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Mines Physique 2 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Électrocinétique et conduction électrique
  • Effet Hall et forces de Lorentz
  • Modèle de Drude et collisions
  • Ondes électromagnétiques et magnétohydrodynamique
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Conduction électrique : effet Hall dans un semi-conducteur et conduction dans un plasma à basse fréquence
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Le sujet de physique 2 de la filière MP au concours Mines-Ponts 2011 étudie deux situations de conduction électrique en présence de champs magnétiques. La première partie porte sur la mesure de résistance et l'effet Hall dans un solide semi-conducteur, la seconde sur la conduction dans un plasma, jusqu'à l'étude des ondes magnétohydrodynamiques d'Alfvén.

  1. 1I.A. Mesure directe de la conductivitéDétermination de la résistance d'une plaque semi-conductrice à partir de mesures de différence de potentiel, avec application numérique.
  2. 2I.B. Effet HallÉtude du mouvement des porteurs de charge en présence d'un champ magnétique et détermination de la résistance transverse liée à l'effet Hall.
  3. 3II.A-B. Courant, vitesses et forces dans un plasmaModélisation à deux fluides (électrons et ions) d'un plasma et expression des forces exercées sur chaque espèce de particules.
  4. 4II.C. Modèle collisionnel pour le plasmaÉtude d'une collision entre un ion et un électron pour établir une expression de la force de frottement entre les deux fluides.
  5. 5II.D. Ondes magnétohydrodynamiques dans un plasmaÉtablissement de la loi d'Ohm généralisée puis étude de la propagation des ondes d'Alfvén dans un plasma très conducteur.

Difficulté moyenne. Le rapport signale des résultats hétérogènes selon les questions : certaines (Q1, Q6-7, Q18-19, Q22) sont bien réussies, d'autres (Q11, Q13, Q24-25) sont très rarement abordées ou mal traitées, pour un sujet jugé globalement de bonne tenue par le jury.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Oubli d'un facteur 2 · Confusion entre J indépendant de z et Jz nul · Approximation ARQP mal justifiée
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Le jury relève encore trop de copies mal présentées, avec un français et une orthographe qui laissent à désirer, et des commentaires souvent trop longs sans réelle valeur ajoutée. Sur le plan scientifique, il regrette des résultats inhomogènes et des réponses intuitives plutôt que rigoureuses, tout en se disant globalement satisfait de la tenue de l'épreuve et des candidats ayant correctement travaillé leur cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Oubli d'un facteur 2Q3

    L'erreur la plus commune à la question 3 est d'oublier un facteur 2 en ne prenant en compte qu'un seul fil au lieu de deux.

    « L’erreur la plus commune est l’oubli d’un facteur « 2 » due à la prise en compte d’un fil au lieu de 2. »
  2. 2
    Confusion entre J indépendant de z et Jz nulQ9

    De nombreux candidats confondent le fait que J soit indépendant de z avec l'annulation de sa composante selon z.

    « Beaucoup de confusions entre J indépendant de z et Jz=0. »
  3. 3
    Approximation ARQP mal justifiéeQ13

    Cette question classique, directement liée au cours, est mal traitée : les réponses correctes justifiant l'approximation des régimes quasi permanents sont peu nombreuses.

    « L’ARQP est mal justifiée. »
  4. 4
    Vocabulaire inapproprié pour la vitesse du centre de masseQ15

    La question 15 donne lieu à de nombreuses confusions et expressions inappropriées pour désigner la vitesse d'ensemble du plasma.

    « Citons « barycentre des vitesses ; vitesse du mobile réduit ; vitesse du centre de masses fictif ! »
  5. 5
    Confusion entre force et force volumiqueQ16

    Aux questions 16 et 17, de nombreuses copies confondent force et force volumique et commettent une erreur de signe sur la force volumique subie par un ion.

    « Confusions entre force et force volumique. Erreur de signe sur la force volumique subie par un ion. »
  6. 6
    Homogénéité de la vitesse d'Alfvén rarement vérifiéeQ24

    L'énoncé demandait explicitement de vérifier l'homogénéité de la vitesse d'Alfvén c_A, ce qui a été rarement fait correctement.

