X ENS Physique MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS D'ADMISSION 2011
filière MP

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

L'imagerie par résonance magnétique (ou IRM) est une technique utilisée par les radiologues pour visualiser les tissus mous du corps humain. Elle permet en particulier de localiser précisément les cancers. Cette technique utilise un champ magnétique intense pour orienter les moments magnétiques des protons des molécules d'eau, et un champ magnétique oscillant pour en perturber l'orientation.

Ce problème expose le principe physique de l'IRM, et certains aspects de sa mise en œuvre pratique.

On utilise un solénoїde d'axe Oz, parcouru par un courant continu, pour produire un champ magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe Oz, dont on note ( r, θ, z ) les coordonnées et ( O, e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ) le repère orthonormé direct.
I. 1 On suppose que tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Quelles conditions la densité de courant j⃗(j_r, j_θ, j_z) doit-elle vérifier pour cela?
I. 2 Quelles conditions en résultent pour le champ magnétique B⃗(B_r, B_θ, B_z) ?
I. 3 On suppose que j_θ est uniforme à l'intérieur d'un cylindre de révolution creux de rayon extérieur R_2, de rayon intérieur R_1 < R_2, et de longueur L très grande devant R_2. Quelle est la particularité du champ magnétique créé par un tel solénoïde ? Donner l'expression de sa valeur B_0 au centre.
I. 4 La conductivité ohmique du matériau, notée σ, est supposée uniforme. Donner l'expression de la puissance dissipée dans le solénoїde par effet Joule.
I. 5B_0, L et R_2 étant fixés, comment faut-il choisir R_1 pour minimiser la puissance dissipée?
I. 6 On considère un solénoїde de cuivre de longueur L = 1 m délivrant un champ B_0 = 1, 3 T. Calculer une borne inférieure de la puissance dissipée. Comparer à la puissance d'un radiateur électrique ordinaire.
I. 7B_0 étant fixé, comment choisir R_2 pour minimiser l'élévation de température du solénoїde due à l'effet Joule? Commenter.
I. 8 On réalise la bobine en enroulant un fil électrique autour d'un cylindre de rayon R_1. Expliquer pourquoi la propriété de symétrie de la question I. 1 ne peut pas être exacte. Comment réaliser le bobinage en pratique pour qu'elle soit une bonne approximation?
I. 9 Tracer, sans calcul, l'allure de la variation du champ magnétique sur l'axe Oz lorsque R_2 et L sont du même ordre de grandeur. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour que le champ sur l'axe soit uniforme au voisinage du centre? On se contentera d'une réponse qualitative et d'un croquis.
I.10 On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur l'axe soit quasiment uniforme dans un intervalle autour du centre de la bobine. Montrer que le champ est alors également uniforme au voisinage de l'axe.

Pour s'affranchir de l'effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux supraconducteurs, qui ont la propriété de pouvoir transporter un courant sans dissipation au-dessous d'une température critique T_c.
II. 1 On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les électrons de conduction (de charge − e et de masse m_e ), initialement au repos, sont mis en mouvement sous l'action d'un champ électrique E⃗, supposé uniforme et constant. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron.
II. 2 On note n la densité volumique d'électrons, supposée uniforme. Déduire de la question précédente une relation simple entre ∂j⃗/∂t et E⃗.
II. 3 On suppose que la relation obtenue à la question II. 2 reste valable même si le champ n'est ni uniforme ni constant, et on se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires. En utilisant les équations de Maxwell, montrer que le champ magnétique vérifie l'équation

où λ est une longueur dont on donnera l'expression.
II. 4 Calculer λ pour une densité d'électrons de conduction n = 10^(28) m^(− 3).
II. 5 Lorsqu'on plonge un supraconducteur dans un champ magnétique extérieur, il expulse ce champ. Cette propriété, qui porte le nom d'effet Meissner, est représentée sur la figure 1.

