ENS Mathématiques C MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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BanqueX-ENS Année2023 FilièreMP/MPI MatièreMathématiques

Annales X-ENS MP/MPI Mathématiques X-ENS MP/MPI 2023 MP/MPI Mathématiques Mathématiques 2023

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Présentation du sujet

Difficile

Équations et inclusions différentielles : théorèmes d'Arzelà-Ascoli et de Cauchy-Peano

Le sujet part de la résolution explicite de deux équations différentielles non linéaires, ramenées à des équations linéaires par changement de fonction. Il démontre ensuite le théorème de compacité d'Arzelà-Ascoli, puis l'utilise avec un schéma d'Euler pour établir le théorème de Cauchy-Peano. La dernière partie étudie l'unicité des solutions d'inclusions différentielles.

1Partie I : premiers exemplesRésolution explicite de deux équations différentielles non linéaires scalaires, encadrement de la solution et développements limités.
2Partie II : un théorème de compacitéDémonstration du théorème d'Arzelà-Ascoli par extractions successives et procédé diagonal de Cantor.
3Partie III : existence de solutionsThéorème de Cauchy-Peano par un schéma d'Euler et le théorème d'Arzelà-Ascoli, puis exemple de non-unicité.
4Partie IV : inclusions différentiellesUnicité des solutions maximales par un argument de type Gronwall et étude de deux exemples.

Difficile. Le jury juge le problème relativement long, fondé sur des raisonnements parfois difficiles d'analyse et de topologie, et aucune copie ne l'a résolu entièrement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,8 / 20 · écart-type 3,85 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,8/ 20
Écart-type: 3,85

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Inégalités strictes ou larges non justifiées · Équivalents à la place des développements limités · Extractions de sous-suites mal rédigées

L'épreuve testait les outils classiques d'analyse : analyse réelle, convergence uniforme, compacité et équations différentielles linéaires. Les meilleures copies ont traité presque entièrement les parties I à III, mais la partie IV n'a été abordée sérieusement que par très peu de candidats. Le jury signale deux erreurs d'énoncé, en II.6(b) et en IV.3, et a adapté le barème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Inégalités strictes ou larges non justifiéesI.1, I.2
Le jury sanctionne les raisonnements informels en analyse réelle, notamment sur le caractère strict ou large des inégalités.
2
Équivalents à la place des développements limitésI.3(a), I.3(b)
Dans les questions I.3, remplacer les développements limités par des équivalents s'est révélé risqué.
3
Extractions de sous-suites mal rédigéesII.5(a), II.5(b)
La composition des extractions est mal comprise, et l'argument sur la suite extraite en II.5(b) est souvent remplacé par un raisonnement faux.
« De trop nombreuses copies ont proposé un argument faux fondé sur de vagues suites croissantes. »
4
Négation mal écrite dans un raisonnement par l'absurdeII.3, II.7(b)
Écrire correctement la négation de la propriété à démontrer, avec les quantificateurs à leur place, était déjà valorisé.
« Le jury a regretté de voir tant de copies écrire la négation de manière erronée »
5
Continuité de la limite sans équicontinuitéII.7(a)
La convergence simple d'une suite de fonctions continues ne suffit pas à rendre la limite continue.
6
Uniformité en N oubliéeIII.1, III.3, III.6
Les bornes et constantes de Lipschitz du schéma d'Euler devaient être uniformes en N, et le passage à la limite dans l'intégrale devait être justifié.

Ce qui a été bien réussi

Les questions I.1(a) et I.1(c) sont en général bien traitées.
Les développements limités des questions I.3(a) et I.3(b) sont dans l'ensemble bien réalisés.
La question II.6(a) est en général bien traitée.
Les rares copies ayant repéré l'erreur de la question II.6(b) se sont révélées les meilleures de l'épreuve.

Conseils du jury

Rédiger avec clarté, précision et rigueur, même sur les questions élémentaires.
Annoncer honnêtement une piste de démonstration quand les arguments précis manquent.
Vérifier les hypothèses de tout résultat du programme avant de l'invoquer.
Ne pas se limiter aux questions faciles de chaque partie : cette stratégie a été peu récompensée.
Utiliser un brouillon et soigner la présentation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

VENDREDI 21 AVRIL 2023 08h00-12h00

FILIERES MP et MPI Epreuve n

^\circ9

MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Définitions et notations

Soit

d \in ℕ^*

un entier strictement positif.

