WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Inégalité de Carleman

4,0(1 vote)
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2024FilièreMP/MPIMatièreMathématiques
Annales Centrale MP/MPI MathématiquesCentrale MP/MPI 2024MP/MPI MathématiquesMathématiques 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Inégalité de Carleman : inégalité de Knopp, optimisation sous contrainte et raffinement de Carleman-Yang
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie l'inégalité de Carleman sur les séries de moyennes géométriques, en trois parties largement indépendantes. La première démontre l'inégalité intégrale de Knopp et en déduit Carleman. La deuxième reprend la démonstration originale par la topologie et l'optimisation sous contrainte, et la troisième établit le raffinement de Carleman-Yang grâce à un développement en série entière.

  1. 1Partie I : inégalité de Knopppremière et deuxième annéesInégalité intégrale de Jensen par les sommes de Riemann, manipulations d'intégrales impropres, puis application à l'inégalité de Carleman pour une suite décroissante.
  2. 2Partie II : inégalité de Carlemandeuxième annéeInégalité arithmético-géométrique puis inégalité de Carleman par recherche d'extremum sous contrainte, à l'aide de gradients et d'un argument de compacité.
  3. 3Partie III : inégalité de Carleman-Yangdeuxième annéeDéveloppement en série entière de la fonction (1-t)^(1-1/t), puis démonstration du raffinement de Carleman-Yang.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur raisonnable, certains l'ayant presque entièrement traité, mais la partie II sur l'optimisation sous contrainte a été bien moins réussie et Q10 est qualifiée de difficile.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,19 / 20 · écart-type 4,33 · 4 493 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,19/ 20
Écart-type
4,33
Présents
4 493
Coefficient
19
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12,1
moyenne 9,1905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Sommes de Riemann et convexité mal rappelées · Majorant dépendant de la variable · Indications de l'énoncé ignorées
Afficher ou masquer la section

Beaucoup de candidats traitent correctement les questions à leur portée. Les techniques sur les intégrales de la partie I étaient plutôt connues, la partie II a été bien moins réussie et le début de la partie III, assez classique, plutôt bien traité. Le jury note une fragilité fréquente : réponses incomplètes ou manquant de rigueur, et un malus pour les copies raturées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Sommes de Riemann et convexité mal rappeléesQ1

    Le résultat sur les sommes de Riemann était souvent faux ou sans hypothèses, et l'inégalité de convexité utilisée sans rappeler que la somme des coefficients vaut 1.

    « le concours porte sur l’ensemble des notions vues au cours de leurs deux années de CPGE et pas uniquement sur la seconde. »
  2. 2
    Majorant dépendant de la variableQ2, Q3

    En Q2, f a été majorée sur [0, x] par un majorant dépendant de x. En Q3, la convergence dominée a été mal appliquée, et une fonction intégrable sur ℝ+ a parfois été supposée majorée.

    « beaucoup de candidats écrivent qu’une fonction intégrable sur R+ est majorée sur R+ ce qui est faux. »
  3. 3
    Indications de l'énoncé ignoréesQ4, Q5

    En Q4, une intégration par parties donnait à la fois l'intégrabilité et l'égalité. En Q5, l'indication était mal utilisée et l'intégrabilité de ln en 0 rarement indiquée.

    « Trop de candidats n’ont pas tenu compte de l’indication. »
  4. 4
    Gradient confondu avec une sommeQ11, Q15

    Beaucoup confondent le gradient d'une fonction de classe C¹ avec la somme de ses dérivées partielles.

  5. 5
    Hypothèses de l'optimisation sous contrainteQ13, Q17

    Le théorème était bien identifié mais ses hypothèses rarement rappelées ou vérifiées, et la stricte positivité de λ peu justifiée.

  6. 6
    Équivalents composés par l'exponentielleQ23

    Trop de candidats écrivent que f équivalent à g entraîne exp(f) équivalent à exp(g), et les o(·) sont mal manipulés.

Ce qui a été bien réussi

  • Q6 a été globalement réussie et Q8 plutôt bien réussie, avec un lien avec Q7 bien vu.
  • La compacité en Q12 a été bien établie par ceux qui ont vu qu'il fallait l'utiliser.
  • Q21, facile, a été traitée par de nombreux candidats.
  • En Q24, la plupart ont vu qu'il fallait une récurrence forte.

