Mines Mathématiques 2 MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Sur le calcul des variations

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Présentation du sujet

Difficile

Le calcul des variations : lemme de Du Bois-Reymond, condition d'Euler-Lagrange et inégalité de Hardy et Littlewood

Le problème porte sur le calcul des variations et se compose de cinq parties qui progressent de l'algèbre linéaire vers des applications fonctionnelles avancées. Il démontre un lemme de Du Bois-Reymond, établit une condition nécessaire d'Euler-Lagrange pour minimiser une fonctionnelle, l'applique à des exemples, puis en déduit une inégalité fonctionnelle de Hardy et Littlewood.

1A. PréliminaireTest des connaissances d'algèbre linéaire et du cours sur les équations différentielles linéaires.
2B. Un lemme de Du Bois-ReymondDémonstration d'un lemme permettant ensuite de transformer une équation variationnelle en équation différentielle.
3C. Une condition nécessaire d'Euler-LagrangeDiscussion, dans l'abstrait puis sur deux exemples, de la condition d'Euler-Lagrange pour la minimisation d'une fonctionnelle définie sur l'espace des fonctions C2([0,1];R) à valeurs prescrites au bord.
4D. Un exemple avec dérivée secondeÉtude d'une fonctionnelle sur l'espace des fonctions C4(R+;R) dont les deux premières dérivées sont de carré sommable, avec transformation de l'équation d'Euler-Lagrange d'ordre 4 en équation différentielle d'ordre 2 pour expliciter les minimiseurs.
5E. Application : une inégalité de Hardy et LittlewoodDémonstration, en admettant les résultats antérieurs, d'une inégalité fonctionnelle de Hardy et Littlewood.

Difficile. Le jury qualifie plusieurs parties de subtiles ou de rédaction difficile, note que les deux dernières questions ont été rarement abordées et traitées correctement uniquement par les meilleurs candidats, et que la question 21 n'a presque jamais été traitée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Absence de simplification des calculs · Confusion sur l'exponentielle de matrice · Erreur de logique dans le choix des variables

Le jury indique que le sujet était structuré pour tester non seulement les connaissances des candidats mais aussi l'intégrité de leur démarche scientifique, en particulier via de nombreuses questions fermées de type « Montrer que ». Il souligne que les candidats sont jugés sur la précision de leur rédaction et sur la complétude et l'honnêteté de leurs démonstrations, et regrette de multiples et graves confusions sur les équations différentielles linéaires et les techniques de base de calcul intégral.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Absence de simplification des calculs2
La diagonalisation de la matrice A pose souvent des difficultés, avec des réponses exprimées par des polynômes non simplifiés en j, ce que le jury considère comme une tâche déléguée au correcteur à tort.
2
Confusion sur l'exponentielle de matrice3
Pour la question de cours sur l'exponentielle de matrice, le jury rappelle qu'elle ne commute pas avec le vecteur colonne.
3
Erreur de logique dans le choix des variables6
Choisir x0 et x1 est qualifié d'erreur de logique grave, pourtant trop fréquente chez les candidats.
4
Confusion sur le contraire d'une limite infinie14
Beaucoup de candidats sont persuadés à tort que le contraire de ne pas tendre vers plus l'infini est d'avoir une limite finie.
5
Réflexes erronés issus des espaces de dimension finie11
Certains candidats appliquent des réflexes des espaces vectoriels normés de dimension finie, comme un argument de compacité, qui échouent presque toujours dans les espaces fonctionnels.
6
Substitution incorrecte8
Une majorité de candidats ne sait pas substituer une formule dans une autre, en confondant la variable d'intégration avec la variable polynomiale.

Ce qui a été bien réussi

À quelques copies près, tous les candidats obtiennent le bon résultat à la question 1.
La question 10 est en général réussie, bien que sujette à des erreurs de calcul sur une simple substitution.
La question 17 est facile à vérifier une fois la question précédente correctement traitée.
Les questions 20, rarement abordées, ont été traitées correctement par les meilleurs candidats.

Conseils du jury

Simplifier systématiquement les calculs plutôt que de laisser des expressions non réduites au correcteur.
Associer, lors de l'apprentissage du cours, chaque définition à au moins un exemple, un théorème et plusieurs contre-exemples.
Redoubler d'attention sur les questions fermées pour éliminer toute faille dans le raisonnement demandé.
Se méfier des réflexes issus de la dimension finie ou des séries l2 lorsqu'on travaille dans des espaces fonctionnels comme L2.
Reconnaître une erreur de raisonnement plutôt que de tenter de la masquer par des constructions inutiles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2011

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sur le calcul des variations

Soit un intervalle

I \subset ℝ

, ni vide, ni réduit à un point, et un ensemble

E

de fonctions

f : I \to ℝ

. On se donne une application

J : E \to ℝ

définie au moyen d'une intégrale faisant intervenir

f

et ses dérivées. L'objectif de ce problème est d'étudier le minimum éventuel de

J

sur

E

min_(f \in E)J(f),

et de déterminer, dans certains cas particuliers, les points

f

E

en lesquels

J

atteint son minimum.

