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Présentation du sujet

Difficile
Rang en algèbre : propriétés de finitude des groupes abéliens et anneaux commutatifs, déterminants sur un anneau quelconque, et matrices de petit rang
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Le sujet étudie la notion de rang en algèbre à travers deux propriétés de finitude : (F) pour les groupes abéliens et (TF) pour les anneaux commutatifs, qui généralisent la dimension finie des espaces vectoriels. Il utilise (TF) pour étendre aux anneaux commutatifs quelconques des propriétés classiques du déterminant, valables sur un corps, puis pour définir une notion d'équivalence de matrices sur Z plus fine que sur Q. Une dernière partie, indépendante des autres, détermine la dimension maximale d'un sous-espace de matrices de rang borné.

  1. 1Partie I : exemples et contre-exemples pour les propriétés (F) et (TF)Premières propriétés des anneaux (F) et (TF), avec exemples et contre-exemples.
  2. 2Partie II : comportement de (F) et (TF) vis-à-vis des morphismesCaractérisation de (F) et (TF) par l'existence d'un morphisme surjectif, et stabilité de (F) par passage à un sous-groupe.
  3. 3Partie III : déterminants sur un anneau commutatifExtension aux anneaux commutatifs quelconques des formules classiques liant déterminant et comatrice, puis caractérisation matricielle des applications linéaires surjectives.
  4. 4Partie IV : équivalence de matrices sur Z et sur CDéfinition d'une équivalence de matrices sur Z plus fine que sur Q, et condition nécessaire et suffisante portant sur le pgcd des mineurs.
  5. 5Partie V : sous-espaces de matrices de petit rangMajoration de la dimension d'un sous-espace de matrices dont tous les éléments sont de rang au plus r.

Difficile. Sur 1351 candidats, la moyenne est de 6,7/20 (médiane 5,3/20) et plus d'un tiers des copies obtiennent moins de 4/20, alors même que l'énoncé avait été conçu pour être très guidé et sans question bloquante.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,7 / 20 · écart-type 4,76 · 1 351 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
6,7/ 20
Écart-type
4,76
Présents
1 351
Médiane
5,3
moyenne 6,705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Première question vraiment discriminante · Confusion entre groupe abélien et espace vectoriel · Question la plus difficile du sujet quasiment jamais résolue
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Le jury avait délibérément choisi un énoncé très guidé et sans question bloquante, ce qui a pu faire apparaître le sujet comme plus facile qu'à l'accoutumée et a permis à une plus grande partie des copies de traiter l'ensemble du problème. La correction a surtout récompensé les rédactions précises et complètes plutôt que les arguments juste esquissés, et n'a attribué de points qu'aux questions entièrement traitées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Première question vraiment discriminanteQ5 (partie I)

    La question 5 de la partie I n'a pas été réussie par une majorité de copies : le raisonnement par l'absurde a souvent été entamé mais non mené à terme, ou rédigé de façon insuffisamment concise et précise.

  2. 2
    Confusion entre groupe abélien et espace vectorielQ3c (partie II)

    De nombreuses confusions sont apparues entre les structures de groupe abélien Zr et d'espace vectoriel sur Qr, notion pourtant définie au programme de CPGE uniquement dans le cadre des espaces vectoriels.

  3. 3
    Question la plus difficile du sujet quasiment jamais résolueQ2 (partie IV)

    La question sur le pgcd des mineurs de matrices équivalentes a révélé que la notion de mineurs n'est pas maîtrisée : elle n'a été parfaitement traitée que dans une seule copie sur 1351.

    « Cette question est sans aucun doute la plus difficile du problème. »
  4. 4
    Passage au corps des fractions non envisagéQ2a (partie III)

    Une proportion trop faible de copies pense à passer au corps des fractions pour généraliser les formules du déterminant, alors que ce plongement est rappelé dans le préambule ; les preuves alternatives, qui nécessitent souvent une division par 2, ne sont pas valables en caractéristique 2.

