Physique Centrale MP : gravitation, gravimétrie et géodésie spatiale
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Le sujet étudie le champ de pesanteur terrestre : ses généralités en mécanique, la forme de la Terre (géoïde et ellipsoïde de référence), puis différentes méthodes de mesure locale (pendule, interféromètre de Michelson) et globale (accéléromètre satellitaire) du champ de pesanteur.
1Partie I : attraction gravitationnelle et champ de pesanteur terrestreChamp de gravitation terrestre, référentiels galiléen, géocentrique et terrestre, expression du champ de pesanteur.
2Partie II : forme de la Terre, géoïde et ellipsoïde de référenceÉtude des forces s'exerçant sur une particule de fluide et détermination des coefficients de l'équation de l'ellipse.
3Partie III : mesure du champ de pesanteur et de ses variations localesPendule pesant et gravimètre à chute libre utilisant un interféromètre de Michelson.
4Partie IV : mesure du champ de gravitation terrestre et de ses variations globalesAccéléromètre satellitaire SUPERSTAR, condensateur plan et contrôle électronique de la position de la masse d'épreuve.
Accessible. Le rapport qualifie ce problème de longueur et de difficulté raisonnables, bien équilibré, et note que toutes les parties ont été abordées par les candidats sérieux, avec relativement peu de très mauvaises copies.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Théorème de Gauss énoncé sans phrase · Définitions de référentiel galiléen imprécises · Valeurs numériques du champ de pesanteur aberrantes
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Le sujet, raisonnable en longueur et en difficulté, a été abordé dans toutes ses parties par les candidats sérieux. Le jury regrette que de nombreux étudiants, malgré un réel effort de présentation, aient d'énormes difficultés à décrire ou expliquer un phénomène par une phrase claire et rigoureuse.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Théorème de Gauss énoncé sans phraseI.A.2
Le jury attendait une phrase complète pour énoncer le théorème de Gauss et a été surpris de voir le plus souvent une simple formule non expliquée, le mot flux étant très rarement évoqué.
2
Définitions de référentiel galiléen imprécises
Des propositions comme un référentiel galiléen en translation rectiligne et uniforme par rapport aux autres référentiels galiléens sont des propriétés des référentiels galiléens et non des définitions.
3
Valeurs numériques du champ de pesanteur aberrantes
Il est regrettable que des candidats trouvent des valeurs du champ de pesanteur allant de 10^-17 à 10^5 mètres par seconde carrée sans s'en inquiéter.
4
Force d'inertie d'entraînement remplacée à tortPartie II
La force due aux effets d'inertie d'entraînement est parfois remplacée par la poussée d'Archimède ou par la force due aux effets d'inertie de Coriolis.
5
Variation minimale du pendule mal calculéeIII.A
Le calcul de la période des petites oscillations est souvent bien mené, mais celui de la variation minimale que le pendule peut mettre en évidence a posé d'énormes difficultés.
Ce qui a été bien réussi
Le calcul de la période des petites oscillations d'un pendule est souvent mené de manière convenable.
Le condensateur plan est assez bien étudié, et les explications sur les forces s'exerçant sur le satellite sont en général convenables.
Les candidats astucieux ont résolu un certain nombre de questions plus faciles de la dernière partie.
Conseils du jury
Vérifier systématiquement la cohérence, l'homogénéité et l'ordre de grandeur des résultats avant de passer à la question suivante.
Justifier l'orientation d'un champ par les propriétés de symétrie plutôt que de l'affirmer sans démonstration.