On note

E_(a, b)^k

l'ensemble des fonctions

f : [0, 1] \to ℝ

de classe

C^k

telles que

f(0) = a

f(1) = b

. La notation

y^((k))

désigne la dérivée d'ordre

k

de la fonction

y

A. Préliminaire

On pose $j = exp(2iπ/3)$ . Que vaut $j^4 + j^2 + 1$ ?

On note

ℳ_(n, p)(ℂ)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et

p

colonnes sur

ℂ

et on considère la matrice

A

ℳ_(4, 4)(ℂ)

A = (0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1; - 1, 0, - 1, 0)

Proposer une matrice inversible $U$ et une matrice diagonale $D$ de $ℳ_(4, 4)(ℂ)$ telles que $U^(- 1)AU = D$ . La méthode choisie pour les obtenir doit être expliquée.
En déduire les solutions $X : I \to ℳ_(4, 1)(ℂ)$ de l'équation différentielle

X^' = AX.

Déterminer l'ensemble des solutions $y : I \to ℂ$ de l'équation différentielle

y^((4)) + y^('') + y = 0

et préciser parmi ces solutions celles qui sont à valeurs dans

ℝ

. On pourra considérer le vecteur

Y = (y; y^'; y^(''); y^((3)))

B. Un lemme de du Bois-Reymond

On considère la fonction $h : ℝ \to ℝ$ définie par $h(t) = (1 - t^2)^3$ si $|t| ⩽ 1$ et $h(t) = 0$ sinon. Montrer que $h \in C^2(ℝ, ℝ)$ et représenter son graphe. La fonction $h$ est-elle de classe $C^3$ sur $ℝ$ ?
Soit $x_0, x_1$ des nombres réels tels que $x_0 < x_1$ . Construire à partir de $h$ une fonction $g \in C^2(ℝ, ℝ)$ vérifiant $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]x_0, x_1[$ et $g(x) = 0$ ailleurs.
Soit $F \in C^0([0, 1], ℝ)$ telle que $\int_0^1 F(x)u(x)dx = 0$ pour tout $u \in E_(0, 0)^2$ . Démontrer qu'alors $F$ est nulle.

C. Une condition nécessaire d'Euler-Lagrange

Dans cette partie, on prend

E = E_(a, b)^2

pour un couple donné (

a, b

) de nombres réels. La fonction

J

est définie sur

E

par la formule

J(f) = \int_0^1[P(f(x)) + Q(f^'(x))]dx

où

P, Q \in ℝ[X]

sont des polynômes fixés.
Soit

f_0 \in E

. On se propose de prouver que si

J(f_0) ⩽ J(f)

pour tout

f \in E

, alors

f_0

vérifie une certaine équation différentielle. Soit

u \in E_(0, 0)^2

.
8) Montrer que l'application

q

définie sur

ℝ

par la formule

q(t) = J(f_0 + tu)

est polynomiale, c'est-à-dire qu'il existe une famille finie (

a_0, a_1, \dots, a_r

) de nombres réels telle que

q(t) = \sum_(k = 0)^r a_k t^k

pour tout

t \in ℝ

. Expliciter le coefficient

a_1

sous la forme d'une intégrale faisant intervenir les polynômes dérivés

P^'

Q^'

.
9) On suppose que pour tout

f \in E, J(f_0) ⩽ J(f)

. Montrer qu'alors

a_1 = 0

et en déduire l'équation différentielle :

\forallx \in [0, 1], P^'(f_0(x)) = d/(dx)[Q^'(f_0^'(x))].

Exemples

Premier exemple. On choisit

E = E_(0, 1)^2

J = J_1

définie par

J_1(f) = \int_0^1(f^'(x))^2 dx

.
10) Former l'équation différentielle (

Δ

) correspondante. Parmi ses solutions, préciser celles qui appartiennent à

E_(0, 1)^2

.
11) Montrer que

J_1

admet un minimum sur

E_(0, 1)^2

, préciser sa valeur ainsi que les points de

E_(0, 1)^2

où ce minimum est réalisé. (On pourra s'aider de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.)
Deuxième exemple. On choisit

E = E_(0, 0)^2

J = J_2

définie par

J_2(f) = \int_0^1(f^'(x))^2 + (f^'(x))^3 dx

Former l'équation différentielle ( $Δ$ ) correspondante. Parmi ses solutions, montrer que seule la fonction nulle appartient à $E_(0, 0)^2$ .
Montrer que $J_2$ n'admet pas de minimum sur $E_(0, 0)^2$ . (On pourra se servir de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0, 1]$ par la formule $f(x) = x^2(1 - x)$ .)

