Éléments de cosmologie : déviation de la lumière par les étoiles, thermodynamique des amas, effet Doppler et loi de Hubble
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Le problème met en place des éléments de cosmologie en quatre parties largement indépendantes. La première étudie la déviation de la lumière par une étoile par analogie mécanique avec un problème à deux corps. La deuxième aborde la stabilité et l'instabilité thermodynamique des amas d'étoiles. La troisième traite l'effet Doppler et la loi de Hubble, et la dernière étudie l'échelle de temps de l'expansion de l'Univers.
1Partie I - Déviation de la lumière par les étoilesÉtudie le système à deux corps, les trajectoires hyperboliques, puis la déviation de la lumière par le Soleil et les effets de lentille gravitationnelle.
2Partie II - Thermodynamique des étoiles et galaxiesÉtudie la stabilité des systèmes mécaniques simples puis l'instabilité des systèmes autogravitants.
3Partie III - Effet Doppler et loi de HubbleÉtablit l'effet Doppler-Fizeau puis la loi de Hubble, en lien avec la loi de Wien.
4Partie IV - Échelle de temps de l'expansionÉtudie le refroidissement de l'Univers selon les ères à dominante matérielle et radiative, puis en déduit l'âge de l'Univers.
Accessible. Le rapport conclut que ce problème est de difficulté très raisonnable, ce qui a permis une bonne dispersion des notes.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Équation différentielle vectorielle mal écrite · Confusion entre dérivées spatiales et temporelles · Invariance de la durée mal maîtrisée
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L'épreuve s'articule autour de quatre parties largement indépendantes, avec de nombreuses questions qualitatives permettant de cerner le niveau de compréhension physique. Les très mauvaises copies sont relativement rares, mais la rigueur des raisonnements reste fréquemment problématique, certains candidats se contentant d'un style télégraphique sanctionné par le jury.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Équation différentielle vectorielle mal écriteI.A
L'équation différentielle du mouvement est très souvent écrite en omettant le symbole de vecteur, ce qui la vide de tout sens.
« L’équation différentielle demandée est très souvent écrite en omettant le symbole de vecteur, ce qui la vide de tout sens »
2
Confusion entre dérivées spatiales et temporellesII.A
Sur la stabilité d'un système mécanique simple, les candidats confondent presque systématiquement dérivées spatiales et temporelles.
« Les étudiants confondent presque systématiquement dérivées spatiales et temporelles »
3
Invariance de la durée mal maîtriséeIII.A.1
De nombreux candidats proposent des relations violant l'invariance de la durée dans un changement de référentiel.
« des relations violant l’invariance de la durée dans un changement de référentiel »
4
Développements limités non menés à termeIII.A.5
Les développements limités nécessaires pour comparer les traitements classique et relativiste sont très rarement menés au premier ordre.
« Les développements limités de la question III.A.5 n’ont été que très rarement menés à terme »
5
Signe d'une grandeur positive mal géréIV
Le passage de la longueur d'onde à la fréquence dans la fonction de Planck introduit souvent un signe négatif pour une grandeur pourtant positive.
« se traduit très souvent par l’introduction d’un signe négatif pour une grandeur clairement positive »
Ce qui a été bien réussi
Les très mauvaises copies sont relativement rares.
Les bons candidats ont pu se démarquer en abordant les questions plus délicates du problème.
La loi de Wien abordée en III.B a été souvent correctement traitée.
Conseils du jury
Rédiger un minimum d'explications : une succession de relations mathématiques ne constitue jamais une démonstration.
Toujours utiliser un traitement vectoriel rigoureux, en particulier pour les équations différentielles.
Faire preuve de bon sens dans les applications numériques pour détecter une valeur aberrante.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Ce problème se propose d'établir quelques propriétés simples de l'Univers, telle qu'on les comprend actuellement, mais au moyen de modèles physiques simplifiés. À notre échelle, l'Univers est formé d'étoiles et de leurs planètes, regroupées en amas ou galaxies, ainsi que d'une certaine quantité de gaz interstellaire. Cependant, à plus vaste échelle, nous serons éventuellement amenés à traiter l'Univers comme un système fluide homogène.
