Gratte-ciels et tours : amortisseur à masse accordée (TMD)
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Le sujet étudie le Tuned Mass Damper, un oscillateur accordé et amorti placé au sommet d'une tour pour limiter ses oscillations dues au vent. Le système est modélisé par deux oscillateurs couplés et analysé à l'aide de fonctions de transfert, de courbes de gain et de diagrammes de Bode. Les sept parties, largement indépendantes, vont de la mise en équation au choix des paramètres, puis à des applications numériques, une analogie électrique et un bilan énergétique.
1Partie 1 : mise en équationÉquations des deux oscillateurs couplés et fonctions de transfert H1 et H2 en régime sinusoïdal (questions 1 à 3).
2Partie 2 : analyse qualitative du systèmeCas limites de l'amortissement et du rapport des masses, antirésonance et résonances d'amplitude (questions 4 à 11).
3Partie 3 : choix des paramètresLecture de courbes de gain, points fixes et critère de choix de l'amortissement optimal (questions 12 à 14).
4Partie 4 : quelques considérations numériquesAmplitudes du TMD et de la tour, critère de confort des occupants et exemple de la Park Tower (questions 15 à 17).
5Partie 5 : limites du modèleExploitation de mesures de dissipation d'énergie sur la Trump World Tower (questions 18 et 19).
6Partie 6 : comportement fréquentiel et analogie électriqueDiagrammes de Bode asymptotiques du TMD et réalisation d'un circuit RLC équivalent (questions 20 et 21).
7Partie 7 : considérations énergétiquesPuissance moyenne dissipée et principe des systèmes actifs (questions 22 à 24).
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Mise en équation incomplète · Nature du filtre non reconnue · Calculs non aboutis et courbes incohérentes
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Ce problème de mécanique reposait sur de nombreux outils de l'électronique (fonction de transfert, filtrage, diagramme de Bode) et demandait de bien comprendre l'analyse fréquentielle. Les parties 1 à 3 et la partie 6 ont été traitées avec un succès variable, tandis que les parties 4 et 5, numériques et expérimentales, ont très peu été abordées. Le jury signale aussi une anomalie de l'énoncé sur la définition de β, qui a gêné la question 5.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Mise en équation incomplèteQuestion 1
La question 1, pourtant assez facile, rapporte rarement tous les points : réaction oubliée et sens physique des pulsations propres mal décrit.
« Très peu de candidats ont obtenu tous les points à cette question pourtant assez facile. »
2
Nature du filtre non reconnueQuestion 2
Les réponses se limitent souvent à l'ordre ou au type de filtre, rarement les deux, quand elles ne sont pas fausses.
3
Calculs non aboutis et courbes incohérentesQuestions 9 et 10
L'existence des deux résonances est rarement démontrée, le tracé est confié à la calculatrice et le gain, qui est un module, présente parfois des valeurs négatives.
4
Confusion entre temporel et fréquentielQuestion 12
La justification de l'association des courbes est souvent absente, et certains qualifient une courbe de gain de pseudopériodique.
« Justification souvent insuffisante, voire absente. »
5
Méthodes vagues et paraphrasesQuestions 13 et 14
La méthode pour établir l'existence des points fixes reste vague, et la question 14 appelle surtout des paraphrases de l'énoncé.
« Beaucoup de paraphrases en guise de réponse. »
6
Diagramme de Bode asymptotique mal maîtriséQuestions 20 et 21
Pentes et phases fausses même avec une fonction de transfert correcte ; le schéma du montage inverseur est presque toujours faux.
« certains ne savent visiblement pas ce qu’est un diagramme de Bode asymptotique »
Ce qui a été bien réussi
Les questions 3 et 4 sont bien traitées en général, et les limites pratiques d'une augmentation de α ont été bien comprises.
La question 8 a donné lieu en général à de bonnes réponses.
L'association des courbes aux valeurs de l'amortissement (question 12) est souvent correcte.
L'expression de H1 (question 2) n'a généralement pas posé de problème.
Conseils du jury
Lire le sujet en entier pour saisir son fil directeur et ne pas laisser de côté une question accessible.
Vérifier l'homogénéité des calculs et surtout des résultats encadrés.
Être particulièrement rigoureux lorsque le résultat à obtenir est donné dans l'énoncé.
Soigner la présentation.