On dit qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé est relativement compacte si elle est incluse dans un compact.
Sur $ℝ^d$ , on notera $⟨.,$ . $é ⟩leproduitscalaireusuel, définipar⟨x, y⟩ = \sum_(i = 1)^d x_i y_i$ pour tous $x = (x_1, \dots, x_d)$ et $y = (y_1, \dots, y_d)$ . On notera également $‖‖$ la norme associée à ce produit scalaire.
Pour $K \subset ℝ^n$ un compact, on note $C(K, ℝ^d)$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $K$ dans $ℝ^d$ que l'on munit de la norme $‖f‖_\infty = sup_(x \in K)‖f(x)‖$ .
On dit qu'une partie $A$ de $C(K, ℝ^d)$ est équicontinue en $x \in K$ si :

\forallε > 0, \existsr > 0, tel que \forallf \in A, \forally \in B(x, r), ‖f(x) - f(y)‖ ⩽ ε

où

B(x, r)

désigne la boule ouverte de

ℝ^n

centrée en

x

et de rayon

r

.
On dit que

A

est équicontinue si elle est équicontinue en tout point

x \in K

On s'intéresse dans tout le sujet au problème de Cauchy suivant :

{y^′(t) = F(y(t)); y(0) = y_(init)

avec

F

une fonction sur

Ω

un ouvert de

ℝ^d

à valeurs dans

ℝ^d

y_(init) \in Ω

.
On dit que ce problème de Cauchy admet une solution si il existe

T \in ]0, + \infty]

et une fonction

φ : [0, T[ \to ℝ^d

dérivable telle que

φ(0) = y_(init), φ([0, T[) \subset Ω

et vérifiant

φ^'(t) = F(φ(t))

pour tout

t \in [0, T[

. On dit que

(φ, T)

est une solution du problème de Cauchy.

On dira que (

φ, T

) est une solution maximale du problème de Cauchy (1), si (

φ, T

) est une solution et s'il n'existe pas de solution (

ψ, T^'

) qui vérifie

T < T^'

\forallt \in [0, T[, ψ(t) = φ(t)

. Si

T = + \infty

on dira que

φ

est une solution globale.

Dans tout le sujet on admet que toute solution peut-être prolongée en solution maximale.

Les parties I et II sont indépendantes, la partie IV est indépendante des autres parties.

I - Premiers exemples

Dans cette partie, on admet que toutes les équations proposées admettent une unique solution et que celle-ci est globale. De plus on considère uniquement le cas

d = 1

. Soient

a, θ > 0

0 < y_(init) < θ

On considère le problème de Cauchy associé à $F_0$ définie par :

\forally \in ]0, + \infty[, F_0(y) = ayln(θ/y)

On note

φ_0

la solution de ce problème sur

[0, + \infty[

.
(a) Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que pour tout

t \in ]0, ε]

on a

y_(init) < φ_0(t) < θ

.
(b) En considérant la fonction

z_0(t) = ln(φ_0(t)/θ)

trouver l'expression de

φ_0

.
(c) En déduire que

φ_0

vérifie

y_(init) < φ_0(t) < θ

pour tout

t \in ]0, + \infty[

et que de plus

φ_0

est strictement croissante.
2. Pour

0 < μ ⩽ 1

, on considère

F_μ

définie par :

\forally \in ]0, + \infty[, F_μ(y) = a/μy(1 - (y/θ)^μ).

En considérant la fonction

z_μ(t) = φ_μ(t)^(- μ)

trouver l'expression de la solution

φ_μ

sur

[0, + \infty[

associée à

F_μ

.
3. (a) Montrer que

F_μ

converge simplement vers

F_0

lorsque

μ

tend vers 0 .
(b) Montrer que

φ_μ

converge simplement vers

φ_0

lorsque

μ

tend vers 0 .

II - Un théorème de compacité

Dans cette section, on considère

K

un compact de

ℝ

. On rappelle que l'espace vectoriel

C(K, ℝ^d)

est muni de la norme

‖‖_\infty

Soit $k > 0$ et $B$ l'ensemble des fonctions de $K$ dans $ℝ^d$ qui sont $k$ -lipschitziennes. Montrer que $B$ est équicontinue.