Conseils du jury

  • Réfléchir au brouillon avant de rédiger pour éviter une copie raturée.
  • Donner tous les arguments nécessaires, notamment les hypothèses des théorèmes.
  • Ne pas utiliser de notions hors programme sans les redémontrer.
  • Réutiliser les questions précédentes et suivre les indications de l'énoncé.
  • Travailler toutes les notions du cours, y compris l'optimisation sous contrainte et le programme de première année.
  • Ne pas tenter de tromper le correcteur avec un calcul qui aboutit miraculeusement au résultat attendu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Inégalité de Carleman

On s'intéresse dans ce problème à une inégalité établie par Torsten Carleman : si (a_k)_(k ∈ ℕ^∗) est une suite de réels strictement positifs telle que ∑a_n converge, alors la série de terme général (∏_(k = 1)^n a_k)^(1/n) converge et
∑_(n = 1)^(+ ∞)(∏_(k = 1)^n a_k)^(1/n) ⩽ e∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n
Le problème est constitué de trois parties largement indépendantes. La première partie commence en démontrant un analogue intégral de cette inégalité : l'inégalité de Knopp. La deuxième partie s'intéresse à la démonstration originale de l'inégalité de Carleman, utilisant du calcul différentiel. Enfin, la troisième partie étudie l'inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l'inégalité de Carleman.

I Inégalité de Knopp

Dans cette partie, on démontre l'inégalité de Knopp, souvent présentée comme analogue continu de l'inégalité de Carleman (on justifie cette appellation en fin de partie).

I.A - Deux inégalités intégrales

I.A.1) Inégalité intégrale de Jensen
Q 1. Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue par morceaux à valeurs dans un intervalle J. Soit φ une fonction continue et convexe sur J. Démontrer que
φ(1/(b − a)∫_a^b f(t)dt) ⩽ 1/(b − a)∫_a^b φ ∘ f(t)dt
On pourra utiliser des sommes de Riemann.
I.A.2) Une autre inégalité intégrale
Soit f : ℝ_+ → ℝ, une fonction continue par morceaux, strictement positive et intégrable.
Pour tout x > 0, on pose
g(x) = 1/x∫_0^x tf(t)dt et h(x) = 1/xg(x) = 1/(x^2)∫_0^x tf(t)dt
Q 2. Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers 0 .
Q 3. Déterminer la limite de g(x) lorsque x tend vers + ∞.
Notant 𝟙_([0, x]) la fonction indicatrice de [0, x], on pourra remarquer que g(x) = ∫_0^(+ ∞)1/xtf(t)𝟙_([0, x])(t)dt.
Q 4. En déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)h(x)dx converge et que
∫_0^(+ ∞)f(x)dx = ∫_0^(+ ∞)h(x)dx.
On pourra utiliser une intégration par parties.

I.B - Démonstration de l'inégalité de Knopp

Soit f une fonction continue par morceaux, strictement positive, intégrable sur ℝ_+.
Q 5. Démontrer que, pour tout x > 0,
exp(1/x∫_0^x ln(f(t))dt) ⩽ e/(x^2)∫_0^x tf(t)dt
On pourra remarquer que ln(f(t)) = ln(tf(t)) − ln(t).
Q 6. En déduire que x ↦ exp(1/x∫_0^x ln(f(t))dt) est intégrable sur ℝ_+^∗ et que
∫_0^(+ ∞)exp(1/x∫_0^x ln(f(t))dt)dx ⩽ e∫_0^(+ ∞)f(x)dx

I.C - Application à l'inégalité de Carleman

On suppose dans cette sous-partie que (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite décroissante de réels strictement positifs. On note f la fonction en escalier qui, pour tout k ∈ ℕ^∗, est égale à a_k sur l'intervalle [k − 1, k[.
Q 7. Soit k dans ℕ^∗. Démontrer que la fonction v_k définie sur [k − 1, k] par
{v_k(x) = 1/x∑_(i = 1)^(k − 1)ln(a_i) + 1/x(x − k + 1)ln(a_k) si k ⩾ 2; v_1(x) = ln(a_1)
est minimale pour x = k.
Q 8. Démontrer que, pour tout k dans ℕ^∗,
∫_(k − 1)^k exp(1/x∫_0^x ln(f(t))dt)dx ⩾ exp(1/k∑_(i = 1)^k ln(a_i))
On pourra utiliser la question précédente.
Q 9. En déduire l'inégalité de Carleman dans le cas où (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite décroissante.
Q 10. Expliquer comment on peut retirer l'hypothèse de décroissance.