Données :
Célérité de la lumière dans le vide
c = 3, 00 ⋅ 10^8 m.s^(− 1)
Constante de Boltzmann
k_B = 1, 38 ⋅ 10^(− 23) J.K^(− 1)
Constante de la gravitation universelle
𝒢 = 6, 67 ⋅ 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2)
Constante de Planck
h = 6, 63 ⋅ 10^(− 34) J.s
Durée d'une année
365,25 jours = 3, 16 ⋅ 10^7 s
Masse du Soleil
M = 1, 99 ⋅ 10^(30) kg
Rayon du Soleil
R = 6, 95 ⋅ 10^8 m
Les quatre parties et de nombreuses questions peuvent être abordées de manière très largement indépendante.
Partie I - Déviation de la lumière par les étoiles
Cette partie étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d'une particule par une étoile E, considérée comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de rayon R, de masse M et de centre O. La particule étudiée A est ponctuelle et de masse m. On considère le système formé de A et E comme isolé. Le référentiel d'étude ( K ) est galiléen.
Filière MP
I.A - Étude du système Σ formé de A et E
I.A.1) Définir le référentiel barycentrique du mouvement du système Σ relativement à (K); on le notera ( K^∗ ). Quelle propriété importante du référentiel ( K^∗ ) peut-on affirmer?
I.A.2) On notera O un point fixe de ( K ), G le centre d'inertie du système Σ; on notera r_G^(→−) = OG^(→−). On notera aussi r⃗ = EA^(→−) (voir figure). Les dérivées temporelles successives, prises dans le référentiel ( K ), de ces vecteurs sont notées:
Exprimer la vitesse et l'accélération de A relativement à ( K ) en fonction de v_G^(→−), v⃗, γ⃗ et des masses m et M.
I.A.3) Exprimer le moment cinétique σ_0^(→−) en O du système Σ relativement à ( K ) en fonction de r_G^(→−), v_G^(→−), r⃗, v⃗ de m_T = m + M et de la masse réduite μ définie par 1/μ = 1/m + 1/M.
Exprimer aussi l'énergie cinétique E_c du système Σ relativement à ( K ) en fonction de v_G^(→−), v⃗, m_T et μ.
I.A.4) Expliciter l'équation différentielle du second ordre qui régit l'évolution de r⃗. On notera r = ‖r⃗‖ et on supposera r > R.
I.A.5) En déduire la conservation du moment cinétique barycentrique σ^∗^(→−)du système. L'énergie cinétique barycentrique du système E_c^∗ se conserve-t-elle?
I.B - Trajectoires hyperboliques de la particule A
On se place dans toute la suite du problème dans le référentiel ( K^∗ ). On suppose que M»m.
I.B.1) Montrer dans ce cas que GA^(→−) ≈ r⃗ et que la vitesse de A dans le référentiel barycentrique est voisine de v⃗. Relier de même les constantes du mouvement barycentrique σ^∗^(→−) et E_c^∗ au moment cinétique et à l'énergie cinétique de A dans le référentiel ( K^∗ ).
I.B.2) On supposera r > R. Quelle est l'équation du mouvement de A ? Montrer que le mouvement de A est plan.
On appellera Gxy le plan du mouvement ; on repère la position de A dans le plan Gxy par ses coordonnées polaires r = GA et θ = (e_x^(→−) ⋅ r⃗). On notera e_r→, e_θ→ la base locale polaire correspondante (voir figure ci-contre).
I.B.3) On pose
σ^∗^(→−) ⋅ e_z→ = mC.
Expliciter C en fonction de r et θ˙ = dθ/dt, puis expliciter la dérivée dv⃗/dθ en fonction de 𝒢, M et C. En déduire que le vecteur e⃗ = αv⃗ − e_θ→ est, pour un choix que l'on précisera de la constante α, une constante du mouvement.
Expliquer pourquoi on ne perd pas de généralité dans l'étude du mouvement en posant e⃗ = ee_y→ avec e > 0.
I.B.4) À partir du résultat de la question précédente, exprimer v⃗ ⋅ e_θ→ en fonction de α, e et θ; en déduire l'équation de la trajectoire, qu'on écrira sous la forme p/r = 1 + ecosθ. Expliciter p en fonction de α et C, puis en fonction de C, 𝒢 et M.
