confinée sous forme d'onde de surface

Dans les questions suivantes on étudie le problème inverse de l'extraction de la lumière d'une surface métallique où celle-ci est initialement confinée sous forme d'une onde de surface à deux dimensions. Cette onde est définie par une décroissance exponentielle dans les directions z > 0 et z < 0, et une propagation isotrope dans le plan ( x, y ), avec un vecteur d'onde k_(//)^(→−)de norme k_(//)constante.
53. Justifier que le confinement de l'onde implique k_(//) > ω/c.
54. On se place dans l'espace des k⃗ défini par les axes ( k_x, k_y, k_z ). En se limitant à une projection dans le plan (k_x, k_y), montrer que la région de ce plan correspondant à l'onde confinée est un cercle de rayon k_(//)(dénommé cercle de confinement), et que la région correspondant aux ondes se propageant librement dans le vide est un disque de rayon ω/c (dénommé disque de propagation libre). Justifier graphiquement que l'onde confinée ne peut se propager dans l'espace libre.
55. On place sur la surface (x, y) un réseau métallique périodique suivant la direction x de période Λ, identique à la structure de la figure 2. Cette structure provoque un effet de diffraction sur l'onde de surface. Montrer que ceci résulte en un déplacement du cercle de confinement dans la direction k_x. Exprimer, pour l'ordre de diffraction q, ce déplacement en fonction de q et Λ.
56. Tracer dans le plan ( k_x, k_y ) les cercles correspondant aux ondes diffractées et montrer qu'il est maintenant possible d'intercepter le disque de propagation libre avec un de ces cercles, moyennant une condition sur Λ et ω que l'on donnera. Justifier que cela revient à extraire dans l'espace libre la lumière initialement confinée.
57. On considère l'ordre q = 1 de diffraction. Pour une pulsation ω donnée, quelle est la valeur à donner à Λ pour que la direction de propagation dans la direction z soit autorisée ? Représenter graphiquement les directions de propagation des ondes extraites de la structure par le réseau.
58. Montrer qu'un réseau à deux dimensions de période Λ dans les directions x et y permet d'extraire davantage de directions de propagation initialement confinées au plan (x, y). Illustrer graphiquement le diagramme de rayonnement d'une telle structure.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique ENS MP 2007 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique ENS MP 2007 ?

Le sujet porte sur l'électromagnétisme dans les conducteurs (modèle de Drude, effet de peau) et les ondes de surface (plasmons), avec une incursion en physique quantique pour le modèle du gaz d'électrons libres.

Les deux parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que les deux parties du problème peuvent être traitées de manière indépendante.

Qu'est-ce qu'un plasmon de surface étudié dans ce sujet ?

C'est une onde électromagnétique confinée à l'interface entre l'air et un métal, couplée aux oscillations collectives des électrons de conduction, dont le sujet étudie la relation de dispersion et les méthodes d'excitation, notamment pour des applications de biocapteurs.

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