Pour expliquer l'effet Meissner, on postule une relation plus forte que l'équation (1):

On considère un supraconducteur occupant le demi-espace x > 0 dans un système de coordonnées cartésiennes de repère orthonormé direct ( O, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ). On suppose que le champ à l'extérieur du supraconducteur (x < 0) est uniforme et vaut B_0 e⃗_z, et on admet que B⃗ ne dépend que de x. Calculer le champ magnétique pour x > 0 en fonction de B_0, x et λ. En quoi ce modèle explique-t-il l'effet Meissner?
II. 6 Déterminer la densité de courant j⃗(x) à l'intérieur du supraconducteur.

III. 1 Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque μ⃗, dont la norme μ est constante, mais la direction peut varier. L'imagerie par résonance magnétique utilise l'interaction des protons des atomes d'hydrogène de l'eau avec un champ magnétique. Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction, notée U, d'un proton (assimilé à un dipôle magnétique) avec un champ magnétique uniforme et constant B⃗_0 = B_0 e⃗_z.

Application numérique : on donne B_0 = 1, 5 T. Calculer les valeurs maximale et minimale de U.
III. 2 Un échantillon étudié par IRM contient un grand nombre de protons dont les moments magnétiques pointent dans des directions différentes et aléatoires. On admet qu'à l'équilibre thermodynamique, la probabilité pour que la direction d'un moment donné μ⃗ soit dans l'angle solide élémentaire d ^2 Ω autour d'une direction donnée vaut

où T est la température absolue et Z = ∬exp(− U/(k_B T))d^2 Ω, l'intégrale portant sur toutes les directions spatiales. Comment s'appelle cette loi? Dans quel contexte l'avez-vous rencontrée? Quelle est la direction de μ⃗ la plus probable?
III. 3 Exprimer l'énergie potentielle U et l'angle solide élémentaire d ^2 Ω dans un système de coordonnées sphériques d'axe polaire Oz.
III. 4 On suppose dorénavant que |U| est très petit devant k_B T. Est-ce une bonne approximation à température ambiante avec le champ magnétique de la question III.1?
III. 5 On appelle aimantation d'un échantillon contenant N protons la somme de leurs moments magnétiques, notée M⃗. Expliquer pourquoi, lorsque N≫1, l'aimantation vaut approximativement M⃗ ≃ N⟨μ⃗⟩, où ⟨μ⃗⟩ désigne la valeur moyenne de μ⃗ avec la loi de probabilité (3).
III. 6 Développer la loi de probabilité (3) à l'ordre 1 en U/(k_B T). Calculer la valeur moyenne de μ⃗ dans cette approximation, et en déduire que l'aimantation vérifie la loi de Curie :

où C est une constante qu'on exprimera en fonction de N, μ et k_B.
III. 7 Rappeler l'expression du couple exercé par le champ magnétique B⃗_0 sur le dipôle magnétique de moment magnétique μ⃗.
III. 8 Un proton de vitesse nulle est animé d'un mouvement de rotation propre. Ce mouvement lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin et noté S⃗, de norme constante S = ℏ/2, où ℏ est la constante de Planck réduite. On admet que les vecteurs S⃗ et μ⃗ sont proportionnels : μ⃗ = γS⃗, avec γ = μ/S. Montrer que μ⃗ est animé d'un mouvement de précession de vitesse angulaire ω⃗_0 = ω_0 e⃗_z, et donner l'expression de ω_0, dite pulsation de Larmor, en fonction de B_0 et γ. Calculer ω_0 pour B_0 = 1, 5 T.
III. 9 Soit un proton de vitesse initiale v⃗_0 perpendiculaire à B⃗_0. Rappeler l'expression de la vitesse angulaire de sa trajectoire dans le champ B⃗_0 (pulsation cyclotron), et comparer sa valeur à celle de la pulsation de Larmor.