Interpréter physiquement les résultats quand l'énoncé demande d'analyser.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECOND ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures)L'usage de la calculatrice est autoriséSujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE 2-MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
GRATTE-CIELS et TOURS
L'épreuve est constituée de sept parties largement indépendantes entre elles. Cependant, il est crucial d'obtenir l'expression correcte de H_1_– à la question 2.
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
La minimisation des oscillations provoquées par le vent est une difficulté à laquelle sont confrontés les concepteurs de structures de génie civil (ponts, viaducs, antennes ...). L'objet de ce problème est l'étude d'un dispositif efficace pour cette minimisation, le «Tuned Mass Damper ≫ (TMD). C'est un oscillateur accordé et amorti, généralement dissimulé au sommet de la structure, et couplé au mouvement de cette dernière, de telle manière que, idéalement, il oscille en opposition de phase avec elle et «détourne» ainsi de l'énergie. Dans un repère galiléen, le mouvement du sommet S de la tour et celui du TMD s'effectuent selon une direction horizontale fixe. On note x(t) l'élongation linéaire de S et u(t) celle du TMD par rapport à la tour. À l'équilibre mécanique, x(t) = u(t) = 0.
Le système {tour, TMD} est ainsi modélisé (Fig. 1) par deux oscillateurs unidimensionnels couplés mis en mouvement par la force extérieure f_0(t). Le premier oscillateur (la tour) est modélisé par une masse m soumise à la force de rappel élastique f_(élas.) = − kx et à la force de frottement fluide φ = − hx˙. Le second oscillateur (le TMD) est modélisé par une masse m_1 soumise à la force de rappel élastique f_1 = k_1 u et à la force de frottement fluide φ_1 = − h_1 u˙. Les constantes k, h, k_1 et h_1 sont positives.
Fig. 1 : Principe simplifié du système TMD
1 - Mise en équation
On suppose que les oscillations de la tour s'effectuent sans frottement ( h = 0 ). L'application de lois fondamentales de la dynamique, d'une part aux systèmes {tour, TMD}, d'autre part au seul système {TMD}, donne les deux équations (système [A])
Exprimer α, ω_0, ω_l, η_1 et a_0(t) en fonction des grandeurs intervenant dans la modélisation. Préciser la signification physique des grandeurs ω_0 et ω_l. ◻2 - On s'intéresse à la réponse du système à l'excitation a_0(t) = ℜ(A_0 exp(iωt)), où le symbole ℜ représente la partie réelle et i^2 = − 1. Les amplitudes complexes de u(t), a_0(t) et x(t) sont notées respectivement U_–, A_– et X_–. On pose enfin β = (ω_1)/(ω_0) (β = √(αk/(k_1))). Exprimer la fonction de transfert H_1_–(z) = (U_–)/(X_–) en fonction de β et de z = ω/(ω_0). Quelle est la nature de cette fonction? Est-il avantageux d'avoir |H_1_–| plutôt grand ou plutôt petit? ◻3 - Les occupants de la tour sont sensibles à l'accélération b = x¨. Établir l'expression de
la fonction de transfert H_2_–(z) = (B_–)/(A_0_–) = (z^2)/((1 + α + αH_1_–)z^2 − 1), où B_– est l'amplitude complexe de b(t). Est-il avantageux d'avoir |H_2_–| plutôt grand ou plutôt petit?
2 - Analyse qualitative du système
Nous analysons quelques cas particuliers du comportement du système {tour, TMD} en régime libre, c'est-à-dire en l'absence de force extérieure f_0(t). L'ensemble aura été mis en mouvement, par exemple, par un déplacement initial du TMD en l'absence de vent. On continue de supposer que h = 0.
2-1 Cas où η_1 = 0 ◻4 - Réécrire le système [B] et les expressions de H_1_– et de H_2_– dans le cas où η_1 = 0. Pourquoi est-il préférable de choisir α le plus grand possible? Quelles sont les limites pratiques d'une augmentation de α ?
Limite α → 0 ◻5 - On considère le comportement du système {Tour, TMD} lorsque α tend vers 0 . Réécrire dans ce cas le système [B] et les expressions limites de H_1_– et de H_2_–. Quel rôle joue alors le TMD sur le mouvement propre de la tour ? Quel rôle joue la tour sur le mouvement propre du TMD ? Montrer que le mouvement du TMD est en phase ou en opposition de phase avec celui de la tour.
