Mines Physique 2 MP 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP

(Durée de l'épreuve: $3$ heures)L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II — MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE À HAUTE FRÉQUENCE

L'énoncé de cette épreuve comporte deux parties complètement indépendantes. Les vecteurs sont représentés en caractères gras :

v, E

. Un système d'axes orthonormés direct

Oxyz

est associé à la base cartésienne (

e_x, e_y, e_z

). Pour toute grandeur

a

, on note

a˙ = da/dt

.
Historiquement, les tubes à vide et à faisceaux d'électrons (qui ont donné son nom à l'électronique) ont progressivement été remplacés par des composants à semi-conducteurs (diodes, transistors, etc.). Toutefois, les tubes à circulation d'électrons dans le vide (klystron, magnétron) restent d'un emploi courant dans le domaine des hautes fréquences et des fortes puissances. Ce problème décrit ces deux dispositifs toujours largement utilisés.

I. - Le magnétron, oscillateur hyperfréquences

Fig. 1 - Le magnétron (vue d'ensemble)

Un magnétron (système équipant tous les fours à micro-ondes) est constitué d'un tube à vide et de deux électrodes, cylindriques et coaxiales. Un champ électrique intense règne dans l'espace inter-électrodes, et les électrons, émis par la cathode centrale, se dirigeraient vers l'anode externe à grande vitesse si le champ magnétique était absent (fig. 1). On impose un champ magnétique stationnaire qui, courbant les trajectoires électroniques, les amène à rester contenues dans l'espace inter-électrodes.

Les électrons acquièrent alors des trajectoires rapidement tournantes et leur passage devant des cavités résonantes provoque l'apparition, dans celles-ci, de champs électromagnétiques rapidement variables. Dans les fours à micro-ondes à usage domestique, la fréquence d'émission est normalisée à

f_0 = 2, 45GHz

. Le rayonnement micro-onde est alors conduit vers la zone à chauffer par un guide d'ondes. Le magnétron a été inventé par le physicien américain Albert Hull en 1921 et perfectionné par le physicien japonais Kinjiro Okabe en 1928. Il a été mis en application dès la seconde guerre mondiale comme source d'ondes de haute fréquence pour les systèmes radar en Grande-Bretagne. Ce qui suit n'est pas une description complète du magnétron, mais seulement une mise en équations de certains mouvements possibles des électrons dans le magnétron. En cas de besoin on rappelle l'expression des opérateurs divergence et gradient dans le système de coordonnées associé à la base cylindrique

{e_r, e_θ, e_z}

représentée sur la figure 2

Pour tout champ de vecteur

K \in ℝ^3, divK = 1/r\partial/(\partialr)(rK \cdot e_r) + 1/r\partial/(\partialθ)(K \cdot e_θ) + \partial/(\partialz)(K \cdot e_z)

Pour tout champ scalaire

f(r, θ, z), gradf = (\partialf)/(\partialr)e_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e_θ + (\partialf)/(\partialz)e_z

Dans tout ce problème on négligera le poids des électrons.

I.A. - Le magnétron sans champ magnétique

FIG. 2 - Le magnétron (vue de face)

Le schéma de la figure 2 représente la cavité, vide, comprise entre l'électrode interne (cathode), cylindrique de rayon

a

, portée au potentiel nul, et la cavité externe, cylindrique de rayon

b > a

, portée au potentiel constant

V_0 > 0

. On considère un point

M

, de coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) dans la base

{e_r, e_θ, e_z}

, représenté sur la figure 2 .
-1-En négligeant tout effet de bord, déterminer le potentiel électrostatique

V(r)

M

situé dans l'espace interélectrodes, supposé vide.

2 - Des électrons sont émis au niveau de la cathode par effet thermoélectronique à vitesse initiale négligeable. Quelle est leur trajectoire? Exprimer $r˙ = dr/dt$ pour un électron situé en $M$ en fonction de $r$ , de sa charge $- e$ , de sa masse $m$ et des quantités $V_0, a$ et $b$ .
$◻3$ - Exprimer la durée $τ$ du trajet de la cathode à l'anode. On posera $f(u) = \int_1^u(dx)/(\sqrt(lnx))$ .

