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Mines Mathématiques 2 MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Enveloppe convexe et points extrémaux du groupe orthogonal
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Le sujet étudie des propriétés géométriques du groupe orthogonal. Il montre que son enveloppe convexe est la boule unité fermée des matrices pour la norme subordonnée à la norme euclidienne, et que les matrices orthogonales sont exactement les points extrémaux de cette boule. Le chemin passe par le produit scalaire de matrices, la décomposition polaire, la projection sur un convexe compact et le théorème de Carathéodory.

  1. 1A. Produit scalaire de matricesExpression de la trace dans une base orthonormée, produit scalaire défini par la trace et positivité pour deux matrices symétriques positives.
  2. 2B. Décomposition polaireNorme d'une matrice via les valeurs propres de tAA, racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif et écriture A = US avec U orthogonale et S symétrique positive.
  3. 3C. Projeté sur un convexe compactExistence et unicité du projeté sur un convexe compact et caractérisation par une inégalité.
  4. 4D. Théorème de Carathéodory et compacitéEnveloppe convexe décrite par des combinaisons convexes d'au plus n+1 points, puis compacité de l'enveloppe convexe d'un compact.
  5. 5E. Enveloppe convexe de On(R)Inclusion dans la boule unité, puis égalité par un argument de séparation fondé sur la partie C et la décomposition polaire.
  6. 6F. Points extrémauxLes matrices orthogonales sont extrémales, et toute autre matrice de la boule s'écrit comme milieu de deux matrices distinctes de la boule.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie le sujet de classique, plusieurs questions étant des exercices habituels ou des points de cours, mais plusieurs ont été moins réussies qu'attendu.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Hypothèses non vérifiées en calcul matriciel · Matrice symétrique positive mal caractérisée · Injectivité, surjectivité et normes
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Sujet essentiellement d'algèbre, avec un peu de topologie dans les parties C et D. Il devait permettre aux candidats bien préparés de traiter une partie conséquente du problème. Les résultats sont en deçà des attentes, surtout par manque d'attention au contexte et de maîtrise des notions employées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Hypothèses non vérifiées en calcul matriciel3

    La diagonalisation simultanée a été utilisée alors que les matrices ne commutent pas, et la trace a été crue invariante par toute permutation d'un produit.

    « les matrices A et B n'avaient aucune raison de commuter »
  2. 2
    Matrice symétrique positive mal caractérisée4, 5

    La positivité n'a de sens que pour une matrice symétrique. Des coefficients diagonaux positifs, ou une trace et un déterminant positifs, ne suffisent pas.

    « il convient de prouver la symétrie avant la positivité »
  3. 3
    Injectivité, surjectivité et normes6, 7

    La bijectivité de la restriction repose sur le théorème du rang et la supplémentarité du noyau et de l'image. Égalité des normes d'opérateurs et égalité des normes de vecteurs ont été confondues.

  4. 4
    Projection sur un convexe traitée comme sur un sous-espace10, 11

    Beaucoup ont appliqué le théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel, sans vision géométrique du convexe compact.

    « Certains ont platement utilisé le théorème de la projection orthogonale comme si H était non un convexe compact mais un sous-espace vectoriel »
  5. 5
    Combinaisons convexes et double inclusion11, 12, 14

    La positivité des coefficients d'une combinaison convexe est souvent oubliée, et une seule inclusion est démontrée.

    « En outre, souvent seule l'une des deux inclusions a été démontrée. »
  6. 6
    Erreurs de topologie15, 16

    L'image réciproque d'un compact n'est pas forcément compacte, et le groupe orthogonal n'est ni l'ensemble des matrices de déterminant ±1 ni un sous-espace vectoriel.

    « l'image réciproque d'un compact n'est pas nécessairement compacte »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 a globalement été assez bien traitée.
  • La traduction matricielle de la question 9 a généralement été vue.
  • Les questions 13, 22 et 23 ont souvent été correctement traitées.

