CCINP Mathématiques 1 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Intégrales de Fresnel

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Présentation du sujet

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Loi géométrique et recherche d'un code, puis calcul des intégrales de Fresnel et étude d'une série de fonctions

Le sujet comporte un exercice et un problème. L'exercice de probabilités, complété de questions d'informatique, porte sur la loi géométrique et la formule des probabilités composées à travers la recherche d'un code. Le problème démontre l'existence des intégrales de Fresnel, les calcule par une intégrale à paramètre, puis applique le résultat à une série de fonctions.

1Exercice : trouver le bon codeFonction génératrice et espérance d'une loi géométrique, deux stratégies de recherche d'un code et questions d'informatique pour tous.
2Problème, partie I : intégrales fonctions de leur borneThéorème fondamental de l'analyse, développement en série entière de l'intégrande, convergence de l'intégrale de Fresnel et intégration numérique en informatique.
3Problème, partie II : calcul des intégrales de FresnelIntégrale à paramètre à valeurs complexes, convergence dominée, dérivation et décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.
4Problème, partie III : étude d'une série de fonctionsConvergence d'une série par majoration des sommes partielles, calcul de sa somme et équivalent en 0.

Accessible. Le jury décrit un sujet progressif, de longueur très raisonnable, aux questions largement indépendantes, avec un exercice particulièrement proche du cours.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,37 / 20 · écart-type 4,11 · 7 315 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,37/ 20
Écart-type: 4,11
Présents: 7 315
Coefficient: 12
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Loi géométrique et fonction génératrice mal connues · Événements et variables aléatoires confondus · Théorème fondamental de l'analyse oublié

Les candidats ont abordé un très grand nombre de questions. L'exercice de probabilités, très proche du cours, a pourtant été mal réussi, beaucoup ayant fait l'impasse sur les fonctions génératrices et la loi géométrique. Dans le problème, les théorèmes sur les intégrales généralisées sont connus, mais les dominations sont mal établies et les calculs de fin de sujet insuffisamment justifiés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Loi géométrique et fonction génératrice mal connuesQ1, Q4
Indices des sommes mal gérés, intervalle de convergence oublié, lien avec l'existence de l'espérance ignoré. La loi géométrique de Q4 n'est pas reconnue.
« Question de cours très mal réussie. »
2
Événements et variables aléatoires confondusQ3
Pour décrire l'événement {X = k}, il fallait écrire une intersection d'événements et non de variables.
« écrire l'intersection de deux variables aléatoires est un non-sens. »
3
Théorème fondamental de l'analyse oubliéQ7
Beaucoup confondent ce théorème avec la dérivation des intégrales à paramètre et n'en rappellent pas les hypothèses.
« Le théorème fondamental de l'analyse a été trop peu utilisé et ses hypothèses très peu rappelées. »
4
Inégalités entre nombres complexesQ15, Q16, Q17, Q22
La domination exige de majorer des modules. Beaucoup oublient le module ou encadrent des complexes.
« On ne peut pas écrire des inégalités entre nombres complexes, c'est un non-sens. »
5
Décomposition en éléments simples manquéeQ20
Des candidats manipulent des racines carrées de i comme s'il s'agissait d'un réel positif.
« des « racines carrées de i » comme si le nombre complexe i était un réel positif »
6
Calculs truqués et fin de sujet bâcléeQ19, Q23, Q25, Q27
Retrouver un résultat donné avec des erreurs qui se compensent est sanctionné. Les dernières questions ont souvent été rédigées sans justification.
« Ce n'est pas parce que c'est la dernière question du problème qu'on peut espérer récolter des points de cette manière. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions d'informatique Q5, Q6, Q13 et Q14 sont bien réussies par une grande majorité.
Les questions Q8 et Q11 sont bien traitées.
Les candidats connaissent bien les théorèmes sur les intégrales généralisées.
La question Q18 est mieux réussie grâce à une domination plus simple.

Conseils du jury

Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment de les appliquer.
Préciser le rayon de convergence d'un développement en série entière.
Ne pas trafiquer les calculs pour atteindre le résultat donné.
Préférer une question correctement rédigée à plusieurs questions bâclées.
Parcourir le sujet en entier au début de l'épreuve et ne pas recopier l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème dont les parties sont largement indépendantes.

EXERCICE

M. Toutlemonde habite dans un immeuble dont la porte d'entrée est sécurisée par un code à 4 chiffres dont chacun est compris entre 0 et 9 . Malheureusement, il se trouve devant cette porte et il en a oublié le code.