I.B. - Le magnétron vide, avec un champ magnétique.

On considère toujours que l'espace inter-électrodes est vide, soumis à la même répartition

V(r)

de potentiel électrostatique que celle décrite à la question 1 ; on lui superpose le champ magnétostatique

B = B_0 e_z

, uniforme et stationnaire, orthogonal au plan de la figure 2.

4-Montrer que la trajectoire d'un électron, émis au niveau de la cathode sans vitesse initiale, est plane. On pourra décrire ce mouvement en coordonnées polaires ( $r, θ$ ), en projection sur la base polaire $(e_r, e_θ)$ . Montrer que l'énergie mécanique de cet électron est conservée. En déduire une constante du mouvement sous la forme d'une relation entre $r, r˙, θ˙, V_0, a, b, e$ et $m$ .
5 - En écrivant le théorème du moment cinétique pour le mouvement de l'électron, déduire l'existence d'une autre constante du mouvement faisant apparaître $B_0$ .
$◻6$ - On appelle champ de coupure la valeur minimale $B_c$ du champ magnétique $B_0$ que l'on doit imposer pour qu'aucun électron ne puisse atteindre l'anode. Exprimer $B_c$ en fonction de $a, b, V_0, e$ et $m$ . Donner l'expression approchée de $B_c$ si $b≫a$ ; cette relation porte le nom d'équation de Hull. On note $ω$ la valeur prise par la vitesse angulaire $dθ/dt$ au moment où l'électron est le plus éloigné de la cathode, à la distance $r_0 < b$ de l'axe du magnétron, et $ω_c$ la valeur particulière de $ω$ si $r_0 \to b$ . Exprimer $ω_c$ en fonction de $e, V_0, m$ et $b$ .

I.C. - Le magnétron, avec charge d'espace et champ magnétique.

On étudie un mode particulier de fonctionnement du magnétron (mode de Brillouin) dans lequel tous les électrons qui ne sont pas dans le voisinage immédiat de la cathode ont un mouvement circulaire d'axe

Oz

à la même vitesse angulaire

ω_B

. Les potentiels des électrodes de rayon

a

b

sont inchangés, le champ magnétique est toujours constant et selon

e_z

◻7

- Montrer que le mode de Brillouin n'est pas compatible avec le potentiel électrostatique issu de l'hypothèse d'un espace interélectrode vide. Expliquer pourquoi la prise en compte d'une charge dans l'espace interélectrode peut éventuellement permettre d'obtenir un mode de Brillouin.

◻8

- Déterminer l'expression du potentiel

V(r)

entre les électrodes qui permet d'obtenir le mode de Brillouin idéal, c'est-à-dire celui pour lequel tous les électrons sont en mouvement circulaire à vitesse angulaire

ω_B

constante. On exprimera

V(r)

en fonction de

V_0, r, a

b

et on constatera que ce mode ne peut être obtenu que pour une valeur particulière

B_B

du champ magnétostatique que l'on déterminera en fonction de

ω_B, e, m, V_0, a

b

◻9

- On considère toujours que les électrons sont émis à vitesse nulle à la cathode. Montrer que pour un mode de Brillouin idéal, seuls les électrons situés loin de la cathode (

r≫a

) possèdent approximativement l'énergie mécanique qu'ils avaient au moment de leur émission. Exprimer pour ces électrons périphériques