Rédiger des explications par des phrases complètes, claires et rigoureuses plutôt que par de simples formules non commentées.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
La connaissance du champ de pesanteur terrestre est fort utile dans de multiples domaines scientifiques. Sa variabilité spatiale nous renseigne sur la constitution interne de notre planète, sa variabilité temporelle sur les mouvements verticaux de la surface de la Terre. Les domaines d'application sont nombreux : de la prospection archéologique et minière, à l'étude des marées terrestres et l'orbitographie satellitaire. Après quelques généralités sur la gravitation (I), nous nous intéresserons, dans ce problème, à la notion de géoïde (II) puis à différentes méthodes de mesures : les unes permettent une détermination locale du champ de pesanteur (III), l'autre qui, grâce aux satellites artificiels, apporte une solution à la mesure globale du champ gravitationnel terrestre (IV).
Ces quatre parties sont assez largement indépendantes. Les vecteurs sont représentés en gras. Le gal représente l'unité utilisée en géodésie et en géophysique pour exprimer l'accélération de la pesanteur : 1gal = 10^(− 2) m ⋅ s^(− 2).
Données numériques :
Constante de gravitation universelle
G = 6, 67 ⋅ 10^(− 11) N ⋅ m^2 ⋅ kg^(− 2)
Permittivité électrique du vide
ε_0 = 8, 85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1)
Masse de la Terre
M_T = 5, 98 ⋅ 10^(24) kg
Rayon de la Terre
R_T = 6, 38 ⋅ 10^3 km (quand on supposera la Terre sphérique)
Partie I - Attraction gravitationnelle et champ de pesanteur terrestre
I.A - Le champ de gravitation terrestre
I.A.1) Exprimer la force électrostatique F_(1/2)^e exercée par une charge ponctuelle q_1 sur une charge ponctuelle q_2 et faire un schéma précisant clairement les notations utilisées. En déduire le champ électrostatique E créé par une charge ponctuelle q.
I.A.2) Énoncer le théorème de Gauss de l'électrostatique.
Filière MP
I.A.3) Exprimer la force gravitationnelle F_(1/2)^g exercée par une masse ponctuelle m_1 sur une masse ponctuelle m_2. En déduire le champ gravitationnel G créé par une masse ponctuelle m.
I.A.4) Dresser un tableau présentant les analogies entre les grandeurs électrostatiques et les grandeurs gravitationnelles. En déduire le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel créé par une distribution de masses quelconques.
I.A.5) Application : dans un premier temps, on assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R_T et de masse M_T uniformément répartie dans tout le volume.
a) Déterminer le champ gravitationnel terrestre G_T en tout point M de l'espace et représenter graphiquement ‖G_T‖ en fonction de r = OM.
b) Calculer G_0 = ‖G_T‖ à la surface de la Terre.
En réalité la masse M_T n'est pas uniformément répartie. Dans un modèle plus élaboré dans lequel on suppose la symétrie sphérique conservée, les variations de ‖G_T‖ sont représentées sur la figure 1 avec R_1 = 3, 50 ⋅ 10^3 km.
c) Justifier que le champ gravitationnel à la surface de la Terre n'est pas modifié.
d) Justifier que dans ce modèle, on considère le noyau terrestre ( 0 < r < R_1 ) comme homogène. Calculer sa masse volumique moyenne.
e) Dans le manteau terrestre ( R_1 < r < R_T ), la masse volumique est-elle supposée fonction croissante ou décroissante de r ? Justifier.
I.B - Le champ de pesanteur terrestre
En première approximation, le poids mg d'un point matériel de masse m est la résultante de la force de gravitation exercée par la Terre et de la force d'inertie d'entraînement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.
I.B.1) Définir un référentiel galiléen. Définir les référentiels géocentrique et terrestre.
I.B.2) Expliquer à l'aide d'un schéma pourquoi le jour sidéral (période T de rotation propre de la Terre) diffère du jour solaire moyen T_0 = 24 h (durée entre deux passages successifs du Soleil au zénith).
Évaluer en minutes l'ordre de grandeur de T_0 − T.
Quel que soit le résultat trouvé précédemment, on prendra Ω = 7, 29 ⋅ 10^(− 5)rad ⋅ s^(− 1) comme vitesse angulaire de rotation du référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique.