Conseils du jury

  • Travailler régulièrement des exercices et des devoirs : le jury estime que les candidats ont surtout manqué de pratique.
  • Refaire les exercices vus en classe puis en traiter de nouveaux en réfléchissant à l'articulation des raisonnements.
  • Distinguer clairement les normes utilisées d'une question à l'autre.
  • Démontrer les deux sens d'une équivalence et les deux inclusions d'une égalité d'ensembles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2013

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

Notations et définitions

Soit E un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie). On note ⟨, ⟩leproduitscalairedeE et ‖‖ la norme euclidienne associée. Si H est une partie de E, on appelle enveloppe convexe de H, notée conv(H), la plus petite partie convexe de E contenant H, c'est-à-dire l'intersection de tous les convexes de E contenant H.
Soit n un entier naturel ⩾ 2. On désigne par ℳ_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note I la matrice identité de ℳ_n(ℝ) et si A ∈ ℳ_n(ℝ), on note ^t A la matrice transposée de A et tr(A) la trace de A. On rappelle que le groupe orthogonal O_n(ℝ) de ℳ_n(ℝ) est l'ensemble des matrices U de ℳ_n(ℝ) telles que U^t U = I. On rappelle également qu'une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou nulles.
On pourra identifier ℝ^n et l'ensemble des matrices colonnes ℳ_(n, 1)(ℝ), que l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique de ℝ^n est orthonormée. On note ‖‖_2 la norme sur ℳ_n(ℝ) subordonnée à la norme euclidienne de ℝ^n : pour tout A ∈ ℳ_n(ℝ),
‖A‖_2 = sup_(X ∈ ℝ^n, ‖X‖ = 1)‖AX‖
Les parties A, B, C et D sont indépendantes.

A. Produit scalaire de matrices

On rappelle que tr(A) désigne la trace de la matrice A ∈ ℳ_n(ℝ).
  1. Montrer que pour toute base orthonormée (e_1, e_2, …, e_n) de ℝ^n, on a la formule tr(A) = ∑_(i = 1)^n⟨Ae_i, e_i⟩.
  2. Montrer que l'application (A, B) → tr(^t AB) définit un produit scalaire sur ℳ_n(ℝ), noté ⟨, ⟩.
On note ‖‖_1 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention du candidat est attirée sur le fait que ℳ_n(ℝ) est désormais muni de deux normes différentes ‖‖_1 et ‖‖_2.
3) Si A et B sont symétriques réelles positives, montrer que ⟨A, B⟩ ⩾ 0. On pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de B.

B. Décomposition polaire

Soit f un endomorphisme de E. On note A la matrice de f dans une base orthonormée de E, et on note f^∗ l'adjoint de f.
4) Montrer que ^t AA est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer ‖A‖_2 en fonction des valeurs propres de ^t AA.
5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif h de E tel que f^∗ ∘ f = h^2.
6) Montrer que la restriction de h à Imh induit un automorphisme de Imh. On notera cet automorphisme h~.
7) Montrer que ‖h(x)‖ = ‖f(x)‖ pour tout x ∈ E. En déduire que Kerh et (Imf)^⊥ ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme vdeKerh sur (Imf)^⊥ qui conserve la norme.
8) À l'aide de h~ et v, construire un automorphisme orthogonal u de E tel que f = u ∘ h.
9) En déduire que toute matrice A ∈ ℳ_n(ℝ) s'écrit sous la forme A = US, où U ∈ O_n(ℝ) et S est une matrice symétrique positive.
On admet que si A est inversible, cette écriture est unique.

C. Projeté sur un convexe compact

Soit H une partie de E, convexe et compacte, et soit x ∈ E. On note
d(x, H) = inf_(h ∈ H)‖x − h‖
  1. Montrer qu'il existe un unique h_0 ∈ H tel que d(x, H) = ‖x − h_0‖. On pourra utiliser pour h_0, h_1 dans H la fonction définie pour tout t ∈ ℝ par la formule q(t) = ‖x − th_0 − (1 − t)h_1‖^2.
  2. Montrer que h_0 est caractérisé par la condition ⟨x − h_0, h − h_0⟩ ⩽ 0 pour tout h ∈ H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu'à la question précédente.
    Le vecteur h_0 s'appelle projeté de x sur H.

