CCINP Mathématiques 1 MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHÉMATIQUES 1

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

EXERCICE I

• Q1.Exprimer, pour k non nul, P(X = k) en fonction de P(X > k − 1) et de P(X > k).
  Démontrer que pour tout n ∈ ℕ, ∑_(k = 1)^n kP(X = k) = ∑_(k = 0)^(n − 1)P(X > k) − nP(X > n).
  Démontrer le résultat de cours : E(X) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)P(X > k).
• Q2.Soit n ∈ ℕ^∗. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue, de façon équiprobable, p tirages successifs avec remise et on note X le plus grand nombre obtenu.
  Calculer, pour tout entier naturel k, P(X ≤ k), puis donner la loi de X.
• Q3.Calculer lim_(n → + ∞)1/n∑_(k = 0)^(n − 1)(k/n)^p, puis en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour n au voisinage de + ∞ de E(X).

EXERCICE II

• (E): x^2 y^(′′) + 4xy^′ + (2 − x^2)y = 1
• (H): x^2 y^(′′) + 4xy^′ + (2 − x^2)y = 0

• Q4.Donner, en justifiant, la dimension de l'espace vectoriel S_/(H).
• Q5.Démontrer qu'il existe une unique solution f de (E) sur I développable en série entière sur ℝ.
  Vérifier que pour tout x ∈ I, f(x) = (chx − 1)/(x^2).
• Q6.On note pour x ∈ I, g(x) = (− 1)/(x^2) et h(x) = (shx)/(x^2).
  On admet dans cette question que g ∈ S_l(E) et h ∈ S_l(H).
  Donner, sans calculs, l'ensemble S_l(E).
• Q7.Quelle est la dimension de l'espace vectoriel S_ℝ(H) (solutions de (H) sur ℝ ) ?

PROBLÈME

• Q8.Question préliminaire
  Si on admet que ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/((2n + 1)^2) = (π^2)/8, que vaut la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) ?

Partie I

• Q9.On note, pour tout entier naturel n, W_n = ∫_0^(π/2)(sinx)^n dx.
  Calculer la dérivée de la fonction x ↦ (sinx)^(n + 1), puis déterminer une relation entre W_(n + 2) et W_n.
  En déduire, pour tout entier naturel n, que W_(2n + 1) = (2^(2n)(n!)^2)/((2n + 1)!).
• Q10.Déterminer sur l'intervalle ]-1, 1 [ le développement en série entière des fonctions x ↦ 1/(√(1 − x^2)) et x ↦ Arcsinx.
• Q11.En déduire que pour tout x ∈ [0, π/2[, x = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1).
• Q12.Justifier que ∫_0^(π/2)[∑_(n = 0)^(+ ∞)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1)]dx = ∑_(n = 0)^(+ ∞)∫_0^(π/2)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1) dx.
• Q13.En déduire la valeur de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2).

Partie II

• Q14.Donner sur l'intervalle ] -1, 1 [ le développement en série entière de la fonction x ↦ 1/(x^2 − 1), puis calculer l'intégrale ∫_0^1(lnx)/(x^2 − 1) dx.
  On donnera le résultat sous la forme de la somme d'une série numérique.
• Q15.On pose pour x ∈ [0, + ∞[, f(x) = ∫_0^(+ ∞)(Arctan(xt))/(1 + t^2) dt.
  Démontrer que la fonction f est bien définie et est continue sur l'intervalle [0, + ∞[.
• Q16.Établir que cette fonction f est de classe C^1 sur l'intervalle ]0, 1 ] et exprimer f^′(x) comme une intégrale.
• Q17.Réduire au même dénominateur l'expression t/(1 + t^2) − (x^2 t)/(1 + t^2 x^2) et en déduire que pour tout x ∈ ]0, 1[, f^′(x) = (lnx)/(x^2 − 1).
• Q18.Calculer f(1), puis en déduire la valeur de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2).

FIN