I.B.3) Exprimer en un point M de latitude λ, le champ de pesanteur terrestre g = ‖g‖ à la surface de la Terre en fonction de G (constante de gravitation universelle), M_T, R_T, Ω et λ. On pourra faire toute approximation jugée utile.
I.B.4) Calculer les valeurs extrémales de g. Quelle erreur relative maximale commet-on si l'on confond champ de pesanteur terrestre et champ de gravitation terrestre?
I.B.5) Quelle devrait être la durée du jour sidéral pour qu'il existe des lieux de pesanteur nulle à la surface de la Terre?
Partie II - Forme de la Terre : géoïde et ellipsoïde de référence
Le géoïde terrestre est la surface équipotentielle du champ de pesanteur, choisie pour être voisine du niveau moyen des océans. Lorsque les scientifiques parlent de la forme de la Terre, c'est habituellement de la forme géométrique du géoïde dont il s'agit. En 1666, Cassini observe que Jupiter a une forme aplatie (rayon équatorial supérieur au rayon polaire). À tour de rôle, Hooke (1686-87), Newton (1687) et Huygens (1690) affirment que la Terre présente une forme ellipsoïdale aplatie aux pôles. En 1743, Clairaut propose que la Terre se comporte comme une masse fluide en équilibre dans le référentiel terrestre: c'est l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique aboutissant à une Terre ellipsoïdale (ellipsoïde de fluide idéal).
Nous adopterons ici un modèle simple pour trouver un ordre de grandeur de l'aplatissement de la Terre :
On considère que la déformation de la Terre est suffisamment faible pour que le champ de gravitation créé par la Terre soit le même que celui de la Terre sphérique et homogène calculé au début du problème.
La Terre se comporte comme un corps fluide homogène de masse volumique μ.
La Terre présentant la symétrie de révolution autour de son axe de rotation Oz, on travaillera dans le plan méridien (Oyz) (figure 2). En M(y, z), la pression est notée p(y, z). En O, la pression est notée p_0 et à la surface de la Terre, la pression est notée p_(atm).
Le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen.
II.A - On admettra que la résultante des forces de pression subies par une particule de fluide de volume dτ entourant M s'écrit : dF_p = − grad(p)dτ. Quelles sont les deux autres forces subies par cette particule de fluide dans le référentiel terrestre? On écrira les expressions de ces trois forces en fonction des paramètres du problème et on représentera ces forces sur la figure 2.
II.B - Montrer que
(∂p)/(∂y) = − K_1 y et (∂p)/(∂z) = − K_2 z,
où K_1 et K_2 sont des constantes positives qu'on exprimera en fonction de G, μ et Ω.
II.C - En déduire que la ligne isobare à la surface de la Terre dans le plan (Oyz) a pour équation
(y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1
où on exprimera les constantes positives b et c en fonction de p_0, p_(atm), K_1 et K_2 。
II.D - Le volume de l'ellipsoïde de demi grand axe b et demi petit axe c est 4/3πb^2 c.
Montrer que :
II.E - Après avoir évalué numériquement (R_T^3 Ω^2)/(GM_T), donner l'expression littérale de l'aplatissement
f = (b − c)/c
puis sa valeur numérique.
L'ellipsoïde de référence est l'ellipsoïde qui s'approche au plus près du géoïde ; ses paramètres actuels (référence GRS 80) sont :
Rayon équatorial : b = 6378, 137 km.
Aplatissement : f = 1/(298, 257)
II.F - Quelles sont les principales raisons de la différence entre l'aplatissement calculé précédemment et l'aplatissement réel?