À quelle condition, portant sur e, la trajectoire de A est-elle hyperbolique?
I.C - Étude de la trajectoire
On ne fait plus ici d'hypothèse particulière quant à la direction du vecteur e⃗ dans le plan Gxy du mouvement.
I.C.1) Lorsque la particule A est encore située à très grande distance de l'étoile E(x_A → − ∞, voir la figure ci-dessus), sa vitesse v_0^(→−) est colinéaire à Gx; elle a pour norme v_0. L'asymptote Δ à cette trajectoire incidente passe à la distance b de G. Exprimer C en fonction de b et v_0; préciser en particulier le signe de C.
I.C.2) Lorsque la particule A s'est largement éloignée de l'étoile E, sa trajectoire est à nouveau une droite Δ^′ parcourue à la vitesse constante v_1^(→−). Quelle est la norme de v_1^(→−) ?
I.C.3) Exprimer, pour t → − ∞ puis pour t → + ∞, le vecteur e⃗ projeté sur la base e_x^(→−), e_y→ en fonction de α, v_0 et de l'angle de déviation Φ entre les droites Δ et Δ^′.
En déduire une expression de tan(Φ/2) en fonction de v_0, C, 𝒢 et M.
I.C.4) Lors de son mouvement, la particule A passe à un certain instant à une distance minimale d du centre de l'étoile E. À partir par exemple de deux lois de conservation, déterminer une équation du second degré dont 1/d est solution. En déduire que :
d = (C^2)/(𝒢M + √(𝒢^2 M^2 + C^2 v_0^2)).
I.C.5) Quel est le sens de variation, pour v_0 fixé, de la fonction Φ(d) reliant l'angle de déviation et la distance minimale d'approche ? Commenter.
I.C.6) Lorsque cette distance minimale correspond à une trajectoire rasante (d = R), quelle est la valeur de la déviation Φ_0 ? On montrera que :
tan(Φ_0)/2 = (𝒢_M)/(v_0^2√(R(R + ρ)))
où l'on exprimera ρ en fonction de 𝒢, M, et v_0.
I.C.7) Déterminer numériquement ρ, appelé rayon de Schwarzschild, dans le cas du Soleil pour une particule de vitesse v_0 ≈ c.
I.D - Déviation de la lumière par le Soleil
La lumière est ici traitée comme un faisceau de photons, particules dont la masse m n'a pas besoin d'être précisée dans la suite (même si on sait aujourd'hui qu'elle est nulle), et qu'on traitera dans le cadre de la mécanique non relativiste (même si cette approximation n'est pas légitime). Ces photons seront considérés comme soumis, comme une particule matérielle ordinaire, à l'interaction gravitationnelle avec l'étoile.
On admettra que, pour les photons passant à proximité du Soleil, ρ < R (voir I.C.6).
I.D.1) Déterminer, en secondes d'arc, la déviation Φ_0 correspondant à un photon rasant le Soleil. On prendra v_0 = c.
I.D.2) Une expédition fut montée en mai 1919 pour observer cette déviation à l'occasion d'une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas très bonne, pas plus donc que la qualité des observations ; toutefois, des mesures ultérieures menées lors de diverses éclipses de 1922 à 1999 confirmèrent progressivement une valeur mesurée expérimentalement Φ_e = 1, 75^(′′).
Pourquoi la mesure doit-elle être menée lors d'une éclipse du Soleil ? Commenter la valeur de Φ_e.
I.E - Effets de lentille gravitationnelle
La présence d'un astre massif E sur le trajet d'un faisceau de lumière parallèle provoque une déviation des rayons lumineux formant ce faisceau. L'angle de déviation Φ dépend de la distance b entre le rayon étudié et l'astre E, sous la forme
Φ ≈ κ ⋅ (𝒞_M)/(c^2 b), où M est la masse de l'astre E.
I.E.1) Par analyse dimensionnelle, préciser l'unité de la grandeur constante κ.
I.E.2) Montrer que la déviation gravitationnelle de la lumière par l'astre E se comporte, pour un rayon passant à la distance b de l'astre E (cf. figure ci-contre), comme une lentille convergente dont on exprimera la
distance focale f^′ en fonction de b, κ, c, 𝒢 et M.