II Inégalité de Carleman

On démontre dans cette partie l'inégalité de Carleman d'une manière indépendante de la partie I.
La sous-partie II.A établit l'inégalité arithmético-géométrique avec des méthodes de calcul différentiel qui permettent de se familiariser avec celles qui seront utilisées dans la sous-partie II.B pour démontrer l'inégalité de Carleman.
La sous-partie II.B est indépendante de II.A. L'inégalité arithmético-géométrique sera utilisée dans la partie III. Soit n dans ℕ^∗. On note U_n l'ouvert (ℝ_+^∗)^n. Son adhérence, notée U_n^–, est (ℝ_+)^n.

II.A - Inégalité arithmético-géométrique

Soit s > 0. On définit les fonctions f et g_s sur U_n^– en posant, pour tout x = (x_1, …, x_n) ∈ U_n^–,
f(x) = ∏_(k = 1)^n x_k et g_s(x) = (∑_(k = 1)^n x_k) − s
On note X_s le sous-ensemble de U_n^– constitué des zéros de g_s : X_s = {x ∈ U_n^–|g_s(x) = 0}.
Q 11. On admet que f et g_s sont de classe C^1 sur U_n. Donner l'expression de leur gradient en un point x = (x_1, …, x_n) de U_n.
Q 12. Démontrer que la restriction de f à X_s admet un maximum sur X_s et que ce maximum est en fait atteint sur X_s ∩ U_n.
On pourra vérifier que f est strictement positive en certains points de X_s ∩ U_n.
On note a = (a_1, …, a_n) un élément de X_s ∩ U_n en lequel la restriction de f à X_s atteint son maximum.
Q 13. Démontrer qu'il existe un réel λ > 0 tel que, pour tout k dans [ [1, n] ], a_k = (f(a))/λ.
Q 14. Démontrer alors que, pour tout (x_1, …, x_n) ∈ U_n ∩ X_s, (∏_(i = 1)^n x_i)^(1/n) ⩽ 1/n∑_(i = 1)^n x_i et en déduire l'inégalité arithmético-géométrique
∀(x_1, …, x_n) ∈ (ℝ_+)^n, (∏_(i = 1)^n x_i)^(1/n) ⩽ 1/n∑_(i = 1)^n x_i.

II.B - Démonstration de l'inégalité de Carleman

On considère l'application F_n de U_n^– dans ℝ, définie par
∀(x_1, …, x_n) ∈ U_n^–, F_n(x_1, …, x_n) = x_1 + (x_1 x_2)^(1/2) + (x_1 x_2 x_3)^(1/3) + ⋯ + (x_1⋯x_n)^(1/n)
On note h_n l'application de U_n^– dans ℝ, définie par
∀(x_1, …, x_n) ∈ U_n^–, h_n(x_1, …, x_n) = x_1 + ⋯ + x_n − 1.
On admet que F_n et h_n sont toutes deux de classe C^1 sur U_n.
On note H_n l'ensemble H_n = {(x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n|x_1 + ⋯ + x_n = 1}.
Q 15. Déterminer le gradient de F_n et le gradient de h_n en tout point de U_n.
Q 16. Démontrer que la restriction de F_n à U_n^– ∩ H_n admet un maximum.
On admet que le maximum de F_n est en fait atteint sur U_n ∩ H_n.
On note M_n le maximum de F_n sur U_n^– ∩ H_n et on note ( a_1, …, a_n ) un point de U_n ∩ H_n en lequel il est atteint. Pour k entre 1 et n, on note γ_k = (a_1 a_2⋯a_k)^(1/k).
Q 17. Démontrer qu'il existe un réel λ > 0 tel que
{γ_1 + (γ_2)/2 + ⋯ + (γ_n)/n, = λa_1; (γ_2)/2 + ⋯ + (γ_n)/n, = λa_2; ⋮; (γ_n)/n, = λa_n; a_1 + a_2 + ⋯ + a_n, = 1
Q 18. En déduire que:
a) λ = γ_1 + γ_2 + ⋯ + γ_n = M_n;
b) pour tout k dans [ [1, n] ], γ_k = λω_k a_k, où
{ω_k = k(1 − (a_(k + 1))/(a_k)) si k ∈ [ [1, n − 1] ]; ω_n = n
L'objectif des trois questions suivantes est de démontrer que λ ⩽ e. On suppose par l'absurde que λ > e.
Q 19. Vérifier que, pour tout k dans ℕ, 1/e ⩽ ((k + 1)/(k + 2))^(k + 1).
Q 20. Démontrer que ω_1 ⩽ 1/e et que, pour tout k dans [ [1, n] ], ω_k ⩽ k/(k + 1).
On pourra démontrer, pour k ∈ [ [1, n − 1] ], que ω_(k + 1)^(k + 1) = 1/λω_k^k(1 − (ω_k)/k)^(− k).
Q 21. Aboutir à une contradiction sur ω_n. En déduire que, pour tout n dans ℕ^∗, pour tout (x_1, …, x_n) ∈ (ℝ_+^∗)^n tels que x_1 + ⋯ + x_n = 1,
∑_(k = 1)^n(x_1 x_2⋯x_k)^(1/k) ⩽ e
Q 22. En déduire l'inégalité de Carleman.