En tout point de latitude λ de la surface de l'ellipsoïde de référence, le champ de pesanteur est donné par la formule qu'on utilisera par la suite pour les applications numériques utiles :
Partie III - Mesure du champ de pesanteur et de ses variations locales
La pesanteur présente des irrégularités plus modestes, simplement dues au fait que le sous-sol terrestre est hétérogène. Les distances caractéristiques de ces variations sont de l'ordre de la centaine de mètres et leurs mesures nécessitent un appareillage de grande précision. Nous proposons d'étudier dans cette partie deux types de gravimètres (du latin gravis = lourd, et du grec μετρεω = mesurer), l'un exploitant la mesure de la période de pendules, l'autre celle du temps de chute libre d'un corps.
On suppose, dans cette partie, que le référentiel terrestre est galiléen.
III.A - Le pendule pesant
On considère une tige homogène OA de longueur l, de masse m, mobile dans un plan vertical ( Oyz ). La liaison Ox est considérée parfaite. Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation Ox est J = 1/3ml^2. On prendra l = 5, 000 cm et m = 1, 000 g.
III.A.1) Exprimer la période T_0 des petites oscillations de ce pendule en fonction de l et g_0(λ) champ de pesanteur à la surface de la Terre à la latitude λ. La mesure de T_0 s'effectue avec une précision relative de 10^(− 4).
III.A.2) À la latitude λ = 45^∘, quelle est la variation minimale Δg_0 de g_0 que le pendule met en évidence?
III.A.3) Ce dispositif est-il suffisant pour mesurer les différences du champ de pesanteur entre l'équateur et les pôles?
III.B - Le gravimètre à chute libre
Le principe de détermination du champ de pesanteur terrestre consiste ici en la mesure d'intervalles de temps nécessaires à un corps tombant dans le vide pour parcourir une distance donnée. La grande précision de cette technique est obtenue par la mesure de distances par interférométrie et de temps par horloges atomiques.
III.B.1) Étude de l'interféromètre de Michelson
On considère l'interféromètre de Michelson dont les miroirs M_1 (de centre O_1 ) et M_2 (de centre O_2 ) sont perpendiculaires entre eux.
Une lame séparatrice L_S, de centre I, semiréfléchissante, sépare le faisceau incident en deux faisceaux de même intensité lumineuse. Cette lame est inclinée de 45^∘ par rapport à O_1 I et O_2 I. Une lame compensatrice L_C de même épaisseur et de même indice que la lame séparatrice est placée parallèlement à L_S. Une source étendue S éclaire le dispositif.
a) Quel est le rôle de la lame compensatrice ? Dans la suite, on considère que l'ensemble des
deux lames est équivalent à une lame semiréfléchissante infiniment mince. On éclaire le dispositif avec une lampe spectrale (par exemple une lampe à vapeur de mercure).
b) Comment réaliser une source quasi-monochromatique à partir de cette source?
On supposera par la suite la source monochromatique de longueur d'onde λ_0. Les miroirs sont positionnés de telle sorte que |O_1 I − O_2 I| = e ≠ 0.
c) Décrire la figure d'interférence. Où sont localisées les franges d'interférence?
d) Pour observer ces interférences sur un écran, on utilise une lentille convergente. Où doit-on placer l'écran? Justifier le choix d'une lentille de grande distance focale.
e) Un capteur d'intensité lumineuse est placé au foyer image de la lentille convergente L. Le miroir M_1 se déplace dans une direction parallèle à sa normale. Exprimer l'intensité lumineuse enregistrée par ce détecteur en fonction de e et de σ_0 = 1/λ_0.
III.B.2) Interférogramme en lumière blanche.
On remplace la source précédente par une source de lumière blanche. On modélise la répartition spectrale en intensité par une distribution rectangulaire (figure 4).
a) λ_2 = 1/σ_2 et λ_1 = 1/σ_1 représentent les longueurs d'onde limites du spectre visible. Donner les ordres de grandeurs de λ_2 et λ_1.
b) Montrer que le détecteur (toujours placé au foyer image de la lentille convergente L ) enregistre une intensité lumineuse
I = I_0[1 + V(e)cos(2πe(σ_1 + σ_2))]
où on exprimera V(e) en fonction de e et Δσ = σ_2 − σ_1.
c) Tracer V(e) et cos(2πe(σ_1 + σ_2)) sur le même graphe en respectant l'ordre de grandeur relatif de σ_1 + σ_2 et Δσ = σ_2 − σ_1.