  5. 5
    Erreurs conceptuelles sur la structure des groupes et anneaux

    Certaines affirmations ont surpris les correcteurs, comme l'idée que tout groupe abélien serait de la forme Zn ou que tout anneau intègre serait un corps.

    « On a notamment pu lire que tout groupe abélien était de la forme Zn, que tout groupe abélien fini était de la forme Z/nZ. »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I ne présentait pas de difficulté majeure, à part la question 5.
  • La question 1 de la partie I a souvent été bien traitée lorsque la définition de sous-groupe engendré par une partie était connue.
  • La question 3.a) de la partie III, assez classique, a été réussie par une majorité des copies qui l'ont abordée.
  • Traiter entièrement entre trois et quatre parties permettait d'être dans les cent meilleures copies.

Conseils du jury

  • Soigner la rédaction précise plutôt que de se contenter d'arguments juste esquissés : c'est ce que récompense la correction.
  • Rester concis sans sacrifier la précision : éviter les développements inutiles ou de redémontrer des résultats déjà au programme.
  • Ne pas confondre déduction et implication, et éviter d'abréger « donc » par le symbole « ⇒ ».
  • Persévérer sur les questions d'une partie plutôt que de grappiller uniquement les questions les plus faciles de chaque partie, stratégie qui ne permet jamais d'obtenir une bonne note.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

JEUDI 20 AVRIL 2023 08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve n ^∘7

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 6 pages, numérotées de 1 à 6 .

Début de l'épreuve.

Notations et conventions :

Soit A un anneau commutatif dont on note 1 l'élément unité. Par convention, on pose x^0 = 1 pour tout x de A. On rappelle que A est dit intègre s'il n'est pas réduit à {0} et si l'égalité xy = 0 avec x, y ∈ A implique x = 0 ou y = 0. Tout anneau intègre est un sous-anneau de son corps des fractions Frac A.
On note Z[X_1, …, X_r] l'anneau (dont on supposera connu qu'il est intègre) des polynômes en n indéterminées à coefficients entiers. Un tel polynôme s'écrit par définition de manière unique comme une somme finie de monômes de la forme αX_1^(i_1)X_2^(i_2)…X_r^(i_r) avec α ∈ Z (où les multi-indices (i_1, i_2, …, i_r) ∈ N^r sont deux à deux distincts) ce qui permet pour tout anneau commutatif A et tout élément F ∈ Z[X_1, …, X_r] de définir une fonction ( a_1, …, a_r ) ↦ F(a_1, …, a_r) de A^r dans A.
Si A est un anneau commutatif et r, s des entiers strictement positifs, on note M_(r, s)(A) le groupe additif des matrices à coefficients dans A possédant r lignes et s colonnes et pour tout entier n > 0, on note M_n(A) = M_(n, n)(A) l'anneau des matrices carrées de taille n à coefficients dans A. On note I_n la matrice identité de M_n(A). Soit M ∈ M_n(A), on note M˜ la transposée de la comatrice de M. On rappelle que si A est un corps, on a :
MM˜ = M˜M = (detM)I_n
et également dans ce cas det(MN) = detM.detN pour toutes matrices M, N de M_n(A). Si E est un espace vectoriel sur un corps commutatif K, on note E^∨ le dual de E; pour tout sous-espace vectoriel F de E^∨, on note F^⊥ le sous-espace de E constitué des vecteurs x tels que u(x) = 0 pour tout u de F.
Soit (M, +) un groupe abélion. On dit que M a la propriété (F) s'il existe une partie finie S de A telle que S engendre le groupe M. Si A est un anneau, on dit qu'il a la propriété ( F ) si son groupe additif ( A, + ) a cette proprićté.
Soient A un anneau commutatif et S une partie de A. On note A(S) l'ensemble des éléments x de A qui s'écrivent comme un polynôme à coefficients entiers en des éléments de S, c'est-à-dire des x ∈ A tels qu'il existe un entier r ≥ 1, des éléments s_1, …, s_r de S, et un polynôme F ∈ Z[X_1, …, X_r] tels que x = F(s_1, …, s_r). L'ensemble A(S) est un sous-anneau de A (on ne demande
pas de le vérifier). On dit qu'un anneau commutatif A a la propriété ( TF ) s'il existe une partie finie S de A telle que A = A(S).
Le but général du problème est d'étudier des propriétés de finitude dans les groupes abéliens et les anneaux commutatifs qui étendent la notion d'espace vectoriel de dimension finie (parties I et II), puis d'en déduire des applications aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque (parties III et IV). La partie V (indépendante des autres) détermine la dimension maximale de sous-espaces de matrices dont tous les éléments sont de "petit" rang.
Les diverses parties du problème sont très largement indépendantes les unes des autres; il est autorisé d'admettre le résultat d'une question pour résoudre une question ultérieure.