Soit

A

une partie de

C(K, ℝ^d)

. On cherche à montrer dans la suite de cette partie le théorème suivant :

Théorème 1 : Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(P1) A est relativement compacte.
(P2) A est équicontinue et pour tout $x \in K$ , l'ensemble $A(x) = {f(x)|f \in A}$ est borné.

Montrer qu'une partie $A \subset C(K, ℝ^d)$ est relativement compacte si et seulement si toute suite $(f_n)_(n \in ℕ) \in A^ℕ$ admet une sous-suite qui converge uniformément vers une limite $f \in C(K, ℝ^d)$ .
En raisonnant par l'absurde, montrer que si $A$ est relativement compacte alors $A$ est équicontinue.
Montrer que $(P1) \Rightarrow (P2)$ .

On suppose maintenant que

A

vérifie

(P2)

. On considère

(f_n)_(n \in ℕ)

une suite d'éléments de

A

.
5. Soit

(x_p)_(p ⩾ 0)

une suite d'éléments de

K

.
(a) Montrer qu'il existe une suite

(φ_p)_(p \in ℕ)

de fonctions strictement croissantes de

ℕ

dans

ℕ

telle que pour tout

p ⩾ 0, f_(ψ_p(n))(x_p)

converge lorsque

n

tend vers l'infini avec

ψ_0 = φ_0

ψ_p = ψ_(p - 1) \circ φ_p

pour

p ⩾ 1

.
(b) Montrer que pour tout

p ⩾ 0, f_(ψ_n(n))(x_p)

converge lorsque

n

tend vers l'infini.
6. (a) Montrer que l'on peut extraire de la suite

(f_n)_(n \in ℕ)

une sous-suite qui converge simplement sur

ℚ \cap K

. On notera

(g_n)_(n \in ℕ)

cette extraction.
(b) Pour

x \in K

, montrer que

(g_n(x))_(n \in ℕ)

admet une unique valeur d'adhérence notée

g(x)

et conclure sur la convergence simple de la suite

(g_n)_(n \in ℕ)

sur

K

vers

g

.
7. (a) Montrer que

g

est continue sur

K

.
(b) Montrer que la suite

(g_n)_(n \in ℕ)

converge uniformément vers

g

sur

K

. (Indication : on pourra raisonner par l'absurde.)
(c) En déduire que

(P2) \Rightarrow (P1)

III - Existence de solutions

On considère dans cette partie que la fonction

F

est continue et

y_(init) \in Ω

. Pour tout

r ⩾ 0

, on note

B_r

la boule fermée de centre

y_(init)

et de rayon

r

Montrer que l'on peut choisir $r > 0$ et $T > 0$ tels que $B_r \subset Ω$ et tels que pour tout $N \in ℕ^*$ , on puisse définir par récurrence, en posant $Δt = T/N$ , une suite $(y_n)_(0 ⩽ n ⩽ N)$ à valeurs dans $B_r$ telle que:

y_0 = y_(init), y_(n + 1) = y_n + ΔtF(y_n), ∀n ∈ {0, ⋯, N − 1}

Montrer alors que l'on peut construire une unique fonction $φ_N$ continue sur $[0, T]$ , affine sur chaque intervalle $[nΔt, (n + 1)Δt]$ pour tout $n \in {0, \dots, N - 1}$ et telle que $φ_N(nΔt) = y_n$ pour tout $n \in {0, \dots, N}$ .
Montrer, à l'aide du Théorème 1, qu'il existe une sous-suite de $φ_N$ qui converge uniformément sur $[0, T]$ vers une fonction continue $φ$ .
Montrer que l'on peut définir une suite de fonctions en escalier $ψ_N : [0, T] \to ℝ^d$ telle que $ψ_N(t) = φ_N(t)$ pour $t \in {nΔt|n \in {0, \dots, N}}$ et telle que :

\forallN \in ℕ^*, φ_N(t) = y_(init) + \int_0^t F(ψ_N(s))ds pour tout t \in [0, T]

On précisera l'expression des fonctions

ψ_N

.
5. En déduire qu'il existe une sous-suite de

ψ_N

qui converge uniformément sur

[0, T]

et préciser sa limite.
6. Montrer que (

φ, T

) est solution du problème de Cauchy (1) et en déduire le théorème suivant :

Théorème 2: Si F est une fonction continue, alors il existe au moins une solution du problème de Cauchy (1).
7. On considère le cas particulier pour

d = 1

donné pour tout

y \in ℝ

par

F(y) = 3|y|^(2/3)

y_(init) = 0

. Montrer que ce problème de Cauchy admet une infinité de solutions globales.