Quand le miroir M_1 se déplace, le détecteur enregistre donc le signal ci-dessus (figure 5).
III.B.3) Le gravimètre absolu balistique.
Soient deux plans horizontaux distants de h. Un point matériel de masse m lancé verticalement vers le haut traverse chacun de ces plans deux fois (une fois en montant, une fois en descendant).
a) En notant Δt_(inf) (resp. Δt_(sup) ) l'intervalle de temps entre les deux traversées du plan inférieur (resp. du plan supérieur), montrer que l'accélération de pesanteur g supposée uniforme sur la hauteur de l'expérience s'exprime simplement en fonction de h, Δt_(inf) et Δt_(sup).
Pour mesurer h, Δt_(inf) et Δt_(sup) on utilise l'interféromètre de Michelson étudié précédemment en y apportant les modifications suivantes. Le miroir M_1 est remplacé par un coin de cube réfléchissant. Ce réflecteur ( C ) est composé de trois miroirs plans identiques formant les faces d'un trièdre rectangle (figure 6).
b) Montrer qu'un rayon lumineux incident est renvoyé dans la direction opposée après trois réflexions sur les trois faces du réflecteur. Quel intérêt présente ce réflecteur par rapport à un miroir plan?
Le miroir M_2 est remplacé par un ensemble de deux miroirs plans fixes M_3 (de centre O_3 ) et M_4 (de centre O_4 ) et une lame semiréfléchissante telle que |O_3 J − O_4 J| = d≫λ_2 (figure 7). Cette lame semi-réfléchissante sera considérée comme infiniment mince. Le réflecteur (C) est catapulté vers le haut à
l'instant t = 0. L'axe ( Iz ) est vertical.
c) Montrer que le détecteur enregistre alors quatre maxima d'intensité lumineuse (on notera t_1, t_2, t_3 et t_4 ces instants successifs). En déduire l'expression de l'intensité du champ de pesanteur au lieu de l'expérience en fonction de d et de ces instants.
d) Application numérique: une mesure donne t_4 − t_1 = 9, 7406 ms et t_3 − t_2 = 3, 6171 ms avec d = 100, 00μ m. En déduire la valeur de g sur le lieu de l'expérience.
e) Pourquoi avoir utilisé une source de lumière blanche plutôt qu'une source monochromatique?
f) Proposer un moyen de mesurer avec une grande précision la distance d.
III.B.4) Précision du gravimètre balistique.
L'expression du champ de pesanteur terrestre g_0(λ) est affinée en tenant compte de l'altitude h du point où on effectue la mesure. Dans la suite, on se placera à la latitude λ = 0.
a) Donner l'expression approchée du champ de gravitation terrestre à l'altitude h en fonction de ce champ à l'altitude nulle, de h et R_T. On ne tiendra pas compte de la présence d'un relief quelconque (correction à l'air libre).
b) Du fait de la topographie du terrain, on affine encore cette expression en considérant que le relief se présente sous forme d'une table d'épaisseur h et de masse volumique μ au voisinage de la station de mesure (correction de plateau). Déterminer le champ de gravité créé en tout point de l'espace par un plateau infini d'épaisseur h et de masse volumique μ.
c) Les géologues ont adopté l'expression semi-littérale suivante pour g :
où g_B est en milligal, h en mètre et μenkg ⋅ dm^(− 3). Vérifier l'adéquation numérique aux questions précédentes.
d) Le gravimètre balistique permet de déterminer la valeur de g_0 avec une précision relative de 10^(− 9). En utilisant la correction à l'air libre, à quelle élévation l correspond cette variation relative ?
e) Comment doit-on choisir d par rapport à l pour que l'hypothèse g uniforme soit satisfaite pour l'expérience?