B_B

ω_B

en fonction de

e, m, b

V_0

◻10

— On donne

b = 5 mm, m = 9, 1 \times 10^(- 31) kg

e = 1, 6 \times 10^(- 19)C

. Comment choisir

V_0

pour obtenir des oscillations périphériques de fréquence

ω_B/(2π) = 2, 45GHz

? Quelle doit être la valeur de

B_B

FIN DE LA PARTIE I

II. - Le klystron, amplificateur hyperfréquence

Cette partie décrit le principe de fonctionnement du klystron à deux cavités, dispositif amplificateur de tension hyperfréquences inventé en 1937 par William Hansen, Russell et Sigurd Varian. Le fonctionnement du klystron à deux cavités est fondé sur la modulation de vitesse d'un faisceau d'électrons. Ses inventeurs décrivaient le principe du klystron au moyen de l'analogie suivante : «imaginez un flot continu de véhicules circulant de San Francisco à Palo Alto ; si les voitures quittent San Francisco à intervalles réguliers et avec la même vitesse, alors, jusqu'à leur arrivée à Palo Alto, elles seront régulièrement espacées et on observera un flux uniforme de véhicules. Mais supposez que, d'une manière quelconque, la vitesse de certaines voitures puisse être légèrement augmentée à leur départ de San Francisco, tandis que d'autres seraient légèrement ralenties. Alors, au fur et à mesure de leur trajet, les voitures rapides rattraperaient les plus lentes et elles formeraient des paquets. Ainsi, si la vitesse des voitures est assez différenciée et la durée du trajet suffisante, le flux uniforme serait transformé. Dans le cas idéal, l'arrivée à Palo Alto se produirait en groupes clairement définis

» »

. De la même façon, dans un tube à électrons, le contrôle du flux d'électrons peut suivre le même principe de «formation de paquets » par modulation de la vitesse plutôt que par un contrôle direct du flux par une électrode de sortie.
Le klystron est un tube à électrons (particules de masse

m

et de charge

- e

supposées non relativistes dans tout le problème) utilisé en modulation de vitesse, décrit sur la figure 3 . Les électrons sont émis dans le vide qui règne dans la cavité par effet thermoélectronique dans un canon à électrons formé

Fig. 3 - Principe du klystron à deux cavités

d'une cathode chauffée (

K

), portée au potentiel

V_K = 0

, d'une grille de focalisation (

F

) et d'une grille d'accélération (

A

) portée au potentiel constant

V_A > 0

. La sortie des électrons de la cathode chauffée se fait à l'abscisse

z_K < 0

, à vitesse initiale négligeable.
Après la traversée de la grille d'accélération, positionnée à l'abscisse

z_A = 0

, les électrons forment un faisceau homocinétique, de vitesse

u_0 = u_0 e_z

, colinéaire à l'axe du klystron. Ils atteignent deux grilles dites de modulation, (

M_1

) et (

M_2

) séparées par la distance

d

et respectivement portées aux potentiels

V_A

V_M = V_A + V_o sin(ωt)

. La fréquence

f = ω/(2π)

est imposée par un oscillateur non décrit ici. On désigne par

ℓ + d

la distance

OM

et l'on suppose que

d≪ℓ

(voir figure 3).
À la sortie de la zone de modulation, les électrons de vitesse

u = ue_z

traversent un espace de glissement de longueur

L

avant d'atteindre les grilles de détection, (

D_1

) et (

D_2

) séparées par la distance

d

et respectivement portées aux potentiels

V_M

V_D

; on suppose que

d≪L

(voir figure 3). Enfin, une anode

A_n

collecte les électrons qui ont traversé le système sans être interceptés.
Dans tout le problème, on notera

I(z, t)

le courant électrique qui circule, à l'instant

t

et à la cote

z

, dans une section droite du tube orientée dans le sens des

z

décroissants de sorte que

I(z, t)

soit positif. On néglige tout champ magnétique et l'on suppose que le potentiel électrique qui règne dans le tube n'est fonction que de

z

et du temps

t : V = V(z, t)

; pour cette raison, à partir de la question 13, le champ électrique dans le tube sera noté

E = E(z, t)e_z

II.A. - Étude du faisceau d'électrons dans le tube

Dans la région

0 < z < ℓ

, on notera

I_0 = I(z)

le courant électrique qui traverse le tube; le faisceau électronique est supposé cylindrique, de rayon

a

, de section

s = πa^2

. On pourra utiliser les coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) exprimées dans la base cylindrique locale

{e_r, e_θ, e_z}

représentée sur la figure 4.