6-Conclure sur le rôle du paramètre h_1.
Limite α → ∞ (un cas irréaliste !) ◻7 - Qu'advient-il de H_1_– et de H_2_– lorsque la masse du TMD tend vers l'infini?
Cas général pour α ◻8 - Pour quelle valeur de z, notée z_(AR), la fonction H_1_– est-elle infinie? Que vaut alors la fonction de transfert H_2_– ? C'est le phénomène d'antirésonance. ◻9 - Montrer qu'il existe deux valeurs de z, notées z_(R1) et z_(R2) avec z_(R1) < z_(R2), pour lesquelles le gain G_2 = |H_2_–| devient infini (résonances d'amplitude). Établir l'inégalité z_(R1) < z_(AR) < z_(R2). Calculer z_(R1), z_(R2) et z_(AR) pour α = 0, 1 et β = 0, 95. Tracer l'allure de la courbe représentative de G_2(z).
2-2 Cas où η_1 est infini
◻10 - Analyser le système étudié dans le cas limite η_1 → ∞. Exprimer et calculer la valeur de z, notée z_∞, pour laquelle G_2 est maximum ( α = 0, 1 et β = 0, 95 ). Tracer l'allure de la courbe représentative de G_2(z).
2-3 Cas où η_1 est quelconque
◻11 − La valeur de η_1 est désormais quelconque. Justifier la pertinence du choix β = 1/(√(1 + α)). Peut-on effectivement fixer β à sa guise ? Sur quels paramètres est-il possible de jouer sans remettre en question le choix des architectes ?
3 - Choix des paramètres
On adoptera dans toute la suite la relation β = 1/(√(1 + α)); pour les valeurs numériques, on prendra α = 0, 1 (et donc β ≈ 0, 953 ).
Fig. 2 : Courbes de gain pour trois valeurs de η.
12 − La Fig. 2 montre les courbes de gain G_2(z) correspondant à η_1 = 0, 1, η_1 = 0, 3 et η_1 = 0, 6. Associer à chaque courbe A, B et C la valeur de η_1 qui lui correspond en justifiant qualitativement votre réponse. ◻13 - La figure 2 semble montrer que, quel que soit η_1, toutes les courbes de gain passent par deux points fixes, d'abscisses respectives z_A et z_B. C'est bien le cas! Quelle méthode utiliseriez-vous pour établir cette propriété curieuse ? Seule la méthode est demandée, il n'est pas question ici de poursuivre les calculs jusqu'à leur terme. Les abscisses z_A et z_B vérifiant (1 + 1/β^2)z^4 − 4z^2 + 2β^2 = 0, calculer z_A et z_B.
Fig. 3 : Étude locale du gain (α = 0, 1).
14 - La Fig. 3 représente une famille de courbes correspondant à des valeurs croissantes de η_1, entre 0,18 et 0,21 . Proposez un critère de choix pour la valeur optimale, η_(opt), de ce paramètre. À titre documentaire, un ouvrage affirme, sans justification, que η_(opt) = √((3α)/(8(1 + α))); la courbe correspondante est en pointillés sur la Fig.3. La courbe en trait gras possède un maximum local en z = z_A.
4 - Quelques considérations numériques
◻15 - Exprimer la réponse u(t) du TMD à l'excitation a_0(t) = A_0 cos(ω_1 t). Calculer son
amplitude maximale en fonction de A_0, pour α = 0, 1, η_1 = 0, 2 et T_0 = 2π/ω_0 = 6 s.
16 - Les occupants ressentent généralement des malaises lorsqu'ils subissent une accélération supérieure à 0, 015g, où g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2) est l'accélération de la pesanteur. Quelle condition sur A_0 l'excitation doit-elle vérifier si l'on se fixe ce critère de tolérance ? Cette condition remplie, calculer l'amplitude maximale des oscillations du TMD et celle de la tour. Comparer avec la situation obtenue en l'absence de TMD.
17-La Park Tower est une tour haute de 257 m et large d'environ 23 m . Les études ont prévu des d'oscillations de période propre T_0 = 6 s pouvant constituer une nuisance. Les essais en soufflerie ont révélé des accélérations excessives, voisines de 0, 030 g. Le dispositif retenu, un TMD de 300 tonnes, soit 1, 4% de la masse effective de la tour, a permis de réduire les accélérations maximales d'un facteur 2. Le TMD étant assimilé à un pendule simple, évaluer numériquement sa longueur l ainsi que l'amplitude maximale des oscillations de la tour.