Partie IV - Mesure du champ de gravitation terrestre et de ses variations globales : l'accéléromètre SUPERSTAR
Il s'agit d'un accéléromètre électrostatique de grande précision (plage de mesure variant entre 10^(− 6) ⋅ g et quelques 10^(− 8) ⋅ g ) utilisé dans le domaine spatial et développé par l'ONERA. Trois de ces accéléromètres sont actuellement en orbite dans des satellites ayant pour mission d'améliorer la connaissance du géoïde terrestre et notamment ses variations saisonnières. Le principe en est le suivant : une masse d'épreuve est maintenue en lévitation par des forces électrostatiques produites par des électrodes. On mesure la force nécessaire au maintien de la position de cette masse au centre de l'accéléromètre (lui-même placé au centre d'inertie du satellite) ; on connaît alors l'accélération du satellite et par mesure combinée de positionnement de celui-ci, on accède au champ de gravitation terrestre.
IV.A - Obtention de la lévitation électrostatique
IV.A.1) Nous modélisons un condensateur plan par deux plans conducteurs, parallèles, de surface S, distants de e (faible devant les dimensions caractéristiques de chaque plan), placés dans le vide et soumis à la différence de potentiel U.
a) Exprimer la densité volumique d'énergie électrostatique dans le condensateur en fonction de U, e et ε_0.
b) Exprimer l'énergie totale du condensateur. En déduire l'expression de sa capacité.
c) Application numérique : on donne S = 16 cm^2 et Figure 8 Ue = 60μ m. Calculer la capacité.
IV.A.2) Un condensateur plan est soumis à une d.d.p. constante U (figure 8 ). On admettra que cha-
que armature de surface S subit une force électrostatique dirigée vers l'espace inter-armatures et de norme
(σ^2)/(2ε_0)S
(où σ représente la densité surfacique de charge de l'armature chargée positivement). Donner les expressions vectorielles de ces forces en fonction de U, S, e et ε_0.
IV.A.3) Mise en pratique dans l'accéléromètre: la masse d'épreuve est un parallélépipède en alliage de titane, de dimension 4 × 4 × 1(cm), de masse m = 72 g et portée à un potentiel V_p. La suspension électrostatique est réalisée par l'intermédiaire de 6 canaux de commande (pour les 6 degrés de liberté de la masse) et d'asservissement agissant séparément selon les 3 axes de l'accéléromètre.
On constitue des paires d'électrodes, formant autant de condensateurs, en plaçant vis-à-vis des faces de la masse d'épreuve des plaques portées à des potentiels différents. Nous allons nous intéresser dans toute la suite de cette partie au contrôle et à la mesure de l'accélération selon une seule direction (figure 9).
a) En supposant la géométrie du système parfai-
tement symétrique, en appelant S la surface des électrodes en regard et e la distance qui les sépare, exprimer la résultante des forces électrostatiques F_(esx) s'exerçant sur la masse d'épreuve et colinéaires à l'axe x.
b) Dans le cas où V_2 = − V_1 = V, donner l'expression simplifiée de F_(esx) en fonction de V, V_p, S, e et ε_0.
IV.B - Accéléromètre et mesure de forces de surface
En dehors de toute phase de poussée, le satellite est soumis, en plus de la force de gravitation terrestre, à des forces dites de surface qui comportent principalement: la force de traînée aérodynamique, la pression de radiation solaire et la pression de radiation terrestre (due à l'albédo).
IV.B.1) Rappeler l'origine des deux dernières forces.
IV.B.2) Ces quatre forces sont représentées figure 10 (l'échelle de leurs intensités n'est pas respectée) pour différentes positions du satellite sur sa trajectoire. Identifier ces forces en vous justifiant.