D. Théorème de Carathéodory et compacité

Dans cette partie, on suppose que E est de dimension n. On dit que x ∈ E est une combinaison convexe des p éléments x_1, x_2, …, x_p ∈ E s'il existe des réels λ_1, λ_2, …, λ_p positifs ou nuls tels que
x = ∑_(i = 1)^p λ_i x_i et ∑_(i = 1)^p λ_i = 1.
  1. Montrer que l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E est constituée des combinaisons convexes d'éléments de H.
On souhaite montrer que l'enveloppe convexe conv(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H.
Soit x = ∑_(i = 1)^p λ_i x_i une combinaison convexe de x_1, x_2, …, x_p ∈ H avec p ⩾ n + 2.
13) Montrer qu'il existe p réels non tous nuls μ_1, μ_2, …, μ_p tels que
∑_(i = 1)^p μ_i x_i = 0 et ∑_(i = 1)^p μ_i = 0
On pourra considérer la famille ( x_2 − x_1, x_3 − x_1, …, x_p − x_1 ).
14) En déduire que x s'écrit comme combinaison convexe d'au plus p − 1 éléments de H et conclure que conv(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H.
On pourra considérer une suite de coefficients de la forme λ_i − θμ_i ⩾ 0, i ∈ {1, 2, …, p} pour un réel θ bien choisi.
15) Si H est une partie compacte de E, montrer que conv(H) est compacte. On pourra introduire l'ensemble compact de ℝ^(n + 1) défini par
Λ = {(t_1, …, t_(n + 1)), avec t_i ⩾ 0 pour tout i ∈ {1, …, n + 1} et ∑_(i = 1)^(n + 1)t_i = 1}

E. Enveloppe convexe de O_n(ℝ)

  1. Montrer que l'enveloppe convexe conv(O_n(ℝ)) est compacte.
On note ℬ la boule unité fermée de (ℳ_n(ℝ), ‖‖_2).
17) Montrer que conv(O_n(ℝ)) est contenue dans ℬ.
On suppose qu'il existe M ∈ ℬ telle que M n'appartient pas à conv(O_n(ℝ)). On note N le projeté de M sur conv(O_n(ℝ)) défini à la partie C pour la norme ‖‖_1, et on pose A = ^t(M − N). On écrit enfin A = US, avec U ∈ O_n(ℝ) et S symétrique réelle positive (question 9).
18) Montrer que pour tout V ∈ conv(O_n(ℝ)), tr(AV) ⩽ tr(AN) < tr(AM). En déduire que tr(S) < tr(USM).
19) Montrer que tr(MUS) ⩽ tr(S). On pourra appliquer le résultat de la question 1).
20) Conclure : déterminer conv(O_n(ℝ)).

F. Points extrémaux

Un élément A ∈ ℬ est dit extrémal dans ℬ si l'écriture A = 1/2(B + C), avec B, C appartenant à ℬ, entraîne A = B = C. Dans cette partie, on cherche à déterminer l'ensemble des points extrémaux de ℬ.
21) On suppose que U ∈ O_n(ℝ) s'écrit sous la forme U = 1/2(V + W), avec V, W appartenant à ℬ. Montrer que pour tout X ∈ ℝ^n, les vecteurs VX et WX sont liés. En déduire que U est extrémal dans ℬ.
Soit A appartenant à ℬ mais n'appartenant pas à O_n(ℝ).
22) Montrer que l'on peut écrire A sous la forme A = PDQ, où P et Q sont deux matrices orthogonales et où D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux d_1, d_2, …, d_n sont positifs ou nuls.
23) Montrer que d_i ⩽ 1 pour tout i ∈ {1, 2, …, n}, et qu'il existe j ∈ {1, 2, …, n} tel que d_j < 1.
24) En déduire qu'il existe deux matrices A_α et A_(− α) appartenant à ℬ telles que A = 1/2(A_α + A_(− α)). Conclure.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 MP 2013 ?

Sur les espaces euclidiens, les endomorphismes autoadjoints, le groupe orthogonal et les normes subordonnées, avec un peu de topologie : convexité et compacité.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Mines maths 2 MP 2013 ?

Des propriétés mal maîtrisées des matrices symétriques positives, la confusion entre projection sur un convexe et sur un sous-espace, l'oubli d'une inclusion et des erreurs sur la compacité.

Le sujet Mines MP 2013 maths 2 est-il classique ?

Oui selon le jury : plusieurs questions sont des exercices habituels ou des démonstrations de cours, mais elles ont été moins réussies qu'attendu.

Quel conseil le jury Mines maths MP 2013 donne-t-il pour se préparer ?

Le jury juge que les candidats ont surtout manqué de pratique et recommande de refaire puis de multiplier les exercices pour maîtriser les notions.

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