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X ENS Mathématiques B MP 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

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Présentation du sujet

Difficile
Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue et système de Schauder
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Le sujet définit l'exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue sur [0, 1] et étudie le module d'uniforme continuité. Il introduit ensuite le système de Schauder, reconstruit une fonction continue à partir de ses coefficients et majore ces coefficients à l'aide de l'exposant de Hölder. La dernière partie traite le problème inverse : déduire une minoration de l'exposant de Hölder à partir du comportement des coefficients de Schauder.

  1. 1Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuelEspaces de fonctions höldériennes en un point, premiers exemples et propriétés du module d'uniforme continuité.
  2. 2Deuxième partie : le système de SchauderFonctions de base affines par morceaux, reconstruction d'une fonction continue par une série uniformément convergente, projecteurs associés et contrôle des coefficients.
  3. 3Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuelProblème inverse : à partir de majorations des coefficients de Schauder, obtenir une information sur l'exposant de Hölder ponctuel.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de particulièrement long : aucun candidat ne l'a traité en entier, près de 30 % se sont arrêtés à la question 5d et la moyenne est de 7,86.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,86 / 20 · écart-type 4,04 · 1 419 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,86/ 20
Écart-type
4,04
Copies
1 419
moyenne 7,8605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre continuité et uniforme continuité · Premières questions mal rédigées · Borné en chaque point contre borné sur l'intervalle
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La première partie, classique, a été relativement bien réussie. La deuxième, la plus longue, a arrêté beaucoup de candidats, et ses questions 9b, 10a et 10b ont été très discriminantes. Le jury relève peu d'erreurs de cours, à l'exception d'une méconnaissance fréquente de l'uniforme continuité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre continuité et uniforme continuité3a, 4, 6

    Cette confusion a bloqué les candidats les plus faibles dès les questions 3 et 4. En question 6, la continuité en un point ne suffit pas.

    « il faut de l’uniformité. »
  2. 2
    Premières questions mal rédigées1

    Près d'un candidat sur quatre ne montre pas proprement qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel, en oubliant par exemple qu'il est non vide ou en majorant mal une valeur absolue.

    « Rappelons aux candidats que l’impression laissée après la correction des premières questions reste tout au long de la lecture de la copie »
  3. 3
    Borné en chaque point contre borné sur l'intervalle1b

    Déduire d'une limite finie du taux de variation que la borne supérieure est finie est une erreur fréquente.

  4. 4
    Absence de dessin5b, 5c, 5d, 7a

    Presque aucune copie ne représente les fonctions de Schauder, alors qu'un dessin facilitait les calculs et les justifications.

  5. 5
    Convergence uniforme mal établie7b, 8a

    Majorer la norme infinie d'une somme partielle ne prouve pas la convergence uniforme. Beaucoup oublient que les fonctions de base sont à supports disjoints.

  6. 6
    Formules de Taylor et linéarité oubliées8b, 10b

    Des formules de Taylor fausses ont coûté la question 8b. En 10b, beaucoup vérifient l'idempotence sans mentionner la linéarité.

Ce qui a été bien réussi

  • La monotonie en 3a a été bien justifiée par 90 % des candidats.
  • Les questions 1b et 5a ont été réussies par 76 % et 78 % des candidats.
  • 70 % des candidats ont trouvé le bon exposant en question 2 et un contre-exemple valable en 1c.
  • Le soin de la rédaction semble s'améliorer, avec beaucoup moins de pages raturées.

Conseils du jury

  • Faire un dessin des fonctions étudiées dès que possible.
  • Soigner particulièrement la rédaction des premières questions.
  • Traiter plusieurs questions consécutives dont des difficiles plutôt que grappiller : le barème pénalise cette stratégie.
  • Admettre les résultats difficiles pour avancer : les questions 12 à 15 de la troisième partie étaient plutôt faciles.
  • Justifier précisément chaque passage de calcul, sans renvoyer vaguement à des théorèmes généraux.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels.
On note C l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact [0, 1] et à valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie pour tout f ∈ C, par ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)|.
On note C_0 le sous-espace de C formé par les fonctions f telles que f(0) = f(1) = 0.
log_2 est la fonction définie pour t ∈ ]0, + ∞[, par log_2 t = (lnt)/(ln2), où ln est le logarithme népérien.

Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel

Soit x_0 ∈ [0, 1]. Pour tout s ∈ [0, 1[, on désigne par Γ^s(x_0) le sous-ensemble de C formé par les fonctions f qui vérifient :
sup_(x ∈ [0, 1]∖{x_0})(|f(x) − f(x_0)|)/(|x − x_0|^s) < + ∞
1a. Montrer que Γ^s(x_0) est un sous-espace vectoriel de C, puis que, pour tous réels s_1 et s_2 vérifiant 0 ≤ s_1 ≤ s_2 < 1, l'on a Γ^(s_2)(x_0) ⊂ Γ^(s_1)(x_0). Enfin, déterminer Γ^0(x_0).
1b. Soit f ∈ C. Si f est dérivable en x_0, montrer que f ∈ Γ^s(x_0) pour tout s ∈ [0, 1[.
1c. Montrer que pour tout x_0 ∈ ]0, 1[, il existe f ∈ C non dérivable en x_0 tel que pour tout s ∈ [0, 1[, f ∈ Γ^s(x_0).
Pour tout f ∈ C et tout x_0 ∈ [0, 1], on pose
α_f(x_0) = sup{s ∈ [0, 1[|f ∈ Γ^s(x_0)}
Le réel α_f(x_0) est appelé exposant de Hölder ponctuel de f en x_0; il permet de mesurer finement la régularité locale de f au voisinage du point x_0.
2. Soit p : [0, 1] → R, x ↦ √(|1 − 4x^2|). Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de p en 1/2.
Pour tout f ∈ C, on définit la fonction ω_f : [0, 1] → R_+par
ω_f(h) = sup{|f(x) − f(y)||x, y ∈ [0, 1] et |x − y| ≤ h}
3a. Montrer que ω_f est croissante, et continue en 0 .
3b. Montrer que pour tous h, h^′ ∈ [0, 1] tels que h ≤ h^′, ω_f vérifie
ω_f(h^′) ≤ ω_f(h) + ω_f(h^′ − h)
3c. En déduire que ω_f est continue sur [0, 1].
4a. Soit s ∈ [0, 1[. On suppose que la fonction h ↦ (ω_f(h))/(h^s) est bornée sur ]0, 1]. Pour tout x_0 ∈ [0, 1], montrer que f ∈ Γ^s(x_0).
4b. Soit q : [0, 1] → R définie par
{q(x) = xcos(π/x) pour x > 0; q(0) = 0
Montrer que pour tout x_0 ∈ [0, 1], α_q(x_0) = 1, mais que (ω_q(h))/(√h) ne tend pas vers 0 quand h tend vers 0 .