    « l’énoncé demandait de vérifier l’homogénéité de c A. Ce fut rarement fait correctement. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les réponses à la question 1, sur la mesure directe de résistance, sont très souvent correctes.
  • Les réponses aux questions 6 et 7, sur la loi d'Ohm et son extension en présence de champ magnétique, sont bonnes en général.
  • Les questions 18 et 19 ont donné lieu à beaucoup de bonnes réponses correctes, même si les justifications laissent parfois à désirer.
  • Le calcul en notation complexe de la question 22 est très correctement fait en général.

Conseils du jury

  • Toute équation littérale doit être homogène : vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats.
  • Toute application numérique doit être suivie de la bonne unité et comporter un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.
  • Un commentaire doit apporter une valeur ajoutée réelle, et non se limiter à une paraphrase du résultat.
  • Encadrer les résultats et faire apparaître clairement les numéros des questions traitées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP

(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

À PROPOS DE CONDUCTION ÉLECTRIQUE

Ce problème étudie deux situations de conduction électrique en présence, entre autres, de champs magnétiques : dans un solide semi-conducteur(partie I) et dans un fluide conducteur (partie II). Ces deux parties sont complètement indépendantes; dans chacune de ces deux parties, de nombreuses questions peuvent aussi être abordées de manière indépendante, sous réserve éventuellement d'admettre certains résultats fournis par l'énoncé.
Les vecteurs sont notés en caractères gras : r, j. Les vecteurs e_x, e_z, etc... désignent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oz, etc. . . Un certain nombre de formules d'analyse vectorielle sont rappelées en fin d'énoncé.

I. - Conduction dans un solide semi-conducteur

Les mesures de conductivité et d'effet Hall jouent un rôle important dans l'étude théorique des milieux semi-conducteurs. Ces mesures sont en général menées sur des échantillons plans dont l'épaisseur constante ε est faible devant les autres longueurs intervenant dans le problème. Le matériau considéré est un conducteur de conductivité γ, comportant des porteurs de charge mobiles de charge q en densité particulaire (nombre de particules par unité de volume) n. On notera ℛ = 1/nq la constante de Hall du matériau. L'ensemble de l'étude est menée en régime permanent. En l'absence de tout champ magnétique, la loi d'Ohm j = γE caractérise le matériau étudié.

I.A. - Mesure directe de la conductivité

Le courant électrique i est amené en un point A du matériau par un fil, perpendiculaire à la plaque, confondu avec l'axe (Az). Ce fil est relié au matériau par une électrode cylindrique de faible rayon. Ce courant électrique repart par un fil de même nature et fixé de la même manière au point D; l'ensemble est représenté sur la figure 1 .
Fig. 1 - Mesure directe de résistance d'une plaque mince conductrice
◻1 - On considère tout d'abord une situation simplifiée, à symétrie cylindrique, dans laquelle on supprime le contact de départ en D. Le courant arrivant en A se répartit donc dans l'ensemble du matériau avec la symétrie de révolution d'axe (Az) : la densité volumique de courant j en un point M s'y écrit j(M) = j(r)e_r, où r désigne la distance de M à l'axe ( Az ) et e_r le vecteur unitaire radial de cet axe. Exprimer j(r) en fonction de r, ε et i. On considère deux points M_1 et M_2 de la plaque et on note r_1 = AM_1 et r_2 = AM_2. Déterminer la différence de potentiel V(M_1) − V(M_2) en fonction de i, ε, γ et du quotient r_2/r_1.
◻2 - On remet en place le contact de départ du courant en D. En procédant par superposition de deux situations analogues à celle de la question 1 , déterminer la nouvelle expression de V(M_1) V(M_2) en fonction de i, ε, γ, r_1, r_2, r_1^′ = DM_1 et r_2^′ = DM_2. Que vaut cette différence de potentiel si M_1 et M_2 sont sur la médiatrice du segment AD ? Commenter ce résultat.
◻3 - On note ℓ = AD et a le rayon des électrodes cylindriques de contact électrique en A et D; ces électrodes sont formées d'un matériau métallique très bon conducteur électrique et sont donc considérées comme équipotentielles, de potentiels respectifs V_A et V_D. Montrer que si ℓ/a≫1 la résistance électrique de la plaque s'écrit sous la forme R ≃ R_0 ln(ℓ/a), où l'on exprimera R_0 en fonction de γ et ε.
-4—Application numérique: l'épaisseur de la plaque de semi-conducteur est ε = 1, 0 mm. On réalise le dispositif de la figure 1 avec ℓ = 2 cm et a = 0, 5 mm. La conductivité du matériau (silicium dopé) est γ = 2, 2 × 10^4 S ⋅ m^(− 1). Calculer R, commenter la valeur numérique ; la mesure de R est-elle facile?
Pour limiter les erreurs dans les mesures de tension on utilise la géométrie de van der Pauw qui élimine l'influence du diamètre des électrodes. Sur la figure 2, les électrodes A et D sont utilisées pour l'arrivée et le départ du courant, et les électrodes P et Q pour la mesure de
Fig. 2 - Géométrie de van der Pauw : les points A, P, Q et D forment dans cet ordre un carré.
différence de potentiel u = V(P) − V(Q). On définit enfin la résistance parallèle R_(//) = u/i.
◻5 - Déterminer R_(//)en fonction de γ et ε.