◻11

- Représenter sur un schéma le sens du courant

I_0

. Exprimer

I_0

en fonction de

a, u_o

et de la charge volumique électronique

ρ

, supposée uniformément répartie dans le cylindre. Montrer que le champ électrique

E_c

créé par cette distribution cylindrique de charges ne dépend que de la distance radiale

r

à l'axe du cylindre. En déduire l'expression de

E_c(r)

en fonction de

r

, de la permittivité du vide

ε_0

ainsi

FIG. 4 - Coordonnées cylindriques

que de

I_0, u_0

, et

a

◻12

- On considère qu'un électron situé à la périphérie du faisceau évolue dans le champ uniforme

E_c(a)

. Calculer la déviation radiale

Δr

qu'il subit en fonction de

e, m, E_c(a)

et de

τ = ℓ/u_o

la durée du trajet d'un électron périphérique entre

(A)

(M_1)

. En déduire que l'on ne peut considérer que le faisceau d'électrons reste approximativement cylindrique qu'à une certaine condition, que l'on écrira sous la forme

I_0≪I_1

. On exprimera

I_1

en fonction de

m, e, a, u_0, ε_0

ℓ

. On dira alors que l'on néglige la défocalisation du faisceau. On fera cette approximation dans toute la suite du problème.

◻13

- Exprimer, en fonction de

I_0, u_0, s

ε_0

, l'équation différentielle qui régit les variations de

E(z, t)

en fonction de

z

dans la région

0 < z < ℓ

. En déduire le potentiel

V(z, t)

en fonction

V_A, I_o, u_0

s, ε_0, z

ℓ

. À quelle condition (exprimée sous la forme

I_0≪I_2

) peut-on considérer que

V(z, t)

est uniforme dans cette région ? On exprimera

I_2

en fonction de

V_A, s, u_0

ℓ

. Expliquer pourquoi cette approximation consiste à négliger la charge d'espace dans le tube. On fera cette approximation dans toute la suite du problème.

◻14

- Déterminer l'expression de

V(z)

pour

z_K < z < ℓ + d + L

et tracer la courbe correspondante.

◻15

- Déterminer la vitesse

u

des électrons qui traversent la grille de modulation (

M_2

) à l'instant

t

, on l'exprimera en fonction de

u_0, ω, t

et de

β = V_0/2V_A

. Donner une expression approchée de

u

lorsque

β≪1

; on se placera dans ce cas dans toute la suite du problème.

16 - Expliquer pourquoi le générateur qui alimente les grilles de modulation ne fournit, en moyenne aucune énergie. Quelles causes consommatrices de puissance, non prises en compte dans ce qui précède, pouvez-vous imaginer au niveau du dispositif de modulation ?

II.B. - Étude de la modulation de vitesse du faisceau d'électrons

◻17

- On considère ici des électrons qui sont passés par la grille de modulation (

M_2

) à l'instant

t_1

; on pose

σ_1 = ωt_1

. Ces électrons atteignent la grille de détection (

D_1

) à l'instant

t_2

; on posera

σ_2 = ωt_2, σ_0 = ωL/u_0

k = βσ_0

. Quelles sont les dimensions physiques de

σ_1, σ_2, σ_0

k

? En se limitant au premier ordre en

β

, exprimer

σ_2

en fonction de

σ_1, σ_0

k

◻18

- Sur un intervalle symétrique centré en 0 , tracer l'allure des courbes donnant

σ_2 - σ_0

en fonction de

σ_1

pour

k = 0, k = 0, 5

k = 1

. Expliquer pourquoi

k

porte le nom de paramètre de groupement.