D. Un exemple avec dérivée seconde

Dans cette partie,

E

désigne l'ensemble des fonctions

f \in C^4(ℝ_+, ℝ)

telles que

f^2

(f^(''))^2

soient intégrables sur

ℝ_+

. On rappelle que l'ensemble des fonctions

g \in C^0(ℝ_+, ℝ)

telles que

g^2

soit intégrable sur

ℝ_+

est un

ℝ

-espace vectoriel, que l'on note

L^2

Dans les deux questions suivantes, on considère

f \in E

.
14) Montrer que le produit

ff^('')

est intégrable sur

ℝ_+

et que

f(x)f^'(x)

ne tend pas vers

+ \infty

quand

x \to + \infty

.
15) En déduire que

f^' \in L^2

, puis que

f(x)f^'(x) \to 0

quand

x \to + \infty

Dans cette partie, la fonction

J

est définie par

J(f) = \int_0^(+ \infty)[(f(x))^2 - (f^'(x))^2 + (f^('')(x))^2]dx

Par un raisonnement identique à celui de la partie C , on peut montrer, et on l'admettra, que si la fonction

J

présente un minimum en un élément

f

E

, alors

f

est solution sur

ℝ_+

de l'équation (2):

y^((4)) + y^('') + y = 0

.
16) Déterminer les solutions de (2) qui appartiennent à

E

. (On pourra d'abord étudier leur appartenance à

L^2

On note

e_1

e_2

les fonctions définies sur

ℝ_+

par les formules

e_1(t) = e^(- t/2)cos(t(\sqrt3)/2) et e_2(t) = e^(- t/2)sin(t(\sqrt3)/2)

Un calcul montre, et on l'admettra, que pour tous réels

α

β

J(αe_1 + βe_2) = (α^2)/4 + (3β^2)/4 + (αβ\sqrt3)/2.

On pose également, pour tout

t \in ℝ_+

ψ(t) = e^(- t/2)sin(t(\sqrt3)/2 - π/3).

On suppose, dans cette question, que la fonction $J$ présente un minimum en un élément $f$ de $E$ . Montrer que $f$ est solution sur $ℝ_+$ de l'équation $y^('') + y^' + y = 0$ . Montrer par ailleurs qu'il existe $λ \in ℝ$ tel que $f = λψ$ .
Montrer que pour tout $f \in E$ et tout réel $A > 0$ ,

\int_0^A[(f(x))^2 - (f^'(x))^2 + (f^('')(x))^2]dx; = \int_0^A[f(x) + f^'(x) + f^('')(x)]^2 dx + (f(0) + f^'(0))^2 - (f(A) + f^'(A))^2

Quel est le comportement

de(f(A) + f^'(A))^2

lorsque

A \to + \infty

? En déduire que la fonction

J

admet effectivement un minimum au point

λψ

pour chaque

λ \in ℝ

.
19) Indiquer comment le point de vue de la question précédente permet de retrouver directement toutes les fonctions

f_0 \in E

telles que

J(f_0) = min_(f \in E)J(f)

, sans passer par l'équation différentielle (2).

E. Application : une inégalité de Hardy et Littlewood

On reprend les notations de la partie précédente, et pour tout

g \in L^2

, on note

‖g‖ = \sqrt(\int_0^(+ \infty)(g(x))^2 dx)

Montrer que pour tout $f \in E$ ,

‖f^'‖^2 ⩽ 2‖f‖ \cdot ‖f^('')‖.

On pourra poser

f_μ(x) = f(μx)

et utiliser le fait que

J(f_μ) ⩾ 0

, pour tout réel

μ > 0

.
21) Déterminer tous les cas d'égalité dans l'inégalité précédente.

Fin du problème

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines MP 2011 ?

Elle porte sur le calcul des variations, en mobilisant l'algèbre linéaire, les équations différentielles linéaires, le calcul intégral et les espaces L2, à travers le lemme de Du Bois-Reymond et la condition d'Euler-Lagrange.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans le sujet Mines maths 2 MP 2011 ?

Le jury relève un manque de simplification des calculs, une confusion sur l'exponentielle de matrice, une erreur de logique dans le choix de variables et une confusion fréquente sur le contraire d'une limite infinie.

Le sujet de maths 2 Mines MP 2011 sur le calcul des variations est-il difficile ?

Oui, le rapport qualifie plusieurs parties de subtiles et indique que les dernières questions ont été rarement abordées et réussies seulement par les meilleurs candidats.

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