Partic I : Exemples et contre-exemples pour les propriétés (F) et (TF)

  1. Soit A un anneau commutatif. Montrer que si A a la propriété (F), alors il a la proprićté (TF).
  2. Soit A un anneau commutatif. Soient S_1 et S_2 deux parties de A telles que S_1 ⊂ A(S_2). Montrer que A(S_1) ⊂ A(S_2).
  3. Montrer que tout groupe abélien fini et le groupe additif Z^r pour r ∈ N^∗ ont la propriété (F).
  4. Montrer que si n est un entier strictement positif, l'anneau Z[X_1, …, X_n] a la propriété (TF), mais pas la propriété (F).
  5. Montrer que l'anneau Q des nombres rationnels n'a pas la propriété (TF).

Partie II : Comportement des propriétés (F) et (TF) vis à vis des morphismes

  1. Soit f : A → B un morphisme d'anneaux commutatifs. Soit F un élément de Z[X_1, …, X_n]. Montrer qu'on a f(F(a_1, …, a_n)) = F(f(a_1), …, f(a_n)) pour tous a_1, …, a_n ∈ A.
  2. Soit B un anneau commutatif. Soient n un entier strictement positif et b_1, …, b_n des éléments de B.
    a) Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux f de Z[X_1, …, X_n] dans B tel que f(X_i) = b_i pour tout i ∈ {1, …, n}.
    b) En déduire que B a la propriété (TF) si et seuloment s'il existe un entier n ≥ 1 et un morphisme surjectif d'anneaux Z[X_1, …, X_n] → B.
    c) Montrer qu'un groupe abélien M a la propriété (F) si et seulement s'il existe un entier r ≥ 1 et un morphisme surjectif de groupes Z^r → M.
    d) Soient A et B des anneaux commutatifs tels qu'il existe un morphisme surjectif d'anneaux de A vers B. Montrer que si A a la propriété (TF), alors il en va de même de B. Énoncer et démontrer un énoncé analogue pour la propriété (F).
  3. Soit M un sous-groupe additif de Z^n avec n ∈ N (on convient que Z^0 est le groupe trivial). On se propose de démontrer par récurrence sur n le résultat suivant :
    (^∗) Il existe r ∈ N tel que le groupe abélien M soit isomorphe à Z^r.
    a) Vérifier les cas n = 0 et n = 1. On suppose maintenant le résultat vrai pour n − 1. Soit p : Z^n → Z la projection sur la première coordonnée, on note N le noyau de p et N_1 = M ∩ N, puis on pose p(M) = aZ avec a ∈ Z. On choisit e_1 ∈ M tel que p(e_1) = a. Montrer que si a ≠ 0, alors l'application
N_1 × Z → M, (x, m) ↦ x + me_1
est un isomorphisme de groupes.
b) En déduire (*).
c) Montrer que l'entier r tel que M soit isomorphe à Z^r est unique (on pourra considérer le rang d'une famille de vecteurs de Z^r dans le Q-espace vectoriel Q^r ).
4. Montrer que si un groupe abélien M a la propriété (F), alors tout sous-groupe de M l'a également.
5. On considère l'anneau A = Z[X, Y]. Soit U l'ensemble des éléments de A de la forme XY^k avec k ∈ N, on pose B = A(U). Soit S une partie finie de B.
a) Montrer qu'il existe m ∈ N^∗ tel que A(S) ⊂ A({X, XY, …, XY^m}).
b) Montrer qu'il existe un entier N > 0 tel que tout élément de A(S) soit somme de monômes de la forme αX^i Y^j avec α ∈ Z et j ≤ iN.
c) En déduire que l'anneau B n'a pas la propriété (TF).