Deuxième partie : le système de Schauder

On note I = {(j, k) ∈ N^2|j ∈ N et 0 ≤ k < 2^j}; pour j ∈ N, on désigne par T_j l'ensemble
T_j = {k ∈ N|0 ≤ k < 2^j}
Pour tout (j, k) ∈ I, soit θ_(j, k) : [0, 1] → [0, 1] la fonction de C_0, définie pour tout x ∈ [0, 1] par
θ_(j, k)(x) = {1 − |2^(j + 1)x − 2k − 1| si x ∈ [k2^(− j), (k + 1)2^(− j)]; 0 sinon.
La famille des fonctions (θ_(j, k))_((j, k) ∈ I) est appelée le système de Schauder.
On note k˜_j(x) la partie entière du réel 2^j x, c'est donc l'unique entier tel que
k˜_j(x) ≤ 2^j x < k˜_j(x) + 1
5a. Montrer que pour tout j ∈ N et tout k ∈ T_(j + 1), il existe un unique entier k^′ ∈ T_j tel que
[k2^(− j − 1), (k + 1)2^(− j − 1)] ⊂ [k^′ 2^(− j), (k^′ + 1)2^(− j)].
On précisera le lien entre k et k^′.
5b. Calculer θ_(j, k)(ℓ2^(− j − 1)) pour tous j ∈ N, k ∈ T_j, ℓ ∈ T_(j + 1).
5c. Montrer que pour tout (j, k) ∈ I, la fonction θ_(j, k) est continue, affine sur chaque intervalle de la forme [ℓ2^(− n), (ℓ + 1)2^(− n)] où n > j et ℓ ∈ T_n.
5d. Prouver que pour tous (j, k) ∈ I et (x, y) ∈ [0, 1]^2, on a
|θ_(j, k)(x) − θ_(j, k)(y)| ≤ 2^(j + 1)|x − y|
Dans le reste de cette partie f est un élément de C_0.
Pour tout n ∈ N, soit S_n f la fonction de C_0 définie par
S_n f = ∑_(j = 0)^n∑_(k ∈ T_j)c_(j, k)(f)θ_(j, k)
où, pour tout (j, k) ∈ I, on a posé
c_(j, k)(f) = f((k + 1/2)2^(− j)) − (f(k2^(− j)) + f((k + 1)2^(− j)))/2.
  1. Montrer que lim_(j → + ∞)max_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)| = 0.
7a. Pour tout (j, k) ∈ I, (i, ℓ) ∈ I, calculer c_(j, k)(θ_(i, ℓ)).
7b. Soit a_(j, k) une famille de réels indexée par(j, k) ∈ I. On note b_j = max_(k ∈ T_j)|a_(j, k)|, et on suppose que la série ∑b_j est convergente.
Pour tout j ∈ N, soit f_j^a la fonction définie par
f_j^a(x) = ∑_(k ∈ T_j)a_(j, k)θ_(j, k)(x)
Montrer que la série ∑f_j^a est uniformément convergente sur [0, 1] vers une fonction noté f^a, qui appartient à C_0 et qui vérifie, pour tout (j, k) ∈ I, c_(j, k)(f^a) = a_(j, k).
8a. On suppose f de classe C^1. Montrer qu'il existe une constante M ≥ 0 telle que pour tous (j, k) ∈ I, |c_(j, k)(f)| ≤ M2^(− j).
En déduire que la suite de fonction S_n f est uniformément convergente sur [0, 1] lorsque n tend vers ∞.
8b. On suppose f de classe C^2. Montrer qu'il existe une constante M^′ ≥ 0 telle que pour tous (j, k) ∈ I, |c_(j, k)(f)| ≤ M^′ 4^(− j).
9a. Montrer que pour tout n ∈ N et tout ℓ ∈ T_(n + 1), la fonction S_n f est affine sur l'intervalle [ℓ2^(− n − 1), (ℓ + 1)2^(− n − 1)].
9b. Soit n ∈ N. On suppose que pour tout ℓ ∈ T_n, (S_(n − 1)f)(ℓ2^(− n)) = f(ℓ2^(− n)). Montrer que l'on a aussi que pour tout ℓ ∈ T_(n + 1), (S_n f)(ℓ2^(− n − 1)) = f(ℓ2^(− n − 1)).
On pourra distinguer les cas suivant la parité de ℓ.
9c. En déduire que pour tout n ∈ N et tout ℓ ∈ T_(n + 1), (S_n f)(ℓ2^(− n − 1)) = f(ℓ2^(− n − 1)).
10a. Déduire de la question 9 que pour tout f de C_0, lim_(n → + ∞)‖f − S_n f‖_∞ = 0.
10b. Soit n ∈ N. Montrer que S_n est un projecteur sur C_0, dont la norme subordonnée (à ‖ ⋅ ‖_∞ ) vaut 1 .
11a. Soit s ∈ ]0, 1[. Montrer que si a, b ≥ 0, alors a^s + b^s ≤ 2^(1 − s)(a + b)^s.
11b. Montrer que si f ∈ Γ^s(x_0) ∩ C_0, alors il existe un réel c_1 > 0, tel que pour tout (j, k) ∈ I, on a,
|c_(j, k)(f)| ≤ c_1(2^(− j) + |k2^(− j) − x_0|)^s

Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question 11b. Dans toute cette partie, on désigne par f ∈ C_0 une fonction vérifiant la propriété suivante:
(P_1) il existe x_0 ∈ [0, 1], s ∈ ]0, 1[ et c_1 ∈ ]0, + ∞[, tels que pour tout (j, k) ∈ I,
|c_(j, k)(f)| ≤ c_1(2^(− j) + |k2^(− j) − x_0|)^s
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les x_0, s et c_1 de la propriété P_1 et x ∈ [0, 1]∖{x_0}.
12. Montrer qu'il existe un unique n_0 ∈ N tel que 2^(− n_0 − 1) < |x − x_0| ≤ 2^(− n_0).
13. On rappelle que la notation k˜_j(x) a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose
W_j = ∑_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)||θ_(j, k)(x) − θ_(j, k)(x_0)|
Montrer que
W_j ≤ (|c_(j, k˜_j(x))(f)| + |c_(j, k˜_j(x_0))(f)|)2^(j + 1)|x − x_0|
14a. Montrer que pour j ≤ n_0 ( n_0 est déterminé dans la question 12), on a
W_j ≤ 4c_1 2^((1 − s)j)3^s|x − x_0|
14b. En déduire que, en posant c_2 = 8(2^(1 − s) − 1)^(− 1)(3/2)^s c_1,
∑_(j = 0)^(n_0)∑_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)||θ_(j, k)(x) − θ_(j, k)(x_0)| ≤ c_2|x − x_0|^s
  1. Montrer que pour tout j ∈ N, |c_(j, k˜_j(x_0))(f)| ≤ 2^(s(1 − j))c_1. En déduire, en posant c_3 = (1 − 2^(− s))^(− 1)2^s c_1,
∑_(j = n_0 + 1)^(+ ∞)∑_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)||θ_(j, k)(x_0)| ≤ c_3|x − x_0|^s
Dans la suite du problème, on suppose que ‖f‖_∞ = 1 et on rappelle que la fonction ω_f a été définie à la question 3 .
16. Montrer qu'il existe un unique n_1 ∈ N tel que ω_f(2^(− n_1 − 1)) < 2^(− n_0 s) ≤ ω_f(2^(− n_1)).
17. Montrer que pour tout n ≥ n_1, où n_1 est déterminé dans la question 16, on a
‖f − S_n f‖_∞ ≤ 2^(s + 1)|x − x_0|^s
On pourra utiliser les résultats des questions 9a et 9c.
18a. Montrer que lorsque n_0 < n_1, on a,
∑_(j = n_0 + 1)^(n_1)∑_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)||θ_(j, k)(x)| ≤ c_1 3^s(n_1 − n_0)|x − x_0|^s.
On suppose de plus dans la suite que la fonction ω_f vérifie la propriété suivante :
(P_2) pour tout entier N ≥ 1, il existe un réel c_4(N) > 0, tel que pour tout h ∈ ]0, 1],
ω_f(h) ≤ c_4(N)(1 + |log_2 h|)^(− N)
18b. Pour tout entier N ≥ 1, on pose c_5(N) = 3^s c_1(c_4(N))^(1/N). Montrer que
n_1 − n_0 ≤ n_1 + 1 ≤ ((c_4(N))/(ω_f(2^(− n_1))))^(1/N)
et en déduire
∑_(j = n_0 + 1)^(n_1)∑_(k ∈ T_j)|c_(j, k)(f)||θ_(j, k)(x)| ≤ c_5(N)|x − x_0|^((1 − 1/N)s).
  1. Déduire de ce qui précède que α_f(x_0) ≥ s.
On pourra distinguer les cas n_0 ≥ n_1 et n_0 < n_1.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths B X MP 2013 ?

Sur l'uniforme continuité et le module d'uniforme continuité, les bornes supérieures, les formules de Taylor, la convergence normale et uniforme des séries de fonctions et les projecteurs.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X MP 2013 ?

La confusion entre continuité et uniforme continuité, des premières questions mal rédigées, l'absence de dessins, des preuves de convergence uniforme incomplètes et des formules de Taylor fausses.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B X MP 2013 ?

La moyenne est de 7,86 sur 1419 copies, avec un écart-type de 4,04. La note maximale a été de 19.9.

Le sujet de maths B X MP 2013 est-il trop long ?

Oui, aucun candidat ne l'a traité en entier en 4 heures. Le jury conseille d'admettre certains résultats pour aborder la troisième partie, dont plusieurs questions étaient accessibles.

Pas de description pour le moment