IV - Inclusions Différentielles

On s'intéresse maintenant à une extension du problème de Cauchy (1). On considère cette fois

F : ℝ^d \to P_c(ℝ^d)

à valeurs dans l'ensemble

P_c(ℝ^d)

des parties compactes de

ℝ^d

. On considère alors le problème d'inclusion différentielle défini par :

{y^′(t) ∈ F(y(t)); y(0) = y_(init)

On s'intéresse aux solutions de ce problème qui sont continues et

C^1

par morceaux. Pour

T \in ]0, + \infty]

, on dira que (

φ, T

) est une solution de (2) si il existe

N \in ℕ^*

0 = t_0 < \dots < t_N = T

tels que :
(i)

φ

est continue sur

[0, T[

.
(ii) Pour tout

i \in {0, \dots, N - 1}, φ

soit

C^1

sur

]t_i, t_(i + 1)[

φ^'

admette une limite à droite en

t_i

et si

i \neq 0

une limite à gauche en

t_i

.
(iii) Pour tout

i \in {0, \dots, N - 1}

et tout

t \in ]t_i, t_(i + 1)[

, on a

φ^'(t) \in F(φ(t))

.
(iv) Pour tout

i ∈ {0, ⋯, N − 1}, lim_(t → t_i^+)φ^′(t) ∈ F(φ(t_i))

et si

i \neq 0, lim_(t \to t_i^-)φ^'(t) \in F(φ(t_i))

.
(v)

φ(0) = y_(init)

On utilisera comme dans le cas du problème (1) les notions de solutions maximales et globales.

Montrer que si pour tout compact $K \subset ℝ^d$ , il existe $C_K > 0$ telle que $F$ vérifie :

\forallx, y \in K, \forallv_x \in F(x), \forallv_y \in F(y), ⟨v_x - v_y, x - y⟩ ⩽ C_K‖x - y‖^2

alors, le problème (2) admet au plus une solution maximale. (Indication : On pourra regarder

‖X(t) - Y(t)‖^2

pour

X

Y

deux solutions)

Dans toute la suite, on considère le problème d'inclusion différentielle donné par

d = 2

F : ℝ^2 \to P_c(ℝ^2)

définie pour tout

x = (x_1, x_2) \in ℝ^2

par :

F(x) = {{v^−}, si x_1 < 0; {v^+}, si x_1 > 0; [v_1^+, v_1^−] × [v_2^+, v_2^−], si x_1 = 0

où

v^- = (v_1^-, v_2^-) \in ℝ^2

v^+ = (v_1^+, v_2^+) \in ℝ^2

avec

v_1^- ⩾ v_1^+

v_2^- ⩾ v_2^+

.
2. On pose

v^- = (1, 2)

v^+ = (- 1, 2)

.
(a) Montrer que

F

vérifie la condition (3).
(b) On choisit

y_(init) = (0, 0)

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit

y_(init) = (1, 0)

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
3. On pose

v^- = (0, 1)

v^+ = (1, 1)

.
(a) Montrer que

F

ne vérifie pas la condition (3).
(b) On choisit

y_(init) = (1, 0)

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit

y_(init) = (0, 0)

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths C ENS MP MPI 2023 ?

Sur les équations différentielles, la convergence uniforme des suites de fonctions, la compacité dans les espaces vectoriels normés et l'analyse réelle. Le sujet démontre les théorèmes d'Arzelà-Ascoli et de Cauchy-Peano.

Quelle est la moyenne de l'épreuve maths C ENS 2023 ?

La moyenne est de 9,8 sur 20 avec un écart-type de 3,85, et les notes vont de 0 à 20.

Quelles erreurs le jury de maths C ENS 2023 a-t-il relevées ?

Des inégalités mal justifiées, des extractions de sous-suites mal rédigées, des négations fausses dans les raisonnements par l'absurde et des passages à la limite imposés sans justification.

Le sujet de maths C ENS 2023 contenait-il des erreurs d'énoncé ?

Oui, le jury en reconnaît deux, en question 6(b) de la partie II et en question 3 de la partie IV. Il n'a pas pénalisé les candidats sur le premier point.

Pas de description pour le moment

Commentaires• ENS Mathématiques C MP MPI 2023

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