Partie III : Déterminants sur un anneau commutatif

Dans toute cette partie, on désigne par A un anneau commutatif. On note A^∗ le groupe multiplicatif des éléments inversibles de A.
  1. Soit E un sous-ensemble fini de M_n(A). Montrer qu'il existe un sousanneau B de A tel que : B a la propriété (TF) et pour toute matrice M ∈ E, tous les coefficients de M appartiennent à B.
  2. Soit M une matrice de M_n(A). Le but de cette question est de généraliser à l'anneau commutatif quelconque A les deux formules rappelées dans l'introduction quand A est un corps.
    a) Montrer que si l'anneau A est intègre, alors MM˜ = M˜M = (detM)I_n.
    b) On ne suppose plus A intègre. Montrer que le résultat de a) est encore vrai s'il existe un morphisme surjectif d'anneaux B → A avec B intègre.
    c) En déduire que le résultat de a) vaut encore pour tout anneau commutatif A.
    d) Démontrer que si M et N sont dans M_n(A), alors on a
det(MN) = detM × detN
  1. Soient r et s des entiers strictement positifs. Soit M ∈ M_(s, r)(A). On considère l'application u : A^r → A^s définie par u(X) = MX, où on identifie les éléments de A^r et A^s à des vecteurs-colonne. On suppose que u est surjective et que l'anneau A n'est pas réduit à {0}. Le but de cette question est de démontrer qu'on a alors r ≥ s. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant r < s.
    a) Montrer qu'il existe une matrice N ∈ M_(r, s)(A) telle que MN = I_s.
    b) On définit des matrices de M_s(A) par blocs :
M_1, = (M, 0); N_1, = (N/0)
Autrement dit, M_1 est la matrice obtenue en ajoutant s − r colonnes nulles à M et N_1 est la matrice obtenue en ajoutant s − r lignes nulles à N. Calculer M_1 N_1.
c) Aboutir à une contradiction et conclure.
d) On suppose que r = s. Montrer l'équivalence des propriétés suivantes :
i) L'application u est surjective ;
ii) Le déterminant detM appartient à A^∗;
iii) Il existe N ∈ M_r(A) telle que MN = NM = I_r.
iv) L'application u est bijective.

Partie IV : Équivalence de matrices de M_n(Z) et M_n(C)

Dans toute cette partie, on désigne par r et s des entiers strictement positifs. Soit A un anneau commutatif non réduit à {0}. On note GL_r(A) l'ensemble des matrices de M_r(A) qui vérifient les propriétés équivalentes de la question II.3.d).
  1. a) Montrer que la multiplication des matrices induit une structure de groupe sur GL_r(A).
    b) On définit une relation sur M_(s, r)(A) par M ∼ N si et seulement s'il existe U ∈ GL_s(A) et V ∈ GL_r(A) telles que N = UMV. Montrer que c'est une relation d'équivalence.
On dit que deux matrices M et N de M_(s, r)(A) sont A-équivalentes si M ∼ N. Si M ∈ M_(s, r)(Z) et k est un entier au plus égal à min(r, s), on note m_k(M) le pged des mineurs de taille k de M.
2. Soient M et N deux matrices Z-équivalentes de M_(s.r)(Z). Montrer que pour tout k ≤ min(r, s), on a m_k(M) = m_k(N) (on pourra commencer par montrer que m_k(M) divise m_k(N) ).
3. On concidère deux matrices de M_2(Z) qui sont C-équivalentes. Sontclles toujours Z-équivalentes?