I.B. - Effet Hall

La plaque infinie de la figure 1 est maintenant soumise au champ magnétostatique uniforme B = Be_z, perpendiculaire à la plaque. Celle-ci étant très mince, le vecteur j reste contenu dans le plan formé par la plaque, on a donc j_z = j ⋅ e_z = 0 et les deux autres composantes de j qui ne dépendent que de r et θ. On peut ainsi écrire j = j_r(r, θ)e_r + j_θ(r, θ)e_θ. Dans le cadre du modèle de Drude, on considère que les porteurs mobiles de charge q, de masse m et de vitesse v associés au courant j sont soumis à une force de frottement visqueux de la forme F = − fv. Certains aspects de cette force seront développés dans la partie II.
  • 6 - En l'absence de tout champ magnétique, écrire l'équation du mouvement d'un porteur de charge associé au courant j. Montrer alors qu'en régime permanent, il existe une relation linéaire entre j et E. Comment s'appelle le coefficient de proportionnalité ?
    ◻7 - En présence du champ magnétique B que devient l'équation du mouvement? Par analogie avec la question précédente déterminer, en régime permanent, la relation entre j, E et B mettant en jeu la conductivité γ et la constante de Hall ℛ.
    On cherche à montrer que la présence du champ magnétique B ne modifie pas, compte tenu des conditions aux limites, l'allure des lignes de courant et en particulier que la plaque reste localement neutre, c'est-à-dire que la densité volumique de charge ρ est partout nulle.
    ◻8 - Déterminer en régime permanent la valeur de divj.
    ◻9 - Déterminer, toujours en régime permanent, l'expression de rot(j ∧ B).
    ◻10 - En utilisant les résultats des questions 7, 8 et 9 ainsi que deux équations de Maxwell montrer qu'en régime permanent la plaque reste en tout point localement neutre.
On considère maintenant la géométrie de la figure 3, on mesure la différence de potentiel u = V(P) − V(Q) et on définit dans cette géométrie la résistance R_⊥ = u/i.
◻11 - Exprimer la différence de potentiel u = V(P) − V(Q) en fonction de E, puis de E_y = E ⋅ e_y. En déduire l'expression de la résistance R_⊥ en fonction de ℛ, B et ε.
◻12 - À quoi peut servir dans la pratique une telle mesure
Fig. 3 - Géométrie de van der Pauw : les points A, P, D et Q forment dans cet ordre un carré.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Conduction dans un plasma à basse fréquence

Le plasma étudié ici est un fluide formé de deux types de particules : des électrons, de masse m_e et de charge q_e = − e, en densité particulaire (nombre de particules par unité de volume) uniforme n_0 et des ions, de masse m_p et de charge q_p = + e, en même densité n_0. L'ensemble est soumis au champ électromagnétique E, B en régime variable; on notera, dans le référentiel d'étude, v_e et v_p les vitesses des électrons et des ions en un point donné du plasma. La densité volumique de courant résultant des mouvements des particules est notée j. Le plasma étant partout localement neutre, on aura div j = 0.

II.A. - Courant électrique dans le plasma

13-Dans quelles conditions peut-on faire l'approximation rotB = μ_0 j ? Quel est le nom de cette approximation? On conservera cette approximation dans toute la suite.