On considère un rayon lumineux rasant la surface du Soleil ; b est donc voisin du rayon R du Soleil.
I.E.3) Déterminer f^′ dans ces conditions ; on prendra κ = 2 SI et on exprimera le résultat en années-lumière (une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année).
I.E.4) L'observation des astres lointains et peu lumineux est parfois améliorée lorsque s'interpose, sur le trajet de la lumière entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait?
Partie II - Thermodynamique des étoiles et galaxies
II.A - Stabilité des systèmes simples
On étudie d'abord un système mécanique simple, à un seul degré de liberté, entièrement caractérisé par son énergie cinétique E_c = 1/2𝒱^2^2 où 𝒥 est une grandeur constante, positive. Toutes les actions mécaniques subies par ce système dérivent de son énergie potentielle E_p fonction du seul paramètre q : E_p = E_p(q).
II.A.1) Étudier l'existence de positions q_0 d'équilibre du système et étudier la stabilité d'un équilibre pour des petits mouvements autour de cet équilibre. Montrer que la condition d'équilibre stable s'exprime en fonction de deux dérivées de la fonction énergie potentielle E_p(q).
II.A.2) Expliquer brièvement pourquoi les conclusions de la question II.A. 1 sont inchangées, même si l'énergie cinétique du système se met sous la forme
E_c = 1/2𝒥(q)q˙^2, où 𝒥(q) > 0 est une fonction de q.
II.B - Instabilité des systèmes autogravitants
Nous admettrons ici qu'un système thermodynamique peut atteindre un équilibre stable si sa capacité thermique est positive. Le système Σ étudié ici est un système autogravitant (étoile, galaxie ou Univers considéré comme isolé), c'est-à-dire un système constitué de N particules dont l'interaction est seulement gravitationnelle. On notera E_c(t) son énergie cinétique et E_p(t) son énergie potentielle. On appelle viriel du système Σ la quantité définie par
𝒱 = ∑_(i = 1)^N F⃗_i ⋅ r⃗_i,
où F⃗_i désigne la force exercée sur la particule i, placée au point r⃗_i. On note aussi ⟨f⟩ la moyenne temporelle d'une grandeur variable au cours du temps f(t), définie comme la limite (si elle existe) :
⟨f⟩ = lim_(T → ∞)1/T∫_(t = 0)^T f(t)dt.
Sous certaines réserves qu'on supposera vérifiées, on peut montrer et on admettra que l'énergie cinétique moyenne du système est donnée par 2⟨E_c⟩ = − ⟨𝒱⟩.
II.B.1) La force exercée sur la particule i du système s'écrit
F⃗_i = ∑_(j ≠ i)F⃗_j → i où F⃗_(j → i) = − (𝒢_(m_i m_j))/(‖r⃗_i − r⃗_j‖^3)(r⃗_i − r⃗_j).
L'énergie potentielle d'interaction entre deux particules i et j peut s'écrire
E_p^(i, j) = − (𝒢_(m_i m_j))/(‖r⃗_i − r⃗_j‖).
Parmi les deux expressions (1) et (2) ci-dessous, choisir celle qui exprime l'énergie potentielle d'interaction du système autogravitant tout entier ; justifier.
II.B.2) Par application du principe des actions réciproques (ou principe de l'action et de la réaction), regrouper, dans la somme qui définit le viriel, les particules par paires. En déduire que l'énergie potentielle E_p(t) est liée très simplement au viriel 𝒱(t).
II.B.3) En déduire que l'énergie mécanique totale du système U vaut U = − ⟨E_c⟩.
II.B.4) On suppose que le centre d'inertie du système Σ est au repos dans le référentiel galiléen d'étude. Relier ⟨E_c⟩ à la température T du système Σ. En déduire que la capacité thermique isochore C_v d'un système autogravitant est négative, et qu'il est thermodynamiquement instable. Commenter.
II.B.5) Dans le cas du Soleil ou des autres étoiles en activité, qu'est-ce qui empêche leur effondrement?