5 - Limites du modèle : autres résultats expérimentaux
En raison de sa forme anguleuse, peu aérodynamique, la Trump World Tower (Fig. ci-dessous) est très sensible à l'action du vent. Ce choix architectural a requis l'utilisation d'un
TMD de 600 tonnes, soit 2, 8% de la masse effective de la tour. Une série de tests a été menée afin de contrôler et d'ajuster le fonctionnement du TMD. La période propre des oscillations de la tour en régime libre est T_0 = 6, 2 s. Le taux de dissipation de l'énergie mécanique E(t) associée au mouvement, D(t) = (E(t) − E(t + T))/(E(t)), vaut 2% par oscillation en l'absence de couplage avec le TMD. Le coefficient h de la Fig. 1 ne peut donc plus maintenant être considéré comme nul. Le taux de dissipation de l'énergie en présence du TMD est de 7% par oscillation. ◻18 − On pose η = h/(2√(mk)). Calculer η.
19 - Comment peut-on procéder pour mesurer le taux de dissipation de l'énergie en régime libre et en l'absence du TMD ?
6 - Comportement fréquentiel du TMD ; analogie électrique
20 - On étudie dans cette partie la réponse u(t) du TMD au mouvement sinusoïdal de la tour de la forme x(t) = x_0 cos(ωt), d'amplitude x_0 constante. Représenter les diagrammes de Bode asymptotiques concernant le gain G_1(ω) et le déphasage φ_1(ω). Pour quelle valeur du paramètre η apparaît-il un phénomène de résonance d'amplitude ?
21 - Proposer un circuit RLC série ayant la fonction de transfert − H_1_– puis compléter ce
montage afin de reconstituer H_1_–. Exprimer alors ω_1 et η en fonction de R, L et C. Est-il possible de trouver des valeurs réalistes pour ces composants en adoptant les valeurs numériques η = 0, 2, β = 0, 95 et ω_0 = 1, 01 rad.s ^(− 1) ? Si non, est-il possible pour autant de simuler le comportement de la tour à l'aide d'une maquette électrique ?
7 - Considérations énergétiques.
22 - Exprimer, en régime sinusoïdal, la moyenne temporelle de la puissance des actions intérieures en fonction de h_1, ω, G_1 et x_0. On la notera ⟨P_1⟩.
Fig. 4 : Allure de la puissance réduite p_1(u) en fonction de la pulsation réduite u = ωω_1.
23 - Commenter la Fig. 4, qui représente l'allure de la puissance réduite p_1 = (⟨P_1⟩)/(x_0^2) en fonction de la pulsation réduite u = ω/(ω_1), pour η = 0, 2.
24 - Dans les systèmes dits actifs, le TMD mis en mouvement par effet inertiel subit également une excitation propre, asservie au mouvement de la tour. Il est alors possible de contrôler le déphasage φ_1(ω) par rapport à la situation précédente. Quelle est alors la valeur optimale de φ_1 ? Quels peuvent être les inconvénients de ces systèmes actifs ?
FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'EPREUVE
Détail du TMD de la Tour Taipei 101, à Taïwan (le plus haut gratte-ciel du Monde).
Questions fréquentes
3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines 2007 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines 2007 ?
+
Il s'agit d'un problème de mécanique des systèmes (oscillateurs couplés) qui mobilise les outils de l'électronique : fonction de transfert, filtrage et diagramme de Bode. Une partie propose aussi une analogie avec un circuit RLC.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 2 MP Mines 2007 ?
+
Le jury cite une mise en équation incomplète, la nature du filtre mal identifiée, des courbes de gain incohérentes, des confusions entre description temporelle et fréquentielle et des diagrammes de Bode asymptotiques faux.
Quelles parties du sujet de physique Mines MP 2007 ont été le moins traitées ?
+
Les parties 4 et 5, qui portent sur des considérations numériques et expérimentales, ont très peu été abordées. Les questions 16 à 19 ne l'ont presque jamais été et les questions 22 à 24, assez difficiles, ont souffert du manque de temps.
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Commentaires• Mines Physique 2 MP 2007
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