Partie V : Sous-espaces de M_n(C) constitués de matrices de petit rang

Soient r et m des entiers strictement positifs avec r ≤ m. On considère un sous-espace V du C -espace vectoriel M_m(C). Dans toute la suite, on fait l'hypothèse suivante : tout élément de V est une matrice de rang au plus r.
Le but de cette partie est de démontrer qu'on a alors l'inégalité :
dimV ≤ mr.
  1. Montrer qu'on peut supposer que V contient la matrice-bloc:
A = (I_r, 0; 0, 0)
Dans toute la suite, on fera cette hypothèse.
2. a) Soit B un élément de V, qu'on écrit sous la forme d'une matricebloc:
B = (B_(11), B_(12); B_(21), B_(22))
où les quatre matrices B_(11), B_(12), B_(21), B_(22) sont respectivement dans M_r(C), M_(r, m − r)(C), M_(m − r, r)(C) et M_(m − r)(C). Montrer que B_(22) = 0 et B_(21)B_(12) = 0 (on pourra considérer les mineurs de taille r + 1 de la matrice tA + B pour t ∈ C).
b) Soient B et C deux matrices de V, qu'on écrit sous forme de matricesbloc comme ci-dessus :
B = (B_(11), B_(12); B_(21), 0); C = (C_(11), C_(12); C_(21), 0)
Montrer que B_(21)C_(12) + C_(21)B_(12) = 0.
3. On note W l'intersection de V avec le sous-espace de M_m(C) constituć des matrices-bloc de la forme
(0, 0; B_(21), 0)
On définit une application linéaire φ de M_m(C) dans M_(r, m)(C) par
φ : (B_(11), B_(12); B_(21), B_(22)) ↦ (B_(11), B_(12))
(avec les notations de V. 2 a)).
a) On écrit toute matrice C de M_(r, m)(C) sous forme d'une matrice bloc C = (C_(11), C_(12)) avec C_(11) ∈ M_r(C) et C_(12) ∈ M_(r, m − r)(C). Soit ψ l'application linéaire de W dans M_(r, m)(C)^∨ qui envoie B = (0, 0; B_(21), 0) sur la forme linéaire C ↦ Tr(B_(21)C_(12)). Soit s = dimW. En utilisant l'application ψ, montrer que dim(φ(V)) ≤ mr − s.
b) En déduire que dimV ≤ mr.
4. a) Soient r, m, n des entiers strictement positifs tels que r ≤ n ≤ m. Montrer que si E est un sous-espace de M_(m, n)(C) tel que tout élément de E soit une matrice de rang au plus r, alors dimE ≤ mr.
b) Donner un exemple de sous-espace E de M_(m, n)(C) vérifiant dimE = mr et tel que tout élément de E soit une matrice de rang au plus r.

Fin du sujet.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques D de la banque MP Inter-ENS 2023 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques D de la banque MP Inter-ENS 2023 ?

Elle porte sur la notion de rang en algèbre : propriétés de finitude des groupes abéliens et anneaux commutatifs, extension du déterminant aux anneaux commutatifs quelconques, équivalence de matrices sur Z, et matrices de petit rang.

L'épreuve de maths D Inter-ENS 2023 est-elle difficile ?

Oui : sur 1351 candidats, la moyenne est de 6,7/20 (médiane 5,3/20) et plus d'un tiers des copies obtiennent moins de 4/20, malgré un énoncé conçu pour être très guidé.

Quelle est la question la plus difficile du sujet de maths D Inter-ENS 2023 ?

La question 2 de la partie IV, sur le pgcd des mineurs de matrices équivalentes, n'a été parfaitement résolue que dans une seule copie sur 1351.

Faut-il traiter toutes les parties du sujet de maths D Inter-ENS 2023 pour bien réussir ?

Non : traiter parfaitement les deux premières parties suffisait pour obtenir une note autour de 10/20, et traiter entièrement trois à quatre parties permettait d'être dans les cent meilleures copies.

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