Partie III - Effet Doppler et Loi de Hubble
Compte tenu de l'instabilité des systèmes autogravitants, et donc de l'Univers lui-même, nous allons chercher à caractériser l'évolution de ce système au cours du temps, c'est-àdire actuellement son expansion. La première évidence expérimentale acquise quant à cette expansion a été la loi de Hubble, dont la mise en évidence repose sur les propriétés de l'effet Doppler-Fizeau ou effet Doppler.
III.A - Effet Doppler
Considérons une onde monochromatique d'amplitude complexe a, se propageant dans la direction du vecteur unitaire u⃗, décrite dans le référentiel ( K ). Dans ce référentiel on note ( r⃗, t ) la position et l'instant du passage de l'onde avec la phase φ, a = a_0 exp(iφ) où φ = ωt − k⃗ ⋅ r⃗ avec k⃗ = ku⃗.
III.A.1) Dans un référentiel ( K^′ ) en translation par rapport à ( K ) à la vitesse V⃗ = Vu_x^(→−), indiquer la position r⃗^′ et l'instant t^′ du même passage, dans le cadre de la mécanique classique.
III.A.2) La phase φ doit avoir même valeur dans les deux référentiels ; en déduire les formules de l'effet Doppler classique, liant les caractéristiques ( ω, k⃗ ) et ( ω^′, k^′→ ) de l'onde dans ( K^′ ) et ( K ).
III.A.3) Relier les vitesses de phase et de groupe v_φ et v_g de l'onde a dans les deux référentiels. Commenter.
III.A.4) Expliquer pourquoi ces deux lois sont en fait incompatibles avec les lois de propagation des ondes électromagnétiques, déduites des équations de Maxwell.
III.A.5) Nous admettrons que, dans le cadre de la mécanique relativiste, la loi de transformation de la pulsation d'une onde électromagnétique ou lumineuse est: ω^′ = γω(1 − βu⃗ ⋅ u⃗_x) où β = V/c et γ = 1/√(1 − β^2), où on note c la célérité de la lumière dans le vide. En déduire la relation liant les longueurs d'onde λ et λ^′ de la lumière dans ( K ) et ( K^′ ). Que deviennent ces expressions de ω^′ et λ^′ si la vitesse V de changement de référentiel est faible devant celle de la lumière ? Comparer à l'effet Doppler-Fizeau classique étudié en III.A.2.
III.B - Loi de Hubble
Lorsqu'une onde électromagnétique est émise à la longueur d'onde λ, relativement au référentiel ( K ) de l'émetteur, cette même onde sera reçue par un récepteur fixe dans le référentiel ( K^′ ), mais qui s'éloigne longitudinalement de ( K ) à la vitesse V, avec une longueur d'onde λ^′ différente de λ. La relation qui lie λ et λ^′ est:
λ^′ = λ(1 + V/c).
On rappelle que le spectre de rayonnement d'une étoile de température de surface T, assimilé à une émission thermique, est donné par la loi de Planck qui donne la puissance rayonnée par unité de surface de l'étoile dP_u entre les longueurs d'onde λ et λ + dλ :
dP_u = (2πhc^2)/(λ^5)1/(exp((hc)/(λk_B T)) − 1)dλ
où h est la constante de Planck et k_B la constante de Boltzmann. On appelle λ_m la valeur de λ pour laquelle la fonction dP_u/dλ présente un maximum.
III.B.1) Donner une expression approchée de la relation liant λ_m, T, h, c et k_B. On pourra supposer que, au voisinage de ce maximum λ_m, exp(hc/kλ_m T)»1, avant de vérifier la validité de cette approximation.
III.B.2) Calculer λ_m pour une étoile de température de surface T = 6000 K. À quel domaine du spectre électromagnétique correspond λ_m ?
III.B.3) Expliquer brièvement pourquoi, compte tenu de la forme de la distribution de Planck au voisinage de son maximum, la mesure du déplacement de λ_m par effet Doppler ne constitue pas une méthode précise de mesure de la vitesse V de l'étoile émettrice par rapport au système solaire.
III.B.4) En vous basant sur les propriétés de l'absorption de la lumière par les atomes, montrer que la présence d'une couche d'atomes froids entourant une étoile permet de proposer une méthode plus précise de mesure de V.