19 - Dans cette question seulement, on considère que $k = 1$ . L'étude précédente montre que l'on peut regrouper les électrons. Pour fixer les idées, considérons l'intervalle de temps $dt_1$ centré sur 0 de telle manière que $- dt_1/2 < t < dt_1/2$ , tel que tous les électrons qui ont été émis de ( $M_2$ ) pendant une durée $dt_1$ arrivent sur ( $D_1$ ) pratiquement au même instant $t_2$ , à $1%$ près. Déterminer $dt_1$ en fonction de $L, ω$ et $u_0$ . À quelle fraction $ε$ de la période du signal de modulation $V_M(t)$ cette durée correspond-elle?
Application numérique : on donne $m = 9, 1 \times 10^(- 31) kg, e = 1, 6 \times 10^(- 19)C, V_A = 75kV, L = 10 cm$ ainsi que $ω = 5, 98 \times 10^9 rad.s^(- 1)$ . Déterminer $dt_1$ et $ε$ .
$◻20$ - On considère que la durée du trajet d'un électron entre $(M_1)$ et $(M_2)$ est nulle. L'intensité du courant électrique qui atteint la grille de modulation ( $M_2$ ) à l'instant $t_1$ est donc $I_0$ . On note $I(σ_1)$ l'intensité du courant électrique qui atteint la grille de détection ( $D_1$ ) à l'instant $t_2$ . Relier $I(σ_1), I_0$ et $dσ_2/dσ_1$ . En déduire que

I(σ_1) = (I_0)/(1 - kcosσ_1)

◻21

- On note

φ = ω(t_2 - L/u_o)

la phase de l'onde de courant qui se propage le long de l'axe du klystron, à l'instant où cette onde atteint la grille de détection (

D_1

). Exprimer

φ

en fonction de

k

σ_1

. Montrer que, si

k \leq 1

, le courant

I(σ_1)

peut être considéré comme une fonction de

φ

. Quelle est la période

T_φ

de cette fonction ? Est-ce une fonction paire ou impaire de

φ

22- On cherche la décomposition de Fourier de

I(φ)

sous la forme :

I(φ) = ⟨I⟩ + \sum_(n = 1)^\inftya_n cos(2πnφ/(T_φ)) + \sum_(n = 1)^\inftyb_n sin(2πnφ/(T_φ))

Déterminer

⟨I⟩

, puis

b_n

pour tout

n \geq 1

. On donne l'expression intégrale de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre

p

J_p(α) = 1/π\int_0^π cos(αsinψ - pψ)dψ

Exprimer simplement

a_n

en fonction de

I_0

et de

J_n(nk)

. On conservera cette expression dans la suite même si

k > 1

II.C. - Dimensions et accord du klystron

L'onde de courant parvenant au détecteur sera détectée sous la forme du courant alternatif

i_D(t)

; celui-ci s'écrit, en se limitant au premier terme de la série de Fourier, proportionnellement à la fonction de Bessel

J_1(α)

i_D(t) = 2ηI_0 J_1(β(ωL)/(u_0))cos(ωt - (ωL)/(u_0))

où

η

est le rendement de détection, et

I_0

le courant strictement positif produit par le canon à électrons. Le tracé de

J_1(α)

est reporté sur la figure 5 . On notera que

J_1(α) = 0

pour

α_(01) = 3, 83

α_(02) = 7, 02

; le premier maximum de

J_1(α)

est atteint pour

α_m = 1, 84

et vaut

J_1(α_m) = 0, 58

Fig. 5 - Fonction de Bessel

J_1(α)

23 - À quelle distance

L_m

de la grille de modulation

(M_1)

, la grille de détection

(D_1)

doit-elle être placée pour obtenir un courant détecté d'amplitude maximale ? On exprimera

L_m

en fonction de la fréquence

f

du signal de modulation, de

V_A, β, m, e

α_m

24 - On donne

m = 9, 1 \times 10^(- 31) kg, e = 1, 6 \times 10^(- 19)C, V_A = 75kV, β = 0, 5

L = 10 cm

. Calculer la fréquence

f

pour laquelle est accordé le klystron. Dans quel domaine spectral cette fréquence se situe-t-elle?