Q1. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p \in ]0, 1[

puis en déduire son espérance.

Q2. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur le bon code ?
Q3. M. Toutlemonde décide de trouver le bon code en procédant de la manière suivante : il essaye un code au hasard choisi par les codes non encore testés. On note

X

la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code.
Déterminer la loi de

X

et donner son espérance.
Q4. À la place de la stratégie précédente, M. Toutlemonde essaye des codes au hasard, sans se soucier du fait qu'il les ait déjà essayés ou non. On note encore

X

la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code.
Déterminer la loi de

X

et donner son espérance.
Q5. Informatique Pour Tous.
Compléter, en langage Python, le script suivant pour qu'il simule une personne essayant de deviner le code 4714 :

code=4714
n=int(input('Taper un code à 4 chiffres : '))
k=
while

print('Vous avez trouvé le code en '+str(k)+' essais.')

représente une instruction ou une partie d'instruction à compléter.)

Pour ne plus oublier le code, M. Toutlemonde décide de l'écrire sur un papier qu'il garde dans sa poche. Pour ne pas se faire dérober le code il le crypte de la manière suivante : il remplace chacun des 4 chiffres par lui-même additionné de 5 et réduit modulo 10. Par exemple, le code 4714 est crypté 9269.

Q6. Informatique Pour Tous.
Écrire, en langage Python, une fonction crypte(m) qui reçoit en entrée une liste

m

de 4 chiffres et renvoie en sortie la version cryptée de cette liste. Par exemple, crypte([4, 7, 1, 4]) renvoie [9, 2, 6, 9].

PROBLÈME - Intégrales de Fresnel

Dans ce problème, on étudie certaines intégrales et séries numériques reliées aux intégrales dites de Fresnel. Augustin Fresnel (1788-1827) démontra le caractère ondulatoire de la lumière et, pour cette raison, il est considéré comme un des fondateurs de l'optique moderne.

Partie I-Intégrales fonctions de leur borne

Dans cette partie, on définit la fonction

H

par l'expression

H(x) = \int_0^x e^(it^2) dt

, où

e^(it^2)

signifie

exp(it^2)

Q7. Démontrer que

H

est définie et de classe

C^\infty

sur

ℝ

. Donner une expression de

H^'(x)

.
Q8. Étudier la parité de la fonction

H

.
Q9. Démontrer que la fonction

t \mapsto e^(it^2)

est développable en série entière au voisinage de 0 . En déduire un développement en série entière de la fonction

H

au voisinage de 0 , en précisant l'intervalle sur lequel ce développement est valable.

Q10. Si

x > 0

, démontrer que:

H(x) = 1/2\int_0^(x^2)(e^(iu))/(\sqrtu) du

Q11. Pour

x > 4π^2

, en déduire que:

H(x) - H(\sqrt(2π)) = - i(e^(ix^2))/(2x) + i/(2\sqrt(2π)) - i/4\int_(2π)^(x^2)(e^(iu))/(u^(3/2))du.

Q12. En déduire que l'intégrale généralisée

\int_0^(+ \infty)e^(it^2) dt

converge.
Q13. Informatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction

I(f, a, b, n)

qui prend en entrée une fonction

f

à valeurs réelles ou complexes, deux réels

a

b

et un entier naturel

n

et qui renvoie une valeur approchée avec la méthode des rectangles de

\int_a^b f(t)dt

calculée avec

n

rectangles.

Q14. Informatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction

H(x, n)

qui prend en entrée un réel

x

et un entier naturel

n

et qui renvoie une valeur approchée de

H(x)

calculée avec la fonction de la question précédente. On rappelle que le code Python, pour

e^(it^2), estexp(1j^* t^(**)2)

Partie II - Calcul des intégrales de Fresnel

Dans cette partie, on étudie la fonction

g

d'expression :

g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(e^(- x^2(t^2 - i)))/(t^2 - i) dt

Pour cela, on pose

f(x, t) = (e^(- x^2(t^2 - i)))/(t^2 - i)

.
Q15. Si

(x, t) \in ℝ^2

, déterminer les modules des nombres complexes

e^(- x^2(t^2 - i))

t^2 - i

Q16. Démontrer que

g

est définie et continue sur

ℝ

(on pourra utiliser un argument de parité).
Q17. Soit

(x_n)_n

une suite divergente vers

+ \infty

. À l'aide du théorème de convergence dominée, démontrer que

lim_(n \to + \infty)g(x_n) = 0

. En déduire la limite de

g

+ \infty

et en

- \infty

Q18. Démontrer que

g

est de classe

C^1

sur

ℝ^*

Q19. On admet dans cette question que l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- t^2) dt

converge et est égale à

\sqrtπ

.
Vérifier que :