L'astrophysicien américain Hubble a, le premier, appliqué cette méthode de façon systématique, montrant une relation linéaire entre la vitesse d'éloignement des galaxies et leur distance au système solaire : c'est la loi de Hubble. D'après celle-ci, une galaxie (ou une étoile) A située à la distance R(t) d'une origine arbitraire s'éloigne de ce point O avec une vitesse radiale V_o(A, t) = H(t)R(t), où la grandeur H(t), identique pour toutes les galaxies (ou étoiles), porte le nom de constante de Hubble. On peut aussi écrire vectoriellement la vitesse de la galaxie (ou étoile) A sous la forme V_o^(→−)(A, t) = H(t)OA^(→−).
III.B.5) Soit O^′ un point lié à une galaxie quelconque de l'Univers. Déterminer la vitesse V_(o^′)^(→−)(A, t) de la galaxie A par rapport à O^′. En déduire que la loi de Hubble est vérifiée avec une origine quelconque O^′, avec la même constante de Hubble H(t). Commenter.
III.B.6) Une étoile E émet un rayon lumineux vers le point O, avec OE = R(t); en admettant que H(t) et R(t) restent quasiment constantes au cours du laps de temps qui sépare le voyage d'un rayon lumineux depuis son étoile d'émission jusqu'à son point de réception, calculer la variation relative Δλ/λ de longueur d'onde due à l'effet Doppler entre émission et réception, en fonction de H(t), R(t) et c.
On dira qu'il y a dilatation commune de toutes les longueurs au cours de l'expansion, qu'il s'agisse de distances matérielles ou de longueurs caractéristiques, comme les longueurs d'onde.
Partie IV - Échelle de temps de l'expansion
IV.A - Refroidissement de l'Univers
IV.A.1) À tout instant t, l'Univers peut être considéré comme un émetteur thermique à la température T(t). On montre (Partie III), qu'au cours de l'évolution de l'Univers, la longueur d'onde d'un photon quelconque varie proportionnellement aux dimensions caractéristiques de l'Univers. En déduire qu'un Univers en expansion se refroidit.
La loi de Wien pour un émetteur thermique donne la longueur d'onde du maximum d'émission λ_m en fonction de la température T sous la forme λ_m T ≈ 3, 0 ⋅ 10^(− 3) m ⋅ K.
IV.A.2) Quelle est la température actuelle de l'Univers si la longueur d'onde du maximum de l'émission est égale à 1, 1 mm ? Dans quel domaine spectral se trouve ce maximum d'émission?
IV.B - Ère à dominante matérielle
Actuellement, l'énergie mécanique de l'Univers est essentiellement présente sous forme matérielle, énergie mécanique de particules en interaction gravitationnelle. Nous décrirons l'Univers comme un fluide homogène de masse volumique ρ(t), ayant la symétrie de révolution autour d'une étoile centrale O arbitraire. L'expansion de l'Univers est décrite par la loi de Hubble (voir III.B.4).
IV.B.1) Une étoile A de masse m se situe, à l'instant t, à la distance R(t) de O. Montrer que la masse M_R contenue à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon R(t) est constante au cours du temps.
Donner l'expression du champ de gravitation exercé sur l'étoile A, assimilée à un point matériel, en fonction de 𝒢, M_R et R(t). En déduire l'énergie potentielle E_p de A en fonction de 𝒢, m, M_R et R(t) puis en fonction de 𝒢, m, R(t) et ρ(t). On choisira E_p = 0 si R(t) = 0.
IV.B.2) Déterminer l'énergie mécanique totale E de la même étoile, en fonction de m, R, ρ, 𝒢 et de la constante de Hubble H(t).
IV.B.3) Montrer que le caractère ouvert ou fermé de l'Univers, c'est-à-dire la possibilité pour les étoiles de s'éloigner indéfiniment les unes des autres, dépend seulement de la valeur de ρ(t) relativement à une valeur critique ρ_c qu'on exprimera en fonction de H(t) et 𝒢.
IV.B.4) H vaut actuellement 15 km ⋅ s^(− 1) par million d'années-lumière (une an-née-lumière est la distance parcourue par la lumière à la vitesse c pendant une année). Calculer la valeur actuelle de ρ_c.