L'imagerie par résonance magnétique utilise d'une part un champ uniforme et constant B⃗_0, qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz, et d'autre part un champ dépendant du temps B⃗_1(t), avec |B⃗_1|≪|B⃗_0|.
IV. 1 On place dans le champ un échantillon contenant N protons, avec N≫1. On assimile chacun de ces protons à un dipôle magnétique soumis au couple exercé par le champ magnétique total B⃗_0 + B⃗_1(t). Ecrire l'équation du mouvement de l'aimantation M⃗(t) sous la forme

et définir le vecteur rotation ω⃗_1(t) en fonction de B⃗_1(t).
IV. 2 Le champ auxiliaire B⃗_1(t) est un champ tournant autour de B⃗_0 et perpendiculaire à celuici. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien R = (O, e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z), ses coordonnées sont ( B_1 cos(ωt), B_1 sin(ωt), 0 ). On définit le repère R^′ = (O, u⃗_X(t), u⃗_Y(t), u⃗_Z(t)) tournant à la vitesse angulaire ω autour de l'axe Oz et coïncidant avec R à t = 0, de telle sorte que B⃗_1(t) = B_1 u⃗_X(t). Ecrire l'équation du mouvement de M⃗ dans R^′.
IV. 3 On suppose dans toute cette partie que l'aimantation à t = 0 est la valeur d'équilibre déterminée à la question III.6, M⃗_0 = CB⃗_0/T. Expliquer pourquoi les composantes de l'aimantation perpendiculaires à Oz sont petites pour tout t > 0, sauf si ω est très proche de ω_0.
IV. 4 On se place à la résonance, définie par ω = ω_0. Décrire au moyen d'un schéma l'évolution de l'aimantation dans R^′ puis dans R.
IV. 5 En prenant pour ω_0 la valeur obtenue à la question III.8, à quel domaine de fréquences appartient le champ B⃗_1(t) ?
IV. 6 On donne B_1 = 3 × 10^(− 5) T. Calculer la norme du vecteur de Poynting d'une onde électromagnétique plane de champ magnétique B⃗_1(t) se propageant dans le vide.
IV. 7 On se place toujours à la résonance, et on applique le champ B⃗_1(t) uniquement entre les instants t = 0 et t = τ, où τ est choisi de telle sorte que l'aimantation tourne d'un angle π/2 dans R^′ entre les instants t = 0 et t = τ. Donner l'expression de τ et calculer sa valeur. Montrer que l'aimantation est un vecteur constant pour t > τ dans R^′. Quelle est sa direction?
IV. 8 En pratique, le champ B⃗_0 n'est pas parfaitement homogène sur tout l'échantillon, et l'écart à la résonance δω = ω − ω_0 fluctue autour de 0 d'un bout à l'autre de l'échantillon. On suppose en tout point |δω|≪ω_1. Décrire qualitativement comment évolue l'aimantation de l'échantillon pour t≫τ dans R^′.
IV. 9 Pour pallier l'effet de ces inhomogénéités, on applique le champ B⃗_1(t) une deuxième fois entre les instants t = T_E et t = T_E + 2τ, avec T_E≫τ, et on mesure l'aimantation à l'instant t = 2T_E. Déterminer l'orientation de l'aimantation à t = 2T_E dans R^′ pour δω = 0, puis pour δω ≠ 0. Conclure. Cette technique porte le nom d'écho de spin.
IV. 10 L'étude ci-dessus ne prend en compte que l'interaction des protons avec le champ magnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la question IV. 7 qu'à la résonance, l'aimantation dans R^′ est constante après l'arrêt du champ B⃗_1(t). En réalité, elle n'est pas constante indéfiniment mais finit par retourner à sa valeur d'équilibre, déterminée à la question III.6, sous l'effet de processus dits de relaxation. On donne les équations d'évolution des coordonnées ( M_X, M_Y, M_Z ) de l'aimantation dans R^′ à la résonance et en l'absence de champ B⃗_1 :

T_1 et T_2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les valeurs T_1 = 0, 9 s et T_2 = 0, 1 s pour un proton appartenant à la matière grise du cerveau. Expliquer pourquoi il est légitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les instants t = 0 et t = τ. Résoudre ces équations pour t > τ tracer les variations de M_X, M_Y et M_Z.
IV. 11 L'IRM consiste à mesurer l'aimantation au cours du temps pour t > τ, et à en déduire T_1 et T_2, qui dépendent fortement de l'environnement du proton et donnent des informations fines sur la nature des tissus contenus dans l'échantillon étudié. On utilise, pour mesurer T_2, la technique d'écho de spin exposée à la question IV.9. Quelle valeur de T_E choisiriez vous pour cette mesure?