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CCINP Mathématiques 2 MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,81 / 20 · écart-type 4,38 · 967 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,81/ 20
Écart-type
4,38
Présents
967
Coefficient
11
Durée
4 h
moyenne 10,8105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE 1

Q1. Justifier que la matrice A = (− 4, 2, − 2; − 6, 4, − 6; − 1, 1, − 3) est diagonalisable et déterminer une matrice P telle que P^(− 1)AP soit diagonale.
Q2. Application : On considère trois suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ), et (w_n)_(n ∈ ℕ) telles que :
{u_(n + 1) = − 4u_n + 2v_n − 2w_n; v_(n + 1) = − 6u_n + 4v_n − 6w_n pour tout n ∈ ℕ; w_(n + 1) = − u_n + v_n − 3w_n
Pour tout n ∈ ℕ, on pose X_n = (u_n; v_n; w_n) et Y_n = P^(− 1)X_n = (α_n; β_n; γ_n).
Pour tout n ∈ ℕ, exprimer Y_n en fonction de α_0, β_0, γ_0 et n.
À quelle condition sur (u_0, v_0, w_0) les suites (u_n)_(n ∈ ℕ), (v_n)_(n ∈ ℕ) et (w_n)_(n ∈ ℕ) convergent-elles simultanément ? Expliciter alors ces suites.

EXERCICE 2

On considère la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)e^(− x√n) de la variable réelle et on note f sa somme.
Q3. Déterminer l'ensemble de définition D de f.
Q4. Démontrer que f est continue sur D.
Q5. Calculer la limite de f en + ∞.
Q6. Démontrer que, pour tout x ∈ D, ∫_0^(+ ∞)e^(− x√t) dt ≤ f(x) ≤ 1 + ∫_0^(+ ∞)e^(− x√t) dt.
Q7. En déduire un équivalent de f au voisinage de 0 .

PROBLÈME

Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu'une matrice symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel non nul n, une matrice symétrique M ∈ M_n(ℝ) est dite définie positive si et seulement si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, X^⊤MX > 0.
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la matrice A = (2, 1; 1, 1) est définie positive.

Caractérisation spectrale

Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.
Q10. Application: Démontrer que le polynôme P(X) = X^3 − 6X^2 + 9X − 3 admet trois racines réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer).
Démontrer alors que la matrice B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3) est définie positive grâce à la caractérisation spectrale.

Un critère en dimension 2

Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique M ∈ M_2(ℝ) est définie positive si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive M de taille quelconque vérifie toujours Tr(M) > 0 et det(M) > 0.
Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique M ∈ M_2(ℝ), dont la trace et le déterminant sont strictement positifs, est définie positive.
Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices symétriques de M_3(ℝ) ?
Q14. Application : Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que f : (ℝ_+^∗)^2 → ℝ définie par f(x, y) = x + y + 1/(xy) admet un extremum local. Préciser s'il s'agit d'un minimum local ou d'un maximum local.

Le critère de Sylvester

Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute dimension.
Pour une matrice carrée quelconque M = (m_(i, j))_(i, j ∈ [ [1, n] ]) ∈ M_n(ℝ) et un entier k ∈ [ [1, n] ], on définit le k-ième mineur principal comme étant le déterminant de la matrice M_k = (m_(i, j))_(i, j ∈ [ [1, k] ]) ∈ M_k(ℝ). On précise qu'une matrice carrée de taille n possède n mineurs principaux.
Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3) de la question Q10. sont les déterminants des matrices B_1 = (1), B_2(1, 0; 0, 2) et B_3 = B = (1, 0, 1; 0, 2, 1; 1, 1, 3).
On dit qu'une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs. On souhaite alors démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle vérifie le critère de Sylvester.
Par exemple, pour la matrice B de la question Q10., on constate que:
det(B_1) = 1 > 0, det(B_2) = 2 > 0 et det(B_3) = 3 > 0.
La matrice B vérifie le critère de Sylvester, elle est donc définie positive.
Q15. On fixe une matrice M ∈ M_n(ℝ), un entier k ∈ [ [1, n] ], ainsi qu'un vecteur colonne X_k = (x_1; ⋮; x_k) ∈ M_(k, 1)(ℝ). Déterminer un vecteur colonne X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, tel que :
X_k^⊤M_k X_k = X^⊤MX
Q16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le critère de Sylvester.
Dans les deux questions suivantes, il s'agit de démontrer la réciproque, c'est-à-dire que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive. Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la taille n de la matrice.
Q17. Soit n ≥ 2 et soit une matrice symétrique M ∈ M_n(ℝ) telle que det(M) > 0. On écrit cette matrice par blocs sous la forme suivante :
M = (M_(n − 1), U; U^⊤, α) avec M_(n − 1) ∈ M_(n − 1)(ℝ), U ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ) et α ∈ ℝ.
On suppose que la matrice M_(n − 1) est définie positive.
Justifier l'existence d'un vecteur colonne V ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ) tel que M_(n − 1)V + U = 0.
En notant Q = (I_(n − 1), V; 0_(1, n − 1), 1), démontrer alors que Q^⊤MQ s'écrit par blocs (M_(n − 1), 0_(n − 1, 1); 0_(1, n − 1), β) avec β > 0.
Q18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.
Q19. Pour quelles valeurs de x ∈ ℝ la matrice C(x) = (2, 1, 0; 1, 1, x; 0, x, 1) est-elle définie positive ?
Q20. La matrice (2, 2, 1, 4, 5; 2, 3, − 1, 1, − 1; 1, − 1, 1, 3, 1; 4, 1, 3, 5, 0; 5, − 1, 1, 0, 1) est-elle définie positive ? Justifier.
Q21. Démontrer que pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^3∖{0} :
4x^2 + y^2 + z^2 + 2xy − 3xz > 0
Q22. Pour quelles valeurs de n ∈ ℕ^∗ la matrice S_n = (√3, 1, 0, ⋯, 0; 1, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1; 0, ⋯, 0, 1, √3) ∈ M_n(ℝ) est-elle définie positive?

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