On cherche à déterminer les tensions de type V à appliquer aux électrodes pour maintenir la masse d'épreuve immobile par rapport à l'accé-
léromètre. On rappelle que celui-ci est placé au centre d'inertie du satellite.
IV.B.3) En appelant respectivement a_S et G_T l'accélération du satellite dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen) et le champ de gravitation terrestre, exprimer la condition d'équilibre de la masse d'épreuve dans le référentiel lié au satellite.
IV.B.4) En appelant respectivement a_(Sx) et G_(Tx) les projections des grandeurs précédentes selon l'axe x, déterminer la tension V (appelée tension de suspension) à appliquer sur les électrodes placées selon cette direction, pour maintenir la masse d'épreuve à l'équilibre.
Le suivi de la position du satellite par le GPS (Global Positioning System) permet de déterminer a_(Sx) et donc de remonter à l'information G_(Tx). Au cours de son mouvement, le satellite subit des forces variables. La masse d'épreuve aurait donc tendance à s'écarter de sa position d'équilibre. L'objectif des 6 boucles d'asservissement est de déterminer à chaque instant les tensions à appliquer sur les différents jeux d'électrodes pour maintenir l'équilibre de la masse d'épreuve.
IV.C - Contrôle en position de la masse d'épreuve
Le détecteur de position utilisé dans le dispositif de contrôle est un détecteur capacitif.
On superpose au signal V_p utilisé précédemment et appliqué à la masse d'épreuve, une tension sinusoïdale V_d = V_(d0)cosωt. Les condensateurs (formés par la masse d'épreuve et les électrodes qui leur font face) de capacité C_1 et C_2 forment un pont grâce à un transformateur différentiel. Après démodulation synchrone, la sortie analogique est proportionnelle au déplacement x de la masse (voir figure 11). L'amplificateur opérationnel est considéré comme idéal.
IV.C.1) Exprimer ΔC = C_2 − C_1 pour un déplacement x de la masse d'épreuve. À quelle condition sur x la relation reliant ΔC à x est-elle linéaire? Quelle est cette relation? Cette condition sera supposée réalisée par la suite.
IV.C.2) On admettra que le circuit secondaire du transformateur différentiel se comporte comme une source de courant délivrant le courant i^′ = i_2 − i_1. Exprimer alors V_A en fonction de ΔC, C_f et V_d (on négligera les impédances des bobinages face à celle des condensateurs et on ne s'intéressera qu'à la partie variable de V_A ).
IV.C.3) Le démodulateur synchrone est composé d'un multiplieur analogique et d'un filtre passe-bas (figures 12 et 13).
Figure 12 : multiplieur
Figure 13 : démodulateur synchrone
Donner l'expression du signal s(t) en sortie du multiplieur.
À quelle condition sur la pulsation de coupure (notée ω_(PB) ) du filtre passe-bas, V_S est-il un signal continu? Exprimer dans ce cas V_S en fonction de ΔC, C_f, V_(d0) et k.
IV.C.4) Finalement on obtient une relation du type: V_s = − βx avec β > 0. Donner l'expression de β en fonction de k, S, C_f, e, ε_0 et V_(d0).
Questions fréquentes
3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique Centrale MP 2008 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique Centrale MP 2008 ?
+
Elle porte sur la gravitation, les référentiels galiléens, la mécanique en référentiel non galiléen, le pendule pesant, l'interférométrie de Michelson et l'étude d'un condensateur plan dans un accéléromètre satellitaire.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique Centrale MP 2008 ?
+
Un théorème de Gauss énoncé sans phrase explicative, des définitions imprécises du référentiel galiléen, des valeurs numériques du champ de pesanteur aberrantes, et une confusion entre force d'inertie d'entraînement et poussée d'Archimède.
Le sujet de physique Centrale MP 2008 est-il difficile ?
+
Non, le rapport le qualifie de longueur et de difficulté raisonnables, bien équilibré, et signale que toutes les parties ont été abordées par les candidats sérieux.
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