IV.B.5) En exprimant la conservation de la masse, montrer que ρ(t) varie proportionnellement à R^n(t) et préciser l'entier n.
IV.C - Ère à dominante radiative
Dans les premiers temps de l'Univers, l'essentiel de l'énergie de celui-ci était présent sous forme de rayonnement électromagnétique ; nous admettrons dans la suite que lors d'une telle période, on peut utiliser les résultats de la mécanique classique à condition de remplacer la densité volumique ρ(t) par le rapport ρ(t) = u(t)/c^2, où u(t) est la densité volumique d'énergie électromagnétique à l'instant t; il s'agit simplement d'une extension de la relation classique d'équivalence masse-énergie E = mc^2.
IV.C.1) Exprimer la puissance dP_u partant de l'unité de surface d'un émetteur thermique à la température T et dont la fréquence est située entre les valeurs v et v + dv, en fonction de h, c, k_B, T, v, dv et de la fonction f définie par
f(x) = (x^3)/(exp(x) − 1) où l'on a posé x = (hv)/(k_B T)
IV.C.2) On donne la valeur de l'intégrale.
∫_0^∞f(x)dx = (π^4)/(15).
En déduire la puissance P_u rayonnée, par unité de surface de l'émetteur thermique, sur l'ensemble du spectre électromagnétique, en fonction de T et de constantes universelles.
IV.C.3) En admettant que la densité volumique d'énergie électromagnétique u et la puissance rayonnée P_u vérifient la relation cu = 4P_u, montrer que ρ(t) est proportionnel à R^(− 4)(t); on pourra utiliser le résultat établi dans la partie III : les dimensions λ et R varient proportionnellement au cours du temps.
IV.D - L'âge de l'Univers
Selon l'ère étudiée (dominante radiative au début, matérielle ensuite), on écrira la masse volumique de l'Univers sous la forme ρ(t) = K_p R^p(t) où p vaut -4 au début de l'histoire de l'Univers et - 3 ensuite ; la constante K_p n'a évidemment pas la même valeur dans les deux cas. Dans les deux cas, on supposera que l'Univers est très proche de la situation critique décrite en IV.B.4, donc que la constante de Hubble H(t) s'écrit :
H(t) = √((8π𝒢ρ(t))/3).
IV.D.1) En utilisant la loi de Hubble, établir une équation différentielle pour R(t) en fonction de p, 𝒢 et K_p.
IV.D.2) Montrer que la durée séparant deux instants t_1 et t_2 est liée aux masses volumiques en ces deux instants, selon :
ρ = αT^4 où α = 1, 22 ⋅ 10^(− 32) kg ⋅ m^(− 3) ⋅ K^(− 4).
Calculer la durée nécessaire pour que l'Univers se refroidisse depuis sa température initiale ( T_i > 10^8 K ) jusqu'à 10^7 K puis jusqu'à 3000 K .
IV.D.4) En utilisant la relation établie en IV.D. 2 de manière approchée avec une valeur moyenne de p, évaluer l'âge de l'Univers. On prendra pour masse volumique actuelle de l'Univers la valeur ρ_c = 4, 5 ⋅ 10^(− 27) kg ⋅ m^(− 3).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Physique Centrale MP 2009 sur la cosmologie ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Physique Centrale MP 2009 sur la cosmologie ?
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Le sujet porte sur le problème à deux corps, la déviation gravitationnelle de la lumière, l'instabilité des systèmes autogravitants, l'effet Doppler-Fizeau, la loi de Hubble et le rayonnement du corps noir.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Physique Centrale MP 2009 sur la cosmologie ?
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Une équation différentielle vectorielle mal écrite, une confusion entre dérivées spatiales et temporelles, une invariance de la durée mal maîtrisée, et des développements limités non menés à terme.
Le sujet Physique Centrale MP 2009 sur la cosmologie est-il difficile ?
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Le rapport le qualifie de difficulté très raisonnable, ce qui a permis une bonne dispersion des notes.
Comment bien préparer l'épreuve Physique Centrale MP 2009 sur la cosmologie ?
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Le rapport conseille de rédiger de vraies explications plutôt qu'une succession de calculs, de soigner le traitement vectoriel, et de garder du bon sens dans les applications numériques.
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