II.D. — Étude du système de détection

Le système des deux grilles de détection est ici assimilé à deux plans métalliques, parfaitement conducteurs, disposés à la distance

d

l'un de l'autre. On note

O_1

O_2

les intersections des deux grilles de détection

(D_1)

(D_2)

avec l'axe

Oz

. On considère qu'à un instant donné, un seul électron, noté

Λ

, se trouve entre ces deux grilles; il a alors parcouru la distance

z_e = O_1 Λ

telle que

0 < z_e < d

dans l'espace défini par les deux grilles (voir figure 6). Soit

P_1

(respectivement

P_2

) un point quelconque de la grille (

D_1

) (respectivement

(D_2))

repéré par la distance

r_1 = O_1 P_1

(respectivement

r_2 = O_2 P_2

FIG. 6 - Grilles de détection

Dans toute la partie II.D, on notera

V_1

V_2

les potentiels respectifs des grilles (

D_1

) et (

D_2

) dont les dimensions transverses sont supposées très supérieures à

d

, de manière à négliger tout effet de bord. L'ensemble de l'étude électrique sera mené dans le cadre de l'électrostatique.

25-En l'absence de tout électron entre les grilles, déterminer les densités surfaciques de charge

Σ_(01)

Σ_(02)

portées par les grilles. On les exprimera en fonction de

v_D = V_2 - V_1

, de

d

et de la permittivité du vide

ε_0

◻26

- En sa présence (voir fig. 6), on admet que la charge ponctuelle de l'électron

λ

influence totalement les deux plans métalliques, c'est-à-dire que toute ligne de champ issue d'un point

P_i

du plan

(D_i)

passe par le point de cote

z_e

où se trouve l'électron. Tracer l'allure des lignes de champ du champ électrique

E

dans l'espace compris entre (

D_1

) et (

D_2

). Tracer également l'allure des surfaces équipotentielles.
En présence de cet électron, on appelle

Σ_1

Σ_2

les charges surfaciques aux points

P_1

P_2

, et

q_1

q_2

les charges totales portées par les deux facades des grilles

(D_1)

(D_2)

en regard. Quels sont les signes de

Σ_1

Σ_2

? Quels sont les signes de

q_1

q_2

? Justifier. Que peut-on dire de

q_1 + q_2

◻27

- Quelles sont les valeurs limites

q_(1i)

q_(2i)

des charges

q_1

q_2

à l'instant

t_i

où l'électron vient de pénétrer dans l'espace de détection, c'est-à-dire lorsque

z_e≪d

? Expliciter de même les valeurs limites

q_(1f)

q_(2f)

des charges

q_1

q_2

à l'instant

t_f

où l'électron va quitter l'espace de détection c'est-à-dire lorsque

z_e ≃ d

. Finalement, quelle est la charge

q_D

qui a circulé dans les grilles de détection lors du passage d'un électron à travers les grilles de détection?

On note

I_K

le courant transporté par les électrons qui circulent le long de l'axe du klystron, et qui traverse les grilles de détection. Ce courant provoque la circulation d'un courant électrique variable

i_D

dans le circuit refermé sur les grilles de détection.

◻28

- Que vaut

i_D

si le courant

I_K

est constant?
On suppose que le courant

I_K = ⟨I_K⟩ + i_K(t - z_e/u_0)

comporte maintenant une partie sinusoïdale

i_K(t - z_e/u_0)

qui se propage à la vitesse

u_0

. On considère la charge électrique circulant entre les grilles sous l'effet du seul courant alternatif

i_K

◻29

- Exprimer la charge

q(t)

comprise, à l'instant

t

, entre les deux plaques, sous forme intégrale. Déterminer la variation

dq = q(t + dt) - q(t)

. On supposera que la largeur

d

est faible devant

u_o/ω

. En déduire le courant

i_D

. Quel est, à la pulsation

ω

, le rendement

η

du système de détection?

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

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