III Inégalité de Carleman-Yang

Le but de cette dernière partie est d'établir l'inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l'inégalité de Carleman.

III.A - Un développement en série entière

Soit φ la fonction définie par
∀t ∈ ] − 1, 1[∖{0}, φ(t) = (1 − t)^(1 − 1/t)
On définit aussi la suite (b_n)_(n ∈ ℕ) par
{b_0 = − 1; ∀n ∈ ℕ^∗, b_n = − 1/n∑_(k = 1)^n 1/(k + 1)b_(n − k)
Q 23. Justifier que φ est prolongeable par continuité en 0 et préciser la valeur de son prolongement en 0 . On notera toujours φ ce prolongement.
Q 24. Démontrer que, pour tout n dans ℕ^∗, |b_n| ⩽ 1. En déduire une inégalité sur le rayon de convergence de la série entière ∑_(k ⩾ 0)b_k t^k.
Q 25. Démontrer que, pour tout t dans ] − 1, 1[, φ^′(t) = φ(t)ψ(t), où
∀t ∈ ] − 1, 1[, ψ(t) = − ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(n + 2)t^n
puis que, pour tout n dans ℕ^∗,
φ^((n))(0) = − ∑_(k = 0)^(n − 1)(k!)/(k + 2)((n − 1)/k)φ^((n − k − 1))(0).
Q 26. Conclure alors que
∀t ∈ ] − 1, 1[, φ(t) = e(1 − ∑_(k = 1)^(+ ∞)b_k t^k)

III.B - Démonstration de l'inégalité de Carleman-Yang

Soit (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (c_n)_(n ∈ ℕ^∗) deux suites de réels strictement positifs.
Q 27. Démontrer que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(∏_(k = 1)^n a_k)^(1/n) ⩽ ∑_(k = 1)^(+ ∞)c_k a_k∑_(n = k)^(+ ∞)1/n(∏_(i = 1)^n c_i)^(− 1/n)
Q 28. En considérant c_n = ((n + 1)^n)/(n^(n − 1)), en déduire l'inégalité de Carleman-Yang :
∑_(n = 1)^(+ ∞)(∏_(k = 1)^n a_k)^(1/n) ⩽ e∑_(n = 1)^(+ ∞)(1 − ∑_(k = 1)^(+ ∞)(b_k)/((n + 1)^k))a_n
Q 29. Démontrer que, pour tout n dans ℕ^∗, b_n ⩾ 0. En quoi l'inégalité précédente est-elle un raffinement de l'inégalité de Carleman?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP MPI 2024 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale MP MPI 2024 ?

Le sujet porte sur les intégrales impropres et la convergence dominée, la convexité, la topologie et le calcul différentiel avec l'optimisation sous contrainte, puis les séries entières et les comparaisons asymptotiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 1 Centrale MP 2024 ?

Le jury cite des sommes de Riemann mal rappelées, des majorants dépendant de la variable, une convergence dominée mal appliquée, la confusion entre gradient et somme des dérivées partielles et la composition d'équivalents par l'exponentielle.

Quelle partie de Centrale maths 1 MP 2024 a été la moins réussie ?

La partie II, qui utilisait la topologie et l'optimisation sous contrainte, a été bien moins réussie que les autres. Les quatre dernières questions du sujet n'ont été que très rarement abordées.

Y avait-il une imprécision dans l'énoncé de Centrale maths 1 MP 2024 ?

Oui. En Q1, l'hypothèse de continuité de φ sur J pouvait être insuffisante. Le jury a prévu un bonus pour ceux qui le signalaient, et le rapport estime que cette imprécision n'a eu aucun impact sur le concours.

Pas de description pour le moment