II.B. - Vitesses, courant et forces

◻14 - Proposer un minorant (numérique) du rapport m_p/m_e.
◻15 - Quelle est la signification physique de la grandeur V définie par (m_p + m_e)V = m_p v_p + m_e v_e ? Exprimer les vitesses v_p et v_e en fonction de V, de la densité volumique de courant j et de n_0 et e; simplifier ces expressions compte tenu du fait que m_p≫m_e. On conservera cette approximation dans toute la suite.
On considère un élément de volume dθ du plasma dans lequel se trouve dN = n_0 dθ ions et autant d'électrons; on cherche à exprimer les forces dF_p et dF_e respectivement exercées sur ces ions et ces électrons, en négligeant toute force de pression. Les particules ne sont donc soumises qu'aux forces électromagnétiques et aux effets des collisions. Compte-tenu du rapport de masse l'effet des collisions est modélisé uniquement par une force f_v exercée par unité de volume par les ions sur les électrons.
◻16 - Exprimer dF_e en fonction de dθ, n_0, e, E, B, j, V et f_v.
◻17 - Exprimer dF_p en fonction des mêmes grandeurs. En déduire l'expression de dF = dF_p + dF_e, force totale subie par l'élément de volume dθ du plasma. Quel est le nom de cette force?

II.C. - Modèle collisionnel pour le plasma

Pour décrire la force exercée par les ions sur les électrons, on considère une interaction de deux particules de masses m_p et m_e qui, à l'instant initial, se dirigent l'une vers l'autre avec les vitesses v_p = v_p e_x et v_e = − v_e e_x(v_p > 0 et v_e > 0); le système est considéré comme isolé et on néglige l'énergie potentielle d'interaction dans l'état initial, les deux particules étant supposées très éloignées l'une de l'autre (cf. fig. 4). Au cours de l'interaction de ces particules, que l'on n'étudiera pas en détail, les vitesses restent toutes colinéaires à l'axe ( Ox ). Au bout d'une durée suffisante, l'interaction est terminée ; les vitesses restent dès lors constamment égales à v_p^′ = − w_p e_x et v_e^′ = w_e e_x, avec w_p > 0 et w_e > 0 si les deux particules repartent, après l'interaction, en sens inverse de leur mouvement initial.
FIG. 4 - Interaction de deux particules formant un système isolé
18 - En appliquant deux lois de la mécanique au système des deux particules, déduire deux équations reliant w_p, w_e, v_p, v_e, m_p et m_e. En déduire la relation v_p + v_e = w_p + w_e.
◻19 - En utilisant les diverses expressions obtenues, montrer que m_e(v_e^′ − v_e) = − αμ(v_e − v_p), où μ = m_e m_p/(m_e + m_p) est la masse réduite du système à deux corps formé par les ions et les électrons. Le facteur numérique α que l'on déterminera dans cette expression est lié au modèle géométrique très simple adopté ici : vitesses des particules colinéaires pendant toute l'interaction. Dans un modèle plus complet, on obtiendrai un autre facteur de l'ordre de α/2.
◻20 - On revient maintenant au modèle des deux fluides d'électrons et d'ions; on rappelle que f_v désigne la force exercée par unité de volume par les ions sur les électrons du fait des collisions. On note τ la durée moyenne d'une collision. Justifier, qualitativement, l'expression
f_v = − (n_0 m_e)/τ(v_e − v_p)
  • 21 - Pour les mouvements à suffisamment basse fréquence, on peut négliger l'accélération des électrons dans le plasma. Déduire des questions 16 et 20 la forme généralisée de la loi d'Ohm dans un tel plasma,
j = γ[E + V ∧ B − 1/(n_0 e)j ∧ B]
où on exprimera γ en fonction de n_0, e, τ et m_e.