\forallx > 0, g^'(x) = - 2\sqrtπe^(ix^2)

Q20. Décomposer dans

ℂ(X)

la fraction rationnelle

1/(X^2 - i)

.
On admet ensuite que :

1/(X^2 - i) = (1 - i)/4 \times ((\sqrt2)/2 \times (2X - \sqrt2)/(X^2 - X\sqrt2 + 1) + i/(X^2 - X\sqrt2 + 1) - (\sqrt2)/2 \times (2X + \sqrt2)/(X^2 + X\sqrt2 + 1) + i/(X^2 + X\sqrt2 + 1))

Démontrer que

\int_(- \infty)^(+ \infty)1/(t^2 - \sqrt2t + 1) dt = π\sqrt2

. Donner la valeur de

\int_(- \infty)^(+ \infty)1/(t^2 + \sqrt2t + 1) dt

puis déterminer la valeur de

g(0)

Q21. En déduire que:

\forallx > 0, g(x) = ((1 + i)π)/(\sqrt2) - 2\sqrtπ \times H(x)

où la fonction

H

a été introduite dans la partie

I

.
Donner ensuite les valeurs de

\int_0^(+ \infty)e^(it^2) dt

, de

\int_0^(+ \infty)cos(t^2)dt

et de

\int_0^(+ \infty)sin(t^2)dt

Partie III - Étude d'une série de fonctions

Dans cette partie, on étudie la fonction

S

d'expression :

S(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(e^(inx))/(\sqrtn)

Pour tout entier naturel

n

non nul, on note

f_n

la fonction d'expression

f_n(x) = (e^(inx))/(\sqrtn)

.
Q22. On suppose que

(a_n)_(n \in ℕ^*)

est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et que

(b_n)_(n \in ℕ)

est une suite bornée. En admettant l'identité suivante:

\forallN \in ℕ^*, \sum_(n = 1)^N a_n(b_n - b_(n - 1)) = \sum_(n = 1)^N(a_n - a_(n + 1))b_n + a_(N + 1)b_N - a_1 b_0,

démontrer que la série

\suma_n(b_n - b_(n - 1))

converge.
Q23. Soient

x \in ]0, 2π[

n \in ℕ^*

. Démontrer que :

\sum_(k = 1)^n e^(ikx) = e^((i(n + 1)x)/2) \times (sin((nx)/2))/(sin(x/2))

Q24. À l'aide des deux questions précédentes, démontrer que

S

est définie sur

]0, 2π[

.
Q25. On admet dans cette question que si

k \in ℕ^*

x \in ]0, 2π[

|(e^(i(k + 1)x) - e^(ikx))/(ix\sqrtk) - \int_k^(k + 1)(e^(itx))/(\sqrtt) dt| \leq 1/(4k^(3/2))

Démontrer qu'il existe une constante

C > 0

telle que pour tout

x \in ]0, 2π[

|(e^(ix) - 1)/(ix)S(x) - \int_1^(+ \infty)(e^(itx))/(\sqrtt) dt| \leq C

Q26. Déterminer la limite, quand

x

tend vers

0^+

, de :

I(x) = \sqrtx\int_1^(+ \infty)(e^(itx))/(\sqrtt) dt

Q27. Déterminer la limite en

0^+

de la fonction

x \mapsto (e^(ix) - 1)/(ix)

. Donner alors un équivalent de

S(x)

quand

x

tend vers

0^+

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Maths 1 MP 2022 ?

L'exercice porte sur la loi géométrique, les fonctions génératrices et l'informatique pour tous. Le problème mobilise le théorème fondamental de l'analyse, les intégrales à paramètre, la convergence dominée, les éléments simples et les séries de fonctions.

Quelle est la moyenne du CCINP Maths 1 MP 2022 ?

Le rapport du jury indique une moyenne de 10,37 et un écart-type de 4,11.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées au CCINP Maths 1 MP 2022 ?

Une loi géométrique et des fonctions génératrices mal connues, le théorème fondamental de l'analyse oublié, des inégalités écrites entre nombres complexes et des calculs truqués pour retrouver le résultat de l'énoncé.

Le sujet CCINP Maths 1 MP 2022 est-il long ?

Non : le jury le juge progressif et de longueur très raisonnable, avec des questions largement indépendantes.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MP 2022

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