II.D. - Ondes magnétohydrodynamiques dans un plasma

Le couplage entre le mouvement des particules chargées dans un fluide et le champ électromagnétique régnant dans ce dernier peut, dans certaines conditions, aboutir à la propagation d'ondes dites magnétohydrodynamiques. De telles ondes ont été étudiées pour la première fois par le physicien suédois Hannes Alfvén en 1942, elles sont fondamentales pour l'étude des plasmas astrophysiques tels que ceux qui entourent les étoiles. Pour cette découverte et les découvertes conséquentes, Alfvén obtint le prix Nobel en 1970.
Le plasma étudié ici sera considéré comme très bon conducteur ( n_0 → ∞ donc γ → ∞ ) de sorte qu'on peut y écrire (cf. question 21) E = − V ∧ B. Dans ce contexte, l'équation simplifiée de la dynamique dans une unité de volume du plasma s'écrit
ρ_m(∂V)/(∂t) = j ∧ B avec ρ_m = n_0 m_p
On étudie un mode particulier d'oscillations du plasma dans lequel B = B_0 e_z + b(z, t), où B_0 est un champ statique intense et b(z, t) une onde de faible amplitude, ‖b‖≪B_0, qu'on décrira en notation complexe comme une onde plane progressive et monochromatique, b = b_0 exp[ι(ωt − kz)] où ι^2 = − 1 et ω > 0
22 - Montrer que b_0 ⋅ e_z = 0. Exprimer, en notation complexe, la densité volumique de courant j en fonction de b, k et de la perméabilité du vide μ_0.
23 - En se limitant aux termes du premier ordre en b_0, montrer que la vitesse d'ensemble V du plasma est aussi une onde plane, V = V_0 exp[ι(ωt − kz)] où V_0 = − (B_0 k)/(ωμ_0 n_0 m_p)b_0.
  • 24 - En écrivant l'équation de Maxwell-Faraday montrer que les ondes étudiées se propagent sans dispersion à la célérité c_A (vitesse d'Alfvén) que l'on exprimera en fonction de B_0, μ_0 et de la masse volumique ρ_m du plasma. Vérifier l'homogénéité de la relation donnant c_A.
    ◻25 - Le plasma étudié est du mercure liquide ( ρ_m = 1, 4 × 10^4 kg ⋅ m^(− 3) ) dans un champ magnétique B_0 = 0, 5 T. On rappelle que μ_0 = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1); calculer c_A; commenter.

FIN DE LA PARTIE II

Petit formulaire d'analyse vectorielle
(u ∧ v) ∧ w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u; rot(u ∧ v) = udiv(v) − (u ⋅ grad)v − vdiv(u) + (v ⋅ grad)u; div(u ∧ v) = v ⋅ rot(u) − u ⋅ rot(v)
En coordonnées cylindriques dans la base locale ( e_r, e_θ, e_z ), pour un champ scalaire f et pour un vecteur u = u_r e_r + u_θ e_θ + u_z e_z on indique les relations suivantes :
grad(f) = (∂f)/(∂r)e_r + 1/r(∂f)/(∂θ)e_θ + (∂f)/(∂z)e_z div(u) = 1/r[∂/(∂r)(ru_r) + (∂u_θ)/(∂θ)] + (∂u_z)/(∂z); rot(u) = [1/r(∂u_z)/(∂θ) − (∂u_θ)/(∂z)]e_r + [(∂u_r)/(∂z) − (∂u_z)/(∂r)]e_θ + 1/r[∂/(∂r)(ru_θ) − (∂u_r)/(∂θ)]e_z; u ⋅ grad = u_r∂/(∂r) + (u_θ)/r∂/(∂θ) + u_z∂/(∂z)

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines-Ponts 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines-Ponts 2011 ?

Le sujet porte sur la conduction électrique : effet Hall et mesure de résistance dans un semi-conducteur en première partie, puis conduction et ondes magnétohydrodynamiques dans un plasma en seconde partie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de physique 2 MP 2011 ?

Le jury relève un oubli fréquent de facteur 2 dans un calcul de résistance, une confusion entre J indépendant de z et Jz nul, une justification insuffisante de l'ARQP et une vérification d'homogénéité souvent omise pour la vitesse d'Alfvén.

Ce sujet de physique 2 MP 2011 est-il difficile ?

Le niveau est hétérogène selon le rapport : plusieurs questions de la première partie sont bien réussies, tandis que des questions de la seconde partie, notamment sur le modèle collisionnel et les ondes d'Alfvén, sont peu abordées ou mal traitées.

Le sujet de physique 2 MP 2011 nécessite-t-il des connaissances sur les plasmas ?

Oui, la seconde partie du sujet étudie la conduction dans un plasma à basse fréquence et aboutit à l'étude des ondes magnétohydrodynamiques d'Alfvén, à partir d'un modèle à deux fluides